Некоммутативный тор

Вы можете помочь расширить эту статью, переведя текст из соответствующей статьи на немецком языке . (Январь 2018 г.) Нажмите [показать] для получения важных инструкций по переводу. Посмотреть машинный перевод немецкой статьи. Машинный перевод, такой как DeepL или Google Translate, является полезной отправной точкой для переводов, но переводчики должны при необходимости исправлять ошибки и подтверждать точность перевода, а не просто копировать и вставлять машинно-переведенный текст в английскую Википедию. Не переводите текст, который кажется ненадежным или некачественным. Если возможно, проверьте текст ссылками, приведенными в статье на иностранном языке. Вы должны указать авторское право в сводке редактирования, сопровождающей ваш перевод, предоставив межъязыковую ссылку на источник вашего перевода. Модель атрибуции редактирования сводки являетсяContent in this edit is translated from the existing German Wikipedia article at [[:de:Irrationale Rotationsalgebra]]; see its history for attribution. Вы также можете добавить шаблон {{Translated|de|Irrationale Rotationsalgebra}}на страницу обсуждения . Более подробную информацию см. в Википедии:Перевод .

В математике , а точнее в теории C*-алгебр , некоммутативные торы A _θ , также известные как иррациональные алгебры вращения для иррациональных значений θ, образуют семейство некоммутативных C*-алгебр, которые обобщают алгебру непрерывных функций на 2-торе . Многие топологические и геометрические свойства классического 2-тора имеют алгебраические аналоги для некоммутативных торов, и как таковые они являются фундаментальными примерами некоммутативного пространства в смысле Алена Конна .

Для любого иррационального действительного числа θ некоммутативный тор является C*-подалгеброй , алгеброй ограниченных линейных операторов квадратично-интегрируемых функций на единичной окружности , порожденной двумя унитарными операторами, определяемыми как${\displaystyle A_{\theta}}$${\displaystyle B(L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ))}$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle U,V}$

${\displaystyle {\begin{align}U(f)(z)&=zf(z)\\V(f)(z)&=f(ze^{-2\pi i\theta }).\end{align}}}$

Быстрый расчет показывает, что VU = e ^{−2π i θ} UV . ^[1]

• Универсальное свойство: A _θ может быть определена (с точностью до изоморфизма) как универсальная C*-алгебра, порожденная двумя унитарными элементами U и V, удовлетворяющими соотношению VU  = e ^{2π i θ} UV . ^[1] Это определение распространяется на случай, когда θ рационально. В частности, когда θ  = 0, A _θ изоморфна непрерывным функциям на 2-торе посредством преобразования Гельфанда .
• Иррациональная алгебра вращения: Пусть бесконечная циклическая группа Z действует на окружности S ¹ действием вращения на угол 2 π iθ . Это индуцирует действие Z автоморфизмами на алгебре непрерывных функций C ( S ¹ ). Полученное C* -скрещенное произведение C ( S ¹ ) ⋊ Z изоморфно A _θ . Генерирующими унитариями являются генератор группы Z и тождественная функция на окружности z  : S ¹ → C . ^[1]
• Скрученная групповая алгебра: Функция σ : Z ² × Z ² → C ; σ(( m , n ), ( p , q )) = e ^{2π inpθ} является групповым 2-коциклом на Z ² , а соответствующая скрученная групповая алгебра C* ( Z ² ;  σ ) изоморфна A _θ .

• Каждая иррациональная алгебра вращения A _θ является простой, то есть она не содержит никаких собственных замкнутых двусторонних идеалов, кроме себя и себя. ^[1]${\displaystyle \{0\}}$
• Каждая иррациональная алгебра вращения имеет уникальное следовое состояние . ^[1]
• Иррациональные алгебры вращения являются ядерными .

K -теория A θ _есть Z 2 ^как в четном, так и в нечетном измерении, и поэтому не различает иррациональные алгебры вращения. Но как упорядоченная группа , K ₀ ≃ Z + θ Z . Следовательно, два некоммутативных тора A _θ и A _η изоморфны тогда и только тогда, когда либо θ  +  η, либо θ  −  η является целым числом. ^{[1] [2]}

Две иррациональные алгебры вращения A _θ и A _η строго эквивалентны по Морите тогда и только тогда, когда θ и η находятся в одной и той же орбите действия SL(2,  Z ) на R дробно -линейными преобразованиями . В частности, некоммутативные торы с θ рациональным эквивалентны по Морите классическому тору. С другой стороны, некоммутативные торы с θ иррациональным эквивалентны по Морите простым C*-алгебрам. ^[2]