Квантование деформации

В математике и физике деформационное квантование грубо сводится к нахождению (квантовой) алгебры, классическим пределом которой является заданная (классическая) алгебра, такая как алгебра Ли или алгебра Пуассона .

В физике

Интуитивно, деформация математического объекта — это семейство объектов того же типа, которые зависят от некоторого параметра(ов). Здесь она предоставляет правила того, как деформировать «классическую» коммутативную алгебру наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная установка в теории деформаций заключается в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли ) и спросить: существует ли одно- или многопараметрическое семейство подобных структур, такое, что для начального значения параметра(ов) мы имеем ту же самую структуру (алгебру Ли), с которой мы начали? (Самой старой иллюстрацией этого может быть осознание Эратосфеном в древнем мире того, что плоская Земля может быть деформирована в сферическую Землю с параметром деформации 1/ R ⊕ .) Например, можно определить некоммутативный тор как квантование деформации через ★ -произведение, чтобы неявно рассмотреть все тонкости сходимости (обычно не рассматриваемые в формальном квантовании деформации). Поскольку алгебра функций на пространстве определяет геометрию этого пространства, изучение звездного произведения приводит к изучению некоммутативной геометрической деформации этого пространства.

В контексте приведенного выше примера с плоским фазовым пространством звездное произведение ( произведение Мойала , фактически введенное Грёневольдом в 1946 году), ★ ħ , пары функций от f 1 , f 2 ∈ C ∞ (ℜ 2 ) , определяется как

Ф [ ф 1 ⋆ ф 2 ] = Ф [ ф 1 ] Ф [ ф 2 ] . {\displaystyle \Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,}

где — преобразование Вигнера–Вейля . Ф {\displaystyle \Фи}

Звездное произведение в общем случае не коммутативно, но переходит в обычное коммутативное произведение функций в пределе ħ → 0. Как таковое, говорят, что оно определяет деформацию коммутативной алгебры C ∞ (ℜ 2 ) .

Для приведенного выше примера отображения Вейля ★ -произведение можно записать в терминах скобки Пуассона как

ф 1 ⋆ ф 2 = ∑ н = 0 ∞ 1 н ! ( я ℏ 2 ) н П н ( ф 1 , ф 2 ) . {\displaystyle f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).}

Здесь Π — бивектор Пуассона , оператор, определенный таким образом, что его мощности равны

П 0 ( ф 1 , ф 2 ) = ф 1 ф 2 {\displaystyle \Пи ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}}

и

П 1 ( ф 1 , ф 2 ) = { ф 1 , ф 2 } = ∂ ф 1 ∂ д ∂ ф 2 ∂ п − ∂ ф 1 ∂ п ∂ ф 2 ∂ д   , {\displaystyle \Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,}

где { f 1 , f 2 } — скобка Пуассона . В более общем смысле,

П н ( ф 1 , ф 2 ) = ∑ к = 0 н ( − 1 ) к ( н к ) ( ∂ к ∂ п к ∂ н − к ∂ д н − к ф 1 ) × ( ∂ н − к ∂ п н − к ∂ к ∂ д к ф 2 ) {\displaystyle \Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)}

где - биномиальный коэффициент . ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}}

Так, например, [1] гауссианы составляют гиперболически ,

exp ⁡ ( − a ( q 2 + p 2 ) )   ⋆   exp ⁡ ( − b ( q 2 + p 2 ) ) = 1 1 + ℏ 2 a b exp ⁡ ( − a + b 1 + ℏ 2 a b ( q 2 + p 2 ) ) , {\displaystyle \exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),}

или

δ ( q )   ⋆   δ ( p ) = 2 h exp ⁡ ( 2 i q p ℏ ) , {\displaystyle \delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),}

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (простые плоские скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных многообразиях Пуассона см. формулу квантования Концевича .

Антисимметризация этого ★ -произведения дает скобку Мойала , правильную квантовую деформацию скобки Пуассона и изоморф фазового пространства (преобразование Вигнера) квантового коммутатора в более привычной формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве. Как таковая, она обеспечивает краеугольный камень динамических уравнений наблюдаемых в этой формулировке фазового пространства.

В результате получается полная формулировка фазового пространства квантовой механики, полностью эквивалентная представлению оператора в гильбертовом пространстве , со звездными умножениями, изоморфно параллельными операторным умножениям. [1]

Ожидаемые значения в квантовании фазового пространства получаются изоморфно отслеживанию наблюдаемых операторов Φ с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они получаются с помощью интегралов фазового пространства наблюдаемых, таких как f выше , с распределением квазивероятности Вигнера, эффективно служащим мерой.

Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (тот же объем, что и для классической механики), приведенное выше отображение Вейля облегчает распознавание квантовой механики как деформации (обобщения, ср. принцип соответствия ) классической механики с параметром деформации ħ / S. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую с параметром деформации v / c ; или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда/характеристическая размерность. Наоборот, групповое сокращение приводит к недеформированным теориям с исчезающим параметром — классическим пределам .)

Классические выражения, наблюдаемые величины и операции (такие как скобки Пуассона) модифицируются квантовыми поправками, зависящими от ħ , поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается до некоммутативного звездного умножения, характеризующего квантовую механику и лежащего в основе ее принципа неопределенности.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве . World Scientific . ISBN 9789814520430.

Дальнейшее чтение

  • Концевич, Максим (1 апреля 1999 г.). «Операды и мотивы в квантовании деформаций». Письма в математическую физику . 48 (1): 35–72. doi :10.1023/A:1007555725247. ISSN  1573-0530.
  • Эспозито, Кьяра (2015). Теория формальности: от пуассоновских структур до квантования деформаций. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-09290-4. ISBN 978-3-319-09289-8. ISSN  2197-1757.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
  • https://ncatlab.org/nlab/show/deformation+quantization
  • https://ncatlab.org/nlab/show/formal+deformation+quantization
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Deformation_quantization&oldid=1248850819"