Гельфанд представительство

В математике представление Гельфанда в функциональном анализе (названное в честь И. М. Гельфанда ) может быть одним из двух:

• способ представления коммутативных банаховых алгебр как алгебр непрерывных функций;
• тот факт, что для коммутативных C*-алгебр это представление является изометрическим изоморфизмом.

В первом случае можно рассматривать представление Гельфанда как далеко идущее обобщение преобразования Фурье интегрируемой функции. Во втором случае теорема Гельфанда–Наймарка о представлении является одним из направлений в развитии спектральной теории для нормальных операторов и обобщает понятие диагонализации нормальной матрицы .

Одним из оригинальных приложений Гельфанда (и одним из тех, которые исторически мотивировали большую часть изучения банаховых алгебр ^{[ требуется ссылка ]} ) было предоставление гораздо более короткого и концептуального доказательства знаменитой леммы Норберта Винера (см. ссылку ниже), характеризующей элементы групповых алгебр L ¹ ( R ) и чьи трансляции охватывают плотные подпространства в соответствующих алгебрах.${\displaystyle \ell ^{1}({\mathbf {Z} })}$

Для любого локально компактного хаусдорфова топологического пространства X пространство C ₀ ( X ) непрерывных комплекснозначных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, естественным образом является коммутативной C*-алгеброй:

• Структура алгебры над комплексными числами получается путем рассмотрения поточечных операций сложения и умножения.
• Инволюция — это поточечное комплексное сопряжение.
• Норма — это равномерная норма по функциям.

Важность локальной компактности и хаусдорфовости X заключается в том, что это превращает X в полностью регулярное пространство . В таком пространстве каждое замкнутое подмножество X является общим нулевым множеством семейства непрерывных комплекснозначных функций на X , что позволяет восстановить топологию X из C ₀ ( X ).

Обратите внимание, что C ₀ ( X ) унитальна тогда и только тогда, когда X компактна , и в этом случае C ₀ ( X ) равна C ( X ), алгебре всех непрерывных комплекснозначных функций на X .

Пусть — коммутативная банахова алгебра , определенная над полем комплексных чисел. Ненулевой гомоморфизм алгебры (мультипликативный линейный функционал) называется характером ; множество всех характеров обозначается .${\displaystyle А}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Phi \colon A\to \mathbb {C} }$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \Фи _{А}}$

Можно показать, что каждый характер на автоматически непрерывен и, следовательно, является подмножеством пространства непрерывных линейных функционалов на ; более того, будучи снабженным относительной слабой-* топологией , оказывается локально компактным и хаусдорфовым. (Это следует из теоремы Банаха–Алаоглу .) Пространство компактно (в только что определенной топологии) тогда и только тогда, когда алгебра имеет единичный элемент. ^[1]${\displaystyle А}$${\displaystyle \Фи _{А}}$${\displaystyle А^{*}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \Фи _{А}}$${\displaystyle \Фи _{А}}$${\displaystyle А}$

При условии , функция определяется как . Определение и топология на нем гарантируют, что является непрерывным и исчезает на бесконечности ^{[ требуется ссылка ]} , и что отображение определяет уменьшающий норму, сохраняющий единицу гомоморфизм алгебры из в . Этот гомоморфизм является представлением Гельфанда для , и является преобразованием Гельфанда элемента . В общем случае представление не является ни инъективным, ни сюръективным.${\displaystyle а\в А}$${\displaystyle {\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\widehat {a}}(\phi)=\phi (a)}$${\displaystyle \Фи _{А}}$${\displaystyle {\widehat {a}}}$${\displaystyle a\mapsto {\widehat {a}}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle C_{0}(\Phi _{A})}$${\displaystyle А}$${\displaystyle {\widehat {a}}}$${\displaystyle а}$

В случае, когда имеет единичный элемент, существует биекция между и множеством максимальных идеалов в (это основано на теореме Гельфанда–Мазура ). Как следствие, ядро ​​представления Гельфанда можно отождествить с радикалом Джекобсона . Таким образом, представление Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда является (по Якобсону) полупростым .${\displaystyle А}$${\displaystyle \Фи _{А}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle A\to C_{0}(\Phi _{A})}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

Банахово пространство является банаховой алгеброй относительно свертки, групповой алгебры . Тогда гомеоморфно и преобразование Гельфанда является преобразованием Фурье . Аналогично, с , групповой алгеброй мультипликативных вещественных чисел, преобразование Гельфанда является преобразованием Меллина .${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Фи _{А}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\тильда {ф}}}$${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$

Для пространство представления — это компактификация Стоуна–Чеха . В более общем случае, если — полностью регулярное хаусдорфово пространство, то пространство представления банаховой алгебры ограниченных непрерывных функций — это компактификация Стоуна–Чеха . ^[2]${\displaystyle A=\ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

В качестве мотивировки рассмотрим частный случай A = C ₀ ( X ). Для данного x в X пусть будет поточечная оценка в x , т.е. . Тогда — характер на A , и можно показать, что все характеры A имеют эту форму; более точный анализ показывает, что мы можем отождествить Φ _A с X , не только как множества, но и как топологические пространства. Тогда представление Гельфанда является изоморфизмом${\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}$${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$${\displaystyle \varphi _{x}}$

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }$

Спектр или пространство Гельфанда коммутативной C*-алгебры A , обозначаемое Â , состоит из множества ненулевых *-гомоморфизмов из A в комплексные числа. Элементы спектра называются характерами на A. (Можно показать, что каждый гомоморфизм алгебры из A в комплексные числа автоматически является *-гомоморфизмом , так что это определение термина «характер» согласуется с приведенным выше.)

В частности, спектр коммутативной C*-алгебры является локально компактным хаусдорфовым пространством: В унитальном случае, т. е. когда C*-алгебра имеет мультипликативный единичный элемент 1, все символы f должны быть унитальными, т. е. f (1) — комплексное число один. Это исключает нулевой гомоморфизм. Таким образом, Â замкнуто относительно слабо-* сходимости, и спектр фактически компактен . В неунитальном случае слабо-* замыкание Â равно Â ∪ {0}, где 0 — нулевой гомоморфизм, и удаление одной точки из компактного хаусдорфова пространства дает локально компактное хаусдорфово пространство.

Обратите внимание, что спектр — это перегруженное слово. Оно также относится к спектру σ( x ) элемента x алгебры с единицей 1, то есть к множеству комплексных чисел r, для которых x  −  r 1 необратимо в A . Для унитальных C*-алгебр эти два понятия связаны следующим образом: σ( x ) — это множество комплексных чисел f ( x ), где f пробегает пространство Гельфанда A . Вместе с формулой спектрального радиуса это показывает, что Â является подмножеством единичного шара A* и, как таковое, может быть задано относительной слабой-* топологией. Это топология поточечной сходимости. Сеть { f _k } _k элементов спектра A сходится к f тогда и только тогда, когда для каждого x в A сеть комплексных чисел { f _k ( x )} _k сходится к f ( x ).

Если A — отделимая C*-алгебра, то слабая-* топология метризуема на ограниченных подмножествах. Таким образом, спектр отделимой коммутативной C*-алгебры A можно рассматривать как метрическое пространство. Поэтому топологию можно характеризовать с помощью сходимости последовательностей.

Эквивалентно, σ( x ) — это диапазон γ( x ), где γ — представление Гельфанда.

Пусть A — коммутативная C*-алгебра и пусть X — спектр A. Пусть

${\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}$

быть представлением Гельфанда, определенным выше.

Теорема . Отображение Гельфанда γ является изометрическим *-изоморфизмом из A на C ₀ ( X ).

См. ссылку Арвесона ниже.

Спектр коммутативной C*-алгебры можно также рассматривать как множество всех максимальных идеалов m алгебры A с топологией оболочка-ядро . (См. предыдущие замечания для общего случая коммутативной банаховой алгебры.) Для любого такого m фактор-алгебра A/m является одномерной (по теореме Гельфанда-Мазура), и, следовательно, любой a из A порождает комплекснозначную функцию на Y .

В случае C*-алгебр с единицей отображение спектра порождает контравариантный функтор из категории коммутативных C*-алгебр с единицей и сохраняющих единицу непрерывных *-гомоморфизмов в категорию компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений. Этот функтор является половиной контравариантной эквивалентности между этими двумя категориями (его сопряженным является функтор, который сопоставляет каждому компактному хаусдорфову пространству X C*-алгебру C ₀ ( X )). В частности, если даны компактные хаусдорфовы пространства X и Y , то C ( X ) изоморфна C ( Y ) ( как C*-алгебра) тогда и только тогда, когда X гомеоморфна Y .

«Полная» теорема Гельфанда–Наймарка является результатом для произвольных (абстрактных) некоммутативных C*-алгебр A , которая, хотя и не совсем аналогична представлению Гельфанда, все же дает конкретное представление A как алгебры операторов.

Одним из наиболее значимых приложений является существование непрерывного функционального исчисления для нормальных элементов в C*-алгебре A : элемент x является нормальным тогда и только тогда, когда x коммутирует со своим сопряженным x* , или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда он порождает коммутативную C*-алгебру C*( x ). По изоморфизму Гельфанда, примененному к C*( x ), это *-изоморфно алгебре непрерывных функций на локально компактном пространстве. Это наблюдение почти немедленно приводит к:

Теорема . Пусть A — C*-алгебра с единицей и x — нормальный элемент A. Тогда существует *-морфизм f → f ( x ) из алгебры непрерывных функций на спектре σ( x ) в A такой, что

• Он отображает 1 в мультипликативную единицу A ;
• Он отображает функцию тождества на спектре в x .

Это позволяет нам применять непрерывные функции к ограниченным нормальным операторам в гильбертовом пространстве.

• Арвесон, В. (1981). Приглашение в C*-алгебры . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
• Бонсалл, ФФ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
• Винер, Н. (1932). «Теоремы Тауберова». Ann. of Math . II. 33 (1). Annals of Mathematics: 1–100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102.