Квазисвободная алгебра

В абстрактной алгебре квазисвободная алгебра — это ассоциативная алгебра , которая удовлетворяет свойству подъема, аналогичному свойству формально гладкой алгебры в коммутативной алгебре . Понятие было введено Кунцем и Квилленом для приложений к циклическим гомологиям . ^[1] Квазисвободная алгебра обобщает свободную алгебру , а также координатное кольцо гладкой аффинной комплексной кривой . Из-за последнего обобщения квазисвободную алгебру можно рассматривать как означающую гладкость на некоммутативном пространстве . ^[2]

Пусть A — ассоциативная алгебра над комплексными числами. Тогда говорят, что A квазисвободна, если выполняются следующие эквивалентные условия: ^{[3] [4] [5]}

• При заданном расширении с квадратом нуля каждый гомоморфизм поднимается до .${\displaystyle R\to R/I}$${\displaystyle A\to R/I}$${\displaystyle A\to R}$
• Когомологическая размерность A относительно когомологий Хохшильда не превышает единицы.

Пусть обозначает дифференциальную оболочку A ; т.е. универсальную дифференциально-градуированную алгебру, порожденную A . ^{[6] [7]} Тогда A является квазисвободной тогда и только тогда, когда она проективна как бимодуль над A . ^[3]${\displaystyle (\Омега А,d)}$${\displaystyle \Омега ^{1}А}$

Существует также характеристика в терминах связности. Для A -бимодуля E правая связность на E является линейным отображением

${\displaystyle \nabla _{r}:E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A}$

что удовлетворяет и . ^[8] Левая связь определяется аналогичным образом. Тогда A является квазисвободной тогда и только тогда, когда допускает правую связь. ^[9]${\displaystyle \nabla _ {r} (as) = ​​a \ nabla _ {r} (s)}$${\displaystyle \nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da}$${\displaystyle \Омега ^{1}А}$

Одним из основных свойств квазисвободной алгебры является то, что алгебра является лево- и правонаследственной ( т. е. подмодуль проективного левого или правого модуля является проективным или, что эквивалентно, левая или правая глобальная размерность не превышает единицы). ^[10] Это накладывает сильное ограничение на то, чтобы алгебры были квазисвободными. Например, наследственная (коммутативная) область целостности является в точности областью Дедекинда . В частности, кольцо многочленов над полем является квазисвободным тогда и только тогда, когда число переменных не превышает единицы.

Аналог теоремы о трубчатом соседстве , называемый формальной теоремой о трубчатом соседстве , справедлив для квазисвободных алгебр. ^[11]

• Кунц, Иоахим (июнь 2013 г.). «Работа Квиллена по основам циклических когомологий». Журнал K-Theory . 11 (3): 559– 574. arXiv : 1202.5958 . doi : 10.1017/is012011006jkt201. ISSN  1865-2433.
• Кунц, Иоахим; Квиллен, Дэниел (1995). «Расширения алгебры и несингулярность». Журнал Американского математического общества . 8 (2): 251– 289. doi : 10.2307/2152819 . ISSN  0894-0347.
• Концевич, Максим; Розенберг, Александр Л. (2000). «Некоммутативные гладкие пространства». Математические семинары Гельфанда, 1996–1999 . Биркхойзер: 85–108 . arXiv : math/9812158 . doi :10.1007/978-1-4612-1340-6_5.
• Максим Концевич, Александр Розенберг, Некоммутативные пространства, препринт MPI-2004-35
• Вейл, Р. (2009). «Заметки о квазисвободных алгебрах» (PDF) .

• https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-free+algebra

Эта статья по теме «Абстрактная алгебра» — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е