Некоммутативная геометрия
Раздел математики

Некоммутативная геометрия ( NCG ) — раздел математики, занимающийся геометрическим подходом к некоммутативным алгебрам и построением пространств , локально представленных некоммутативными алгебрами функций, возможно, в некотором обобщенном смысле. Некоммутативная алгебра — это ассоциативная алгебра , в которой умножение некоммутативно , то есть для которой не всегда равно ; или, в более общем смысле, алгебраическая структура , в которой одна из основных бинарных операций некоммутативна; она также допускает возможность переноса дополнительных структур, например топологии или нормы , некоммутативной алгеброй функций. х у {\displaystyle xy} у х {\displaystyle yx}

Подход, дающий глубокое понимание некоммутативных пространств, осуществляется через операторные алгебры , то есть алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве . [1] Возможно, одним из типичных примеров некоммутативного пространства является « некоммутативный тор », который сыграл ключевую роль в раннем развитии этой области в 1980-х годах и привел к некоммутативным версиям векторных расслоений , связностей , кривизны и т. д. [2]

Мотивация

Основная мотивация — расширить коммутативную двойственность между пространствами и функциями на некоммутативную установку. В математике пространства , которые являются геометрическими по своей природе, могут быть связаны с числовыми функциями на них. В общем случае такие функции будут образовывать коммутативное кольцо . Например, можно взять кольцо C ( X ) непрерывных комплекснозначных функций на топологическом пространстве X. Во многих случаях ( например , если X — компактное хаусдорфово пространство ) мы можем восстановить X из C ( X ), и поэтому имеет смысл сказать, что X имеет коммутативную топологию .

Более конкретно, в топологии компактные топологические пространства Хаусдорфа могут быть восстановлены из банаховой алгебры функций на пространстве ( Гельфанд–Наймарк ). В коммутативной алгебраической геометрии алгебраические схемы являются локально простыми спектрами коммутативных унитальных колец ( А. Гротендик ), и каждая квазиотделимая схема может быть восстановлена ​​с точностью до изоморфизма схем из категории квазикогерентных пучков -модулей ( П. Габриэль –А. Розенберг). Для топологий Гротендика когомологические свойства сайта являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос (А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство реконструируется из алгебры функций или ее категоризированной версии — некоторой категории пучков на этом пространстве. Х {\displaystyle X} О Х {\displaystyle O_{X}}

Функции на топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, поэтому функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.

Мечта некоммутативной геометрии — обобщить эту двойственность до двойственности между некоммутативными алгебрами, или пучками некоммутативных алгебр, или пучкообразными некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами, и геометрическими сущностями определенных видов, а также дать взаимодействие между их алгебраическим и геометрическим описанием посредством этой двойственности.

Учитывая, что коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные C*-алгебры — обычным топологическим пространствам, расширение до некоммутативных колец и алгебр требует нетривиального обобщения топологических пространств как «некоммутативных пространств». По этой причине говорят о некоммутативной топологии , хотя этот термин имеет и другие значения.

Приложения в математической физике

Некоторые приложения в физике элементарных частиц описаны в статьях некоммутативная стандартная модель и некоммутативная квантовая теория поля . Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал за предположениями о ее роли в М-теории, сделанными в 1997 году. [3]

Мотивация из эргодической теории

Часть теории, разработанной Аленом Коннесом для работы с некоммутативной геометрией на техническом уровне, имеет корни в более ранних попытках, в частности в эргодической теории . Предложение Джорджа Макки создать виртуальную теорию подгрупп , относительно которой действия эргодической группы стали бы однородными пространствами расширенного вида, к настоящему времени было включено в классификацию.

Некоммутативные C*-алгебры, алгебры фон Неймана

(Формальные) дуальные некоммутативные C*-алгебры теперь часто называют некоммутативными пространствами. Это по аналогии с представлением Гельфанда , которое показывает, что коммутативные C*-алгебры дуальны локально компактным хаусдорфовым пространствам . В общем случае любой C*-алгебре S можно сопоставить топологическое пространство Ŝ ; см. спектр C*-алгебры .

Из-за двойственности между локализуемыми пространствами с мерой и коммутативными алгебрами фон Неймана некоммутативные алгебры фон Неймана называются некоммутативными пространствами с мерой .

Некоммутативные дифференцируемые многообразия

Гладкое риманово многообразие M — это топологическое пространство с большим количеством дополнительной структуры. Из его алгебры непрерывных функций C ( M ) мы восстанавливаем M только топологически. Алгебраический инвариант, который восстанавливает риманову структуру, — это спектральная тройка . Она строится из гладкого векторного расслоения E над M , например, внешнего расслоения алгебры. Гильбертово пространство L 2 ( M ,  E ) квадратично интегрируемых сечений E несет представление C ( M) операторами умножения, и мы рассматриваем неограниченный оператор D в L 2 ( M ,  E ) с компактной резольвентой (например, оператор сигнатуры ), такой, что коммутаторы [ D ,  f ] ограничены, когда f является гладким. Глубокая теорема [4] утверждает, что M как риманово многообразие может быть восстановлено из этих данных.

Это предполагает, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральную тройку ( A ,  H ,  D ), состоящую из представления C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H , вместе с неограниченным оператором D на H , с компактной резольвентой, такой, что [ D ,  a ] ограничено для всех a в некоторой плотной подалгебре A . Исследования спектральных троек ведутся очень активно, и было построено много примеров некоммутативных многообразий.

Некоммутативные аффинные и проективные схемы

По аналогии с двойственностью между аффинными схемами и коммутативными кольцами мы определяем категорию некоммутативных аффинных схем как двойственную категорию ассоциативных унитальных колец. Существуют определенные аналоги топологии Зарисского в этом контексте, так что можно склеивать такие аффинные схемы с более общими объектами.

Существуют также обобщения Cone и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серра о Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованным на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; также существует аналогичная теорема для когерентных пучков, когда алгебра является нётеровой. Эта теорема расширена как определение некоммутативной проективной геометрии Майклом Артином и Дж. Дж. Чжаном [5], которые также добавляют некоторые общие кольцевые теоретико-условия (например, регулярность Артина–Шельтера).

Многие свойства проективных схем распространяются на этот контекст. Например, существует аналог знаменитой двойственности Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана. [6]

AL Rosenberg создал довольно общую относительную концепцию некоммутативной квазикомпактной схемы (над базовой категорией), абстрагируя исследование Гротендика морфизмов схем и покрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации. [7] Существует также другой интересный подход через теорию локализации, принадлежащий Фреду Ван Ойстайену , Люку Вилларту и Алену Вершорену, где основной концепцией является концепция схемной алгебры . [8] [9]

Инварианты для некоммутативных пространств

Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с расширением известных топологических инвариантов до формальных дуалов некоммутативных (операторных) алгебр и других замен и кандидатов на некоммутативные пространства. Одной из главных отправных точек направления Алена Конна в некоммутативной геометрии является его открытие новой теории гомологии, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно циклической гомологии и ее связей с алгебраической K-теорией (в первую очередь через отображение характеров Конна–Черна).

Теория характеристических классов гладких многообразий была расширена до спектральных троек с использованием инструментов операторной K-теории и циклических когомологий . Несколько обобщений классических теорем об индексе позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях, коцикл JLO , обобщает классический характер Черна .

Примеры некоммутативных пространств

Связь

В смысле Конна

Связность Конна — некоммутативное обобщение связности в дифференциальной геометрии . Она была введена Аленом Конном и позднее обобщена Иоахимом Кунцем и Дэниелом Квилленом .

Определение

Для данного правого A -модуля E связность Конна на E является линейным отображением

∇ : Э → Э ⊗ А Ω 1 А {\displaystyle \nabla:E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A}

который удовлетворяет правилу Лейбница . [11] ∇ г ( с а ) = ∇ г ( с ) а + с ⊗ г а {\displaystyle \nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da}

Смотрите также

Цитаты

  1. ^ Халхали и Марколли 2008, с. 171.
  2. ^ Халхали и Марколли 2008, с. 21.
  3. ^ Конн, Ален; Дуглас, Майкл Р.; Шварц, Альберт (1998-02-05). "Некоммутативная геометрия и теория матриц". Журнал физики высоких энергий . 1998 (2): 003. arXiv : hep-th/9711162 . Bibcode :1998JHEP...02..003C. doi :10.1088/1126-6708/1998/02/003. ISSN  1029-8479. S2CID  7562354.
  4. ^ Конн, Ален (2013). «О спектральной характеристике многообразий». Журнал некоммутативной геометрии . 7 : 1– 82. arXiv : 0810.2088 . doi :10.4171/JNCG/108. S2CID  17287100.
  5. ^ Артин, М.; Чжан, Дж. Дж. (1994). «Некоммутативные проективные схемы». Успехи математики . 109 (2): 228– 287. doi : 10.1006/aima.1994.1087 . ISSN  0001-8708.
  6. ^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (1997-03-01). «Двойственность Серра для некоммутативных проективных схем». Труды Американского математического общества . 125 (3). Американское математическое общество (AMS): 697– 708. doi : 10.1090/s0002-9939-97-03782-9 . ISSN  0002-9939.
  7. ^ AL Rosenberg, Noncommutative schemes, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, doi; Underlying spaces of noncommutative schemes, препринт MPIM2003-111, dvi, ps; лекция MSRI Noncommutative schemes and spaces (февраль 2000 г.): видео
  8. ^ Фредди ван Ойстаен, Алгебраическая геометрия для ассоциативных алгебр, ISBN 0-8247-0424-X - Нью-Йорк: Деккер, 2000.- 287 стр. - (Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 232) 
  9. ^ Ван Ойстаен, Фред; Вилларт, Люк (1995). «Топология Гротендика, когерентные пучки и теорема Серра для схемных алгебр» (PDF) . Журнал чистой и прикладной алгебры . 104 (1). Elsevier BV: 109– 122. doi :10.1016/0022-4049(94)00118-3. hdl : 10067/124190151162165141 . ISSN  0022-4049.
  10. ^ Снайдер, Хартланд С. (1947-01-01). «Квантованное пространство-время». Physical Review . 71 (1). Американское физическое общество (APS): 38– 41. Bibcode : 1947PhRv...71...38S. doi : 10.1103/physrev.71.38. ISSN  0031-899X.
  11. ^ Вейл 2009, Определение 8.1.

Ссылки

  • Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
  • Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), «Прогулка в некоммутативном саду», Приглашение в некоммутативную геометрию , World Sci. Publ., Хакенсак, Нью-Джерси, стр.  1–128 , arXiv : math/0601054 , Bibcode : 2006math......1054C, MR  2408150
  • Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы (PDF) , Публикации коллоквиума Американского математического общества, т. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4210-2, г-н  2371808
  • Грасиа-Бондиа, Хосе М.; Фигероа, Гектор; Варилли, Джозеф К. (2000), Элементы некоммутативной геометрии , Биркхаузер, ISBN 978-0-8176-4124-5
  • Халхали, Масуд; Марколли, Матильда (2008). Халхали, Масуд; Марколли, Матильда (ред.). Приглашение к некоммутативной геометрии. Всемирная научная. дои : 10.1142/6422. ISBN 978-981-270-616-4.
  • Ланди, Джованни (1997), Введение в некоммутативные пространства и их геометрии , Конспект лекций по физике. Новая серия m: Монографии, т. 51, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , arXiv : hep-th/9701078 , Bibcode : 1997hep.th....1078L, ISBN 978-3-540-63509-3, г-н  1482228
  • Ван Ойстейен, Фред; Вершорен, Ален (1981), Некоммутативная алгебраическая геометрия , Конспект лекций по математике, том. 887, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-3-540-11153-5

Рекомендации по подключению Connes

  • Конн, Ален (1980). «C* алгебра и дифференциальная геометрия». ЧР акад. наук. Пэрис Сер. А (на французском языке). 290 (13): 599–604 .
    • Конн, Ален (2001). «C*-алгебры и дифференциальная геометрия». arXiv : hep-th/0101093 .
  • Конн, Ален (1985). «Некоммутативная дифференциальная геометрия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 62 : 41–144 . doi : 10.1007/BF02698807. ISSN  1618-1913. S2CID  122740195.
  • Конн, Ален (1995). Некоммутативная геометрия . Academic Press. ISBN 978-0-08-057175-1.
  • Кунц, Иоахим; Квиллен, Дэниел (1995). «Расширения алгебры и несингулярность». Журнал Американского математического общества . 8 (2): 251– 289. doi : 10.2307/2152819 . ISSN  0894-0347. JSTOR  2152819.
  • Гарсиа-Бельтран, Деннис; а-Бельтран, Деннис; Вальехо, Хосе А.; Воробьёв, Юрий (2012). «Об алгеброидах лжи и алгебрах Пуассона». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 8 : 006. arXiv : 1106.1512 . Бибкод : 2012SIGMA...8..006G. дои : 10.3842/SIGMA.2012.006. S2CID  5946411.
  • * Вейл, Р. (2009). «Заметки о квазисвободных алгебрах» (PDF) .
  • «Связи». Темы циклической теории . 2020. С.  201–228 . doi :10.1017/9781108855846.009. ISBN 9781108855846.

Дальнейшее чтение

  • Consani, Caterina ; Connes, Alain , ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Труды 21-го заседания Японско-американского математического института (JAMI), состоявшегося в Университете Джонса Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г., Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, ЗБЛ  1245.00040
  • ван Суйлеком, Вальтер (2025). Некоммутативная геометрия и физика частиц. Springer Nature . ISBN 978-3-031-59120-4.
В Викицитатнике есть цитаты, связанные с некоммутативной геометрией .
  • Введение в квантовую геометрию Мичо Джурджевича
  • Гинзбург, Виктор (2005). «Лекции по некоммутативной геометрии». arXiv : math/0506603 .
  • Халхали, Масуд (2004). «Очень простая некоммутативная геометрия». arXiv : math/0408416 .
  • Марколли, Матильда (2004). «Лекции по арифметической некоммутативной геометрии». arXiv : math/0409520 .
  • Madore, J. (2000). "Некоммутативная геометрия для пешеходов". Классическая и квантовая нелокальность : 111. arXiv : gr-qc/9906059 . Bibcode :2000cqnl.conf..111M. doi :10.1142/9789812792938_0007. ISBN 978-981-02-4296-1. S2CID  15595586.
  • Массон, Тьерри (2006). «Неформальное введение в идеи и концепции некоммутативной геометрии». arXiv : math-ph/0612012 .(Проще введение, которое все еще довольно технично)
  • Некоммутативная геометрия на arxiv.org
  • MathOverflow, Теории некоммутативной геометрии
  • Маханта, Снигдхаян (2005). «О некоторых подходах к некоммутативной алгебраической геометрии». arXiv : math/0501166 .
  • Сарданашвили, Г. (2009). «Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец». arXiv : 0910.1515 [math-ph].
  • Некоммутативная геометрия и физика элементарных частиц
  • связь в некоммутативной геометрии в nLab
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Некоммутативная_геометрия&oldid=1273174068#Коннское_соединение"