Николя Бурбаки

Ассоциация сотрудников Николя Бурбаки

Ассоциация коллаборационистов Николя Бурбаки
Конгресс Бурбаки в Дьелефи в 1938 году. Слева направо: Симона Вейль , [а] Шарль Писо , Андре Вейль , Жан Дьедонне (сидит), Клод Шаботи , Шарль Эресманн и Жан Дельсарт . [2]
Назван в честь	Шарль-Дени Бурбаки
Формирование	10 декабря 1934 г. (первая неофициальная встреча) 10–17 июля 1935 г. (первая официальная, учредительная конференция)
Основатели	Анри Картан Клод Шеваллей Жан Кулон Жан Дельсарт Жан Дьедонне Чарльз Эресманн Шолем Мандельбройт Рене де Поссель Андре Вайль
Основан в	Латинский квартал , Париж, Франция (первая неофициальная встреча) Бесс-ан-Шандесс , Франция (первая официальная, учредительная конференция)
Тип	Добровольное объединение
Цель	Издание учебников по чистой математике
Штаб-квартира	Высшая нормальная школа , Париж
Членство	Конфиденциально
Официальный язык	Французский
Веб-сайт	www.bourbaki.fr
Ранее назывался	Комитет по Трактату Анализа

Николя Бурбаки ( фр. Nicolas Bourbaki [nikola buʁbaki] ) — коллективный псевдоним группы математиков, преимущественно французских выпускников Высшей нормальной школы (ENS). Основанная в 1934–1935 годах, группа Бурбаки изначально намеревалась подготовить новый учебник по анализу . Со временем проект стал гораздо более амбициозным, перерастая в большую серию учебников, опубликованных под именем Бурбаки, предназначенных для изучения современной чистой математики . Серия известна под общим названием Éléments de mathématique ( Элементы математики ), это центральная работа группы. Темы, рассматриваемые в серии, включают теорию множеств , абстрактную алгебру , топологию , анализ, группы Ли и алгебры Ли .

Группа Bourbaki была основана в ответ на последствия Первой мировой войны , которая привела к гибели поколения французских математиков; в результате молодые преподаватели университета были вынуждены использовать устаревшие тексты. Во время преподавания в Страсбургском университете Анри Картан жаловался своему коллеге Андре Вейлю на неадекватность доступных учебных материалов, что побудило Вейля предложить встретиться с другими в Париже, чтобы совместно написать современный учебник по анализу. Основными основателями группы были Картан, Клод Шевалли , Жан Дельсарт , Жан Дьедонне и Вейль; другие недолгое время участвовали в группе в первые годы, и со временем состав ее членов постепенно менялся. Хотя бывшие члены открыто обсуждают свое прошлое участие в группе, у Бурбаки есть обычай держать в секрете свое нынешнее членство.

Название группы происходит от французского генерала 19-го века Шарля-Дени Бурбаки , который имел карьеру успешных военных кампаний, прежде чем понести драматическое поражение во Франко-прусской войне . ^[3] Поэтому это название было знакомо французским студентам начала 20-го века. Вайль вспомнил студенческую шутку ENS , в которой старшеклассник выдавал себя за профессора и представил «теорему Бурбаки»; название было принято позже.

Группа Бурбаки проводит регулярные частные конференции с целью составления и расширения Éléments . Темы распределяются по подкомитетам, проекты обсуждаются, и требуется единогласное согласие, прежде чем текст будет признан пригодным для публикации. Хотя этот процесс медленный и трудоемкий, результатом становится работа, которая соответствует стандартам группы по строгости и общности. Группа также связана с Séminaire Bourbaki , регулярной серией лекций, представленных членами и нечленами группы, также опубликованных и распространенных в виде письменных документов. Бурбаки имеет офис в ENS. ^[4]

Николя Бурбаки оказал влияние на математику 20-го века, особенно в середине века, когда часто появлялись тома Éléments . Группа известна среди математиков своим строгим изложением и введением понятия математической структуры , идеи, связанной с более широкой, междисциплинарной концепцией структурализма . ^{[5] [6] [7]} Работа Бурбаки повлияла на Новую математику , тенденцию в начальном математическом образовании в 1960-х годах. Хотя группа остается активной, ее влияние считается сниженным из-за нечастой публикации новых томов Éléments . Однако с 2012 года группа опубликовала четыре новых (или значительно переработанных) тома, последний из которых вышел в 2023 году (рассматривающий спектральную теорию ). Более того, по крайней мере три дополнительных тома находятся в стадии подготовки.

Шарль-Дени Сотер Бурбаки был успешным генералом в эпоху Наполеона III , участвовавшим в Крымской войне и других конфликтах. Однако во время Франко-прусской войны Шарль-Дени Бурбаки потерпел крупное поражение, в результате которого Армия Восточной Германии под его командованием отступила через швейцарскую границу и была разоружена. Генерал безуспешно пытался покончить жизнь самоубийством. Драматическая история его поражения была известна во французском массовом сознании после его смерти. ^{[8] [9]}

В начале 20 века Первая мировая война затронула европейцев всех профессий и социальных слоев, включая математиков и студентов-мужчин, которые сражались и погибли на фронте. Например, французский математик Гастон Жюлиа , пионер в изучении фракталов , потерял нос во время войны и носил кожаный ремешок на пораженной части лица до конца своей жизни. Смерть студентов ENS привела к потерянному поколению во французском математическом сообществе; ^[10] предполагаемая доля студентов-математиков ENS (и французских студентов в целом), которые погибли на войне, колеблется от одной четверти до половины, в зависимости от интервалов времени (ок. 1900–1918, особенно 1910–1916) и рассматриваемого населения. ^{[11] [12]} Кроме того, основатель Бурбаки Андре Вайль в своих мемуарах «Ученичество математика» отметил , что Франция и Германия по-разному подходили к своей интеллигенции во время войны: в то время как Германия защищала своих молодых студентов и ученых, Франция вместо этого отправляла их на фронт из-за французской культуры эгалитаризма . [ 12 ^]

Последующее поколение студентов-математиков посещало ENS в 1920-х годах, включая Вейля и других, будущих основателей Бурбаки. Во время своего обучения Вейль вспомнил шутку, в которой старшеклассник Рауль Хассон  [фр] выдавал себя за профессора и читал лекцию по математике, заканчивавшуюся подсказкой: «Теорема Бурбаки: вы должны доказать следующее...». Вейль также знал о похожем трюке около 1910 года ^[3] , в котором студент утверждал, что он из вымышленной, обедневшей страны «Полдевия» и просил общественность делать пожертвования. ^{[13] [14]} Вейль проявлял сильный интерес к языкам и индийской культуре , выучив санскрит и прочитав Бхагавад-гиту . ^{[15] [16]} После окончания ENS и получения докторской степени Вейль устроился преподавателем в Алигархский мусульманский университет в Индии. Там Вейль встретил математика Дамодара Косамби , который боролся за власть с одним из своих коллег. Вейль предложил Косамби написать статью с материалом, приписываемым некоему «Бурбаки», чтобы продемонстрировать свои знания коллеге. ^[17] Косамби принял предложение, приписав обсуждаемый в статье материал «малоизвестному русскому математику Д. Бурбаки , который был отравлен во время Революции». Это была первая статья в математической литературе с материалом, приписываемым одноименному «Бурбаки». ^{[18] [19] [20]} Пребывание Вейля в Индии было недолгим; он попытался реконструировать математический факультет в Алигархе, но безуспешно. ^[21] Администрация университета планировала уволить Вейля и повысить его коллегу Виджаярагхавана на освободившуюся должность. Однако Вейль и Виджаярагхаван уважали друг друга. Вместо того, чтобы играть какую-либо роль в драме, Виджаярагхаван ушел в отставку, позже сообщив Вейлю о своем плане. ^[22] Вейль вернулся в Европу, чтобы искать другую должность преподавателя. Он оказался в Страсбургском университете, присоединившись к своему другу и коллеге Анри Картану. ^[23]

Во время их совместной работы в Страсбурге Вайль и Картан регулярно жаловались друг другу на неадекватность доступных учебных материалов для обучения исчислению . В своих мемуарах Apprenticeship Вайль описал свое решение следующим образом: «Однажды зимним днем ​​в конце 1934 года мне пришла в голову прекрасная идея, которая положит конец этим непрекращающимся допросам моего товарища. «Мы — пять или шесть друзей», — сказал я ему некоторое время спустя, — «которые отвечают за одну и ту же программу по математике в разных университетах. Давайте все соберемся вместе и урегулируем эти вопросы раз и навсегда, и после этого я буду избавлен от этих вопросов». Я не знал, что Бурбаки родился в тот момент». ^[23] Картан подтвердил рассказ. ^[24]

Первая неофициальная встреча коллектива Бурбаки состоялась в полдень в понедельник, 10 декабря 1934 года, в кафе Grill-Room A. Capoulade, Париж, в Латинском квартале . ^{[25] [26] [27] [28] [b]} Присутствовало шесть математиков: Анри Картан , Клод Шевалле , Жан Дельсарт , Жан Дьедонне , Рене де Поссель и Андре Вейль . Большая часть группы находилась за пределами Парижа и приехала в город, чтобы посетить семинар Жюлиа, конференцию, подготовленную с помощью Гастона Жюлиа, на которой выступили несколько будущих членов и соратников Бурбаки. ^{[30] [31] [c]} Группа решила коллективно написать трактат по анализу с целью стандартизации обучения исчислению во французских университетах. Проект был специально предназначен для замены текста Эдуарда Гурса , который группа сочла сильно устаревшим, и для улучшения его трактовки теоремы Стокса . ^{[27] [35] [36] [37]} Основатели также были мотивированы желанием включить идеи Геттингенской школы , в частности, от представителей Гильберта , Нётер и Б. Л. ван дер Вардена . Кроме того, после Первой мировой войны возник определенный националистический импульс, направленный на спасение французской математики от упадка, особенно в конкуренции с Германией. Как заявил Дьедонне в интервью: «Не желая хвастаться, я могу сказать, что именно Бурбаки спас французскую математику от вымирания». ^[38]

Жан Дельсарт был особенно благосклонен к коллективному аспекту предлагаемого проекта, отмечая, что такой рабочий стиль может оградить работу группы от потенциальных последующих индивидуальных претензий на авторские права . ^{[35] [39] [d]} По мере обсуждения различных тем Дельсарт также предложил начать работу в максимально абстрактных, аксиоматических терминах, рассматривая все математические предпосылки для анализа с нуля. ^{[41] [42]} Группа согласилась с идеей, и эта основополагающая область предлагаемой работы была названа «Абстрактным пакетом» (Paquet Abstrait). ^{[43] [44] [45] Были приняты} рабочие названия : группа именовала себя Комитетом по Трактату об Анализе , а их предлагаемая работа была названа Трактатом об Анализе ( Traité d'analyse ). ^{[46] [47]} В целом, коллектив провел десять предварительных двухнедельных встреч в А. Капуладе перед своей первой официальной, учредительной конференцией в июле 1935 года. ^{[47] [48]} В этот ранний период к нему присоединились и приняли участие Поль Дюбрейль , Жан Лере и Шолем Мандельбройт . Дюбрейль и Лере покинули встречи до следующего лета и были заменены новыми участниками Жаном Кулоном и Шарлем Эресманном соответственно . ^{[46] [49]}

Официальная учредительная конференция группы прошла в Бесс-ан-Шандессе с 10 по 17 июля 1935 года. ^{[50] [51]} На момент официального основания в состав группы входили шесть участников первого обеда 10 декабря 1934 года, а также Кулон, Эресман и Мандельбройт. 16 июля члены группы отправились на прогулку, чтобы развеять скуку непродуктивных заседаний. Во время недомогания некоторые решили искупаться голышом в близлежащем озере Павен , неоднократно выкрикивая «Бурбаки!» ^[52] В конце первой официальной конференции группа переименовала себя в «Бурбаки», ссылаясь на генерала и шутку, о которых вспоминают Вайль и другие. ^{[45] [e]} В 1935 году группа также решила установить математическую индивидуальность своего коллективного псевдонима, опубликовав статью под его именем. ^{[50] [54]} Необходимо было выбрать имя; для публикации любой статьи требовалось полное имя. С этой целью жена Рене де Посселя Эвелин «окрестила» псевдоним именем Николя, став «крестной матерью» Бурбаки. ^{[50] [55] [56] [57]} Это позволило опубликовать вторую статью с материалом, приписываемым Бурбаки, на этот раз под «его» собственным именем. ^[58] Отец Анри Картана Эли Картан , также математик и сторонник группы, представил статью издателям, которые ее приняли. ^[54]

На момент основания Bourbaki Рене де Поссель и его жена Эвелин находились в процессе развода. Эвелин снова вышла замуж за Андре Вейля в 1937 году, а де Поссель покинул коллектив Bourbaki некоторое время спустя. Эта последовательность событий вызвала предположения, что де Поссель покинул группу из-за повторного брака, ^[59] однако это предположение также подверглось критике как возможное исторически неточное, поскольку де Поссель, как предполагается, оставался активным в Bourbaki в течение многих лет после женитьбы Андре на Эвелин. ^[60]

Работа Бурбаки значительно замедлилась во время Второй мировой войны , хотя группа выжила и позже процветала. Некоторые члены Бурбаки были евреями и поэтому были вынуждены бежать из определенных частей Европы в определенное время. Вайль, который был евреем, провел лето 1939 года в Финляндии со своей женой Эвелин, в качестве гостей Ларса Альфорса . Из-за их путешествия вблизи границы, пара была заподозрена финскими властями как советские шпионы в начале Зимней войны , и Андре был позже арестован. ^[61] Согласно анекдоту, Вайль должен был быть казнен, если бы не мимолетное упоминание его дела Рольфу Неванлинне , который попросил смягчить приговор Вайлю. ^[62] Однако точность этой детали сомнительна. ^[63] В 1941 году Вайль прибыл в Соединенные Штаты, позже снова преподавал в Сан-Паулу с 1945 по 1947 год, прежде чем обосноваться в Чикагском университете с 1947 по 1958 год и, наконец, в Институте перспективных исследований в Принстоне , где он провел остаток своей карьеры. Хотя Вайль оставался в контакте с коллективом Бурбаки и периодически посещал Европу и группу после войны, его уровень вовлеченности в Бурбаки так и не вернулся к тому, что был во время основания.

Член Бурбаки второго поколения Лоран Шварц также был евреем и нашел работу пикапера в качестве учителя математики в сельской местности Виши во Франции . Переезжая из деревни в деревню, Шварц планировал свои передвижения, чтобы избежать захвата нацистами . [ ^64] Однажды Шварц оказался в ловушке на ночь в определенной деревне, так как его ожидаемый транспорт домой был недоступен. В городе было два постоялых двора: комфортабельный, хорошо обставленный и очень плохой, без отопления и с плохими кроватями. Инстинкт Шварца подсказал ему остановиться в бедном постоялом дворе; ночью нацисты совершили налет на хороший постоялый двор, оставив бедный постоялый двор без присмотра. ^[65]

Тем временем, Жан Дельсарт, католик, был мобилизован в 1939 году в качестве капитана батареи аудиоразведки. Он был вынужден возглавить отступление подразделения из северо-восточной части Франции на юг. Проходя мимо швейцарской границы, Дельсарт услышал, как солдат сказал: «Мы — армия Бурбаки»; ^{[66] [67]} отступление генерала 19-го века было известно французам. Дельсарт по совпадению возглавил отступление, похожее на отступление коллектива, в честь которого названо это подразделение.

После войны Бурбаки укрепил план своей работы и вошел в продуктивную рутину. Бурбаки регулярно публиковал тома « Элементов» в 1950-х и 1960-х годах и пользовался наибольшим влиянием в этот период. ^{[68] [69]} Со временем основатели постепенно покинули группу, медленно заменяясь молодыми новичками, включая Жана-Пьера Серра и Александра Гротендика . Серр, Гротендик и Лоран Шварц были награждены медалью Филдса в послевоенный период, в 1954, 1966 и 1950 годах соответственно. Более поздние члены Ален Конн и Жан-Кристоф Йокко также получили медаль Филдса, в 1982 и 1994 годах соответственно. ^[70]

Поздняя практика принятия научных наград контрастировала с некоторыми взглядами основателей. ^[71] В 1930-х годах Вайль и Дельсарт подали петицию против французской национальной научной «системы медалей», предложенной лауреатом Нобелевской премии по физике Жаном Перреном . Вайль и Дельсарт считали, что учреждение такой системы усилит неконструктивную мелочность и зависть в научном сообществе. ^[72] Несмотря на это, группа Бурбаки ранее успешно ходатайствовала перед Перреном о правительственном гранте для поддержки своей нормальной деятельности. ^[73] Как и основатели, Гротендик также был против наград, хотя и по пацифистским причинам. Хотя Гротендик был награжден медалью Филдса в 1966 году, он отказался присутствовать на церемонии в Москве в знак протеста против советского правительства. ^[74] В 1988 году Гротендик полностью отказался от премии Крафорда , сославшись на отсутствие личной необходимости принимать призовые деньги, отсутствие недавних соответствующих результатов и общее недоверие к научному сообществу. ^[75]

Родившийся в еврейской анархистской семье, Гротендик пережил Холокост и быстро продвинулся во французском математическом сообществе, несмотря на плохое образование во время войны. ^[76] Среди учителей Гротендика были основатели Бурбаки, и поэтому он присоединился к группе. Во время членства Гротендика Бурбаки зашел в тупик относительно своего основополагающего подхода. Гротендик выступал за переформулирование работы группы, используя теорию категорий в качестве теоретической основы, а не теорию множеств. Предложение было в конечном итоге отклонено ^{[77] [78] [79]} отчасти потому, что группа уже взяла на себя обязательство придерживаться жесткого пути последовательного изложения с несколькими уже опубликованными томами. После этого Гротендик покинул Бурбаки «в гневе». ^{[37] [64] [80]} Биографы коллектива описали нежелание Бурбаки начать все заново с точки зрения теории категорий как упущенную возможность. ^{[64] [81] [82]} Однако в 2023 году Бурбаки объявил, что в настоящее время готовится книга по теории категорий (см. ниже последний абзац этого раздела).

В период основания группа выбрала парижского издателя Hermann для выпуска выпусков Éléments . Hermann возглавлял Энрике Фрейман, друг основателей, готовый опубликовать проект группы, несмотря на финансовый риск. В 1970-х годах Бурбаки вступил в затяжную судебную тяжбу с Hermann по вопросам авторских прав и выплаты роялти . Хотя группа Бурбаки выиграла иск и сохранила коллективные авторские права на Éléments , спор замедлил производительность группы. ^{[83] [84]} Бывший член Пьер Картье описал судебный процесс как пиррову победу , заявив: «Как обычно в юридических баталиях, обе стороны проиграли, а адвокат разбогател». ^[64] Более поздние издания Éléments были опубликованы издательством Masson , а современные издания публикуются Springer . ^[85] С 1980-х по 2000-е годы Бурбаки публиковался очень редко, в результате чего в 1998 году Le Monde объявила коллектив «мертвым». ^[86]

Однако в 2012 году Бурбаки возобновил публикацию «Элементов » с переработанной главой 8 алгебры, первыми 4 главами новой книги по алгебраической топологии и двумя томами по спектральной теории (первый из которых является расширенной и переработанной версией издания 1967 года, а последний состоит из трех новых глав). Более того, текст двух последних томов объявляет, что книги по теории категорий и модулярным формам в настоящее время находятся в стадии подготовки (в дополнение к последней части книги по алгебраической топологии). ^{[87] [88]}

Бурбаки проводит периодические конференции с целью расширения Éléments ; эти конференции являются центральным видом деятельности рабочей жизни группы. Подкомитетам поручается писать черновики по определенному материалу, и черновики позже представляются, бурно обсуждаются и перерабатываются на конференциях. Требуется единогласное согласие, прежде чем любой материал будет признан приемлемым для публикации. ^{[90] [91] [92]} Определенный фрагмент материала может потребовать шести или более черновиков в течение нескольких лет, и некоторые черновики никогда не превращаются в завершенную работу. ^{[91] [93]} Поэтому процесс написания Бурбаки был описан как « Сизифов ». ^[92] Хотя метод медленный, он дает конечный продукт, который удовлетворяет стандартам группы по математической строгости , одному из главных приоритетов Бурбаки в трактате. Акцент Бурбаки на строгости был реакцией на стиль Анри Пуанкаре , который подчеркивал важность свободной математической интуиции за счет тщательного представления. ^[f] В первые годы проекта Дьедонне был писцом группы, автором нескольких окончательных черновиков, которые в конечном итоге были опубликованы. Для этой цели Дьедонне принял безличный стиль письма , который не был его собственным, но который использовался для создания материала, приемлемого для всей группы. ^{[94] [95]} Дьедонне сохранил свой личный стиль для своей собственной работы; как и все члены Бурбаки, Дьедонне также публиковал материалы под своим собственным именем, ^[96] включая девятитомный Éléments d'analyse , работу, явно сосредоточенную на анализе и часть с первоначальными намерениями Бурбаки.

Большинство окончательных черновиков «Элементов» Бурбаки тщательно избегали использования иллюстраций, отдавая предпочтение формальному представлению, основанному только на тексте и формулах. Исключением из этого было рассмотрение групп Ли и алгебр Ли (особенно в главах 4–6), где использовались диаграммы и иллюстрации. Включение иллюстраций в эту часть работы было заслугой Армана Бореля . Борель был швейцарцем меньшинства в коллективе с преобладанием французов и называл себя «швейцарским крестьянином», объясняя, что визуальное обучение важно для швейцарского национального характера. ^{[64] [97]} Когда его спросили о нехватке иллюстраций в работе, бывший член Пьер Картье ответил:

Бурбаки были пуританами , а пуритане решительно выступают против изобразительного изображения истин своей веры. Число протестантов и евреев в группе Бурбаки было подавляющим. И вы знаете, что французские протестанты особенно близки евреям по духу.

—  Пьер Картье ^[64]

Конференции традиционно проводились в тихих сельских районах. ^[98] Эти места контрастируют с оживленными, иногда жаркими дебатами, которые происходили. Лоран Шварц сообщил об эпизоде, в котором Вейль ударил Картана по голове сквозняком. Владелец отеля увидел инцидент и предположил, что группа распадется, но, по словам Шварца, «мир был восстановлен в течение десяти минут». ^[99] Исторический, конфронтационный стиль дебатов в Бурбаки был частично приписан Вейлю, который считал, что новые идеи имеют больше шансов родиться в конфронтации, чем в упорядоченном обсуждении. ^{[91] [99]} Шварц рассказал еще один показательный случай: Дьедонне был непреклонен в том, что топологические векторные пространства должны появляться в работе до интегрирования , и всякий раз, когда кто-то предлагал изменить порядок, он громко угрожал своей отставкой. Это стало шуткой среди группы; жена Роджера Годемана Соня посетила конференцию, знала об этой идее и потребовала доказательств. Когда Соня пришла на встречу, один из ее членов предположил, что интегрирование должно появляться до топологических векторных пространств, что вызвало обычную реакцию Дьедонне. ^[99]

Несмотря на историческую культуру жарких споров, Бурбаки процветал в середине двадцатого века. Способность Бурбаки поддерживать такой коллективный, критический подход была описана как «нечто необычное», ^[100] удивляющее даже его собственных членов. По словам основателя Анри Картана, «То, что конечный продукт вообще может быть получен, является своего рода чудом, которое никто из нас не может объяснить». ^{[101] [102]} Было высказано предположение, что группа выжила, потому что ее члены твердо верили в важность своего коллективного проекта, несмотря на личные разногласия. ^{[91] [103]} Когда группа преодолевала трудности или разрабатывала идею, которая им нравилась, они иногда говорили l'esprit a soufflé («дух дышит»). ^{[91] [104]} Историк Лилиан Болье отметила, что «дух» — который мог быть аватаром , групповым менталитетом в действии или «самим» Бурбаки — был частью внутренней культуры и мифологии, которую группа использовала для формирования своей идентичности и выполнения работы. ^[105]

Юмор был важным аспектом культуры группы, начиная с воспоминаний Вейля о студенческих проделках с участием «Бурбаки» и «Полдевии». Например, в 1939 году группа выпустила объявление о свадьбе «Бетти Бурбаки» (дочери Николаса) с неким « Х. Петардом » (Х. «Петарды» или «Гектор Петард»), «охотником на львов». ^[106] Гектор Петард сам по себе был псевдонимом, но не изначально придуманным членами Бурбаки. Прозвище Петард было придумано Ральфом П. Боасом , Фрэнком Смитисом и другими математиками Принстона , которые знали о проекте Бурбаки; вдохновленные ими, математики Принстона опубликовали статью о «математике охоты на львов». После встречи с Боасом и Смитисом Вейль составил объявление о свадьбе, которое содержало несколько математических каламбуров. ^[107] Внутренний информационный бюллетень Бурбаки La Tribu иногда выпускался с юмористическими подзаголовками, описывающими ту или иную конференцию, например, «Чрезвычайный конгресс старых чудаков» (где любой человек старше 30 лет считался чудаком) или «Конгресс моторизации бегущего осла» (выражение, используемое для описания рутинного развертывания математического доказательства или процесса). ^{[108] [109]}

В 1940–1950-х годах ^{[110] [111]} Американское математическое общество получало заявки на индивидуальное членство от Бурбаки. Они были отклонены Дж. Р. Клайном , который понимал, что это коллективное образование, и предложил им повторно подать заявку на институциональное членство. В ответ Бурбаки пустил слух, что Ральф Боас не был реальным человеком, а коллективным псевдонимом редакторов Mathematical Reviews, с которыми Боас был связан. Причина преследования Боаса заключалась в том, что он знал группу в ее ранние дни, когда они были менее строги в отношении секретности, и он описал их как коллектив в статье для Encyclopaedia Britannica . ^[112] В ноябре 1968 года во время одного из семинаров был опубликован фиктивный некролог Николя Бурбаки. ^{[113] [114]}

Группа разработала несколько вариантов слова «Бурбаки» для внутреннего использования. Существительное «Бурбаки» может относиться как к группе в целом, так и к отдельному ее члену, например, «Андре Вайль был Бурбаки». «Бурбакист» иногда используется для обозначения членов ^[37], но также обозначает соратников, сторонников и энтузиастов. ^{[115] [116]} «Бурбакизировать» означало взять существующий плохой текст и улучшить его посредством процесса редактирования. ^[93]

Культура юмора Бурбаки была описана как важный фактор социальной сплоченности группы и ее способности выживать, сглаживая напряженность жарких дебатов. ^[117] По состоянию на 2025 год, учетная запись Twitter , зарегистрированная на «Betty_Bourbaki», регулярно предоставляет обновления о деятельности группы. ^[118]

Работа Бурбаки включает в себя серию учебников, серию печатных лекционных заметок, журнальных статей и внутренний информационный бюллетень. Серия учебников Éléments de mathématique (Элементы математики) является центральной работой группы. Séminaire Bourbaki — это серия лекций, проводимая регулярно под эгидой группы, и прочитанные доклады также публикуются в виде лекционных заметок. Журнальные статьи были опубликованы с авторством, приписываемым Бурбаки, и группа издает внутренний информационный бюллетень La Tribu ( Племя ), который распространяется среди нынешних и бывших членов. ^{[119] [120]}

Содержание Éléments разделено на книги — основные темы обсуждения, тома — отдельные, физические книги и главы , вместе с определенными резюме результатов, историческими заметками и другими подробностями. Тома Éléments имели сложную историю публикации. Материал был пересмотрен для новых изданий, опубликован в хронологическом порядке вне предполагаемой логической последовательности, сгруппирован и разделен по-другому в более поздних томах и переведен на английский язык. Например, вторая книга по алгебре была первоначально выпущена в восьми французских томах: первый в 1942 году был только главой 1, а последний в 1980 году был только главой 10. Это представление было позже сжато в пять томов с главами 1–3 в первом томе, главами 4–7 во втором и главами 8–10, каждая из которых оставалась третьим по пятый томом этой части работы. ^[119] Английское издание « Алгебры » Бурбаки состоит из переводов трех томов, включающих главы 1–3, 4–7 и 8, при этом главы 9 и 10 недоступны на английском языке по состоянию на 2025 год.

Когда основатели Бурбаки начали работать над Éléments , они изначально задумывали его как «трактат об анализе», предлагаемая работа имела рабочее название с тем же названием ( Traité d'analyse ). Вводная часть должна была всесторонне рассмотреть основы математики до анализа и называлась «Abstract Packet». Со временем участники доработали этот предложенный «вводный раздел» работы до такой степени, что он вместо этого занял несколько томов и составил большую часть работы, охватывая теорию множеств, абстрактную алгебру и топологию. Как только масштаб проекта значительно расширился за пределы его первоначальной цели, рабочее название Traité d'analyse было заменено на Éléments de mathématique . ^[45] Необычное, единственное слово «Mathematic» должно было означать веру Бурбаки в единство математики. ^{[123] [124] [125]} Первые шесть книг Éléments , представляющие первую половину работы, пронумерованы последовательно и упорядочены логически, при этом данное утверждение устанавливается только на основе более ранних результатов. ^[126] Эта первая половина работы имела подзаголовок Les structures fundamentales de l'analyse ( Фундаментальные структуры анализа ), ^{[119] [127] [128]} охватывающий устоявшуюся математику (алгебру, анализ) в стиле группы. Вторая половина работы состоит из ненумерованных книг, рассматривающих современные области исследований (группы Ли, коммутативная алгебра), каждая из которых предполагает первую половину как общую основу, но без зависимости друг от друга. Эта вторая половина работы, состоящая из новых исследовательских тем, не имеет соответствующего подзаголовка.

Тома Éléments , опубликованные Германом, были проиндексированы по хронологии публикации и упоминались как fascicules : части в большой работе. Некоторые тома не состояли из обычных определений, доказательств и упражнений в учебнике математики, а содержали только резюме результатов по заданной теме, изложенные без доказательств. Эти тома упоминались как Fascicules de résultats , в результате чего fascicule может относиться к тому издания Германа или к одному из «кратких» разделов работы (например, Fascicules de résultats переводится как «Краткое изложение результатов», а не «Часть результатов», имея в виду содержание, а не конкретный том). ^[g] Первым томом «Элементов» Бурбаки , опубликованным в 1939 году, был «Сводка результатов по теории множеств» . ^{[64] [119] [131]} Аналогично одна из более поздних книг этой работы, «Дифференциальные и аналитические многообразия» , состояла только из двух томов сводок результатов, при этом ни одна глава с содержанием не была опубликована.

Более поздние выпуски Éléments появлялись нечасто в 1980-х и 1990-х годах. Том Commutative Algebra (главы 8–9) был опубликован в 1983 году, и никаких других томов не было выпущено до появления десятой главы той же книги в 1998 году. В 2010-х годах Bourbaki увеличил свою производительность. Переписанная и расширенная версия восьмой главы Algebra появилась в 2012 году, первые четыре главы новой книги, посвященной алгебраической топологии, были опубликованы в 2016 году, а первые две главы переработанного и расширенного издания Spectral Theory были выпущены в 2019 году, а оставшиеся три (совершенно новые) главы появились в 2023 году.

Семинар Бурбаки проводится регулярно с 1948 года, и лекции читают как члены, так и не члены коллектива. По состоянию на 2025 год Семинар Бурбаки насчитывал более тысячи записанных лекций в письменном виде, обозначенных в хронологическом порядке простыми числами. ^[140] На момент лекции в июне 1999 года, прочитанной Жан-Пьером Серром на тему групп Ли, общее количество лекций, прочитанных в серии, составляло 864, что соответствует примерно 10 000 страниц печатного материала. ^[141]

В математической литературе появилось несколько журнальных статей с материалом или авторством, приписываемыми Бурбаки; в отличие от « Элементов» , они, как правило, писались отдельными членами ^[119] , а не создавались в ходе обычного процесса группового консенсуса. Несмотря на это, эссе Жана Дьедонне «Архитектура математики» стало известно как манифест Бурбаки . ^{[142] [143]} Дьедонне обратился к вопросу чрезмерной специализации в математике, которому он противопоставил неотъемлемое единство математики (в отличие от математики) и предложил математические структуры в качестве полезных инструментов, которые можно применять к нескольким предметам, показывая их общие черты. ^[144] Чтобы проиллюстрировать эту идею, Дьедонне описал три различные системы в арифметике и геометрии и показал, что все они могут быть описаны как примеры группы , особого вида ( алгебраической ) структуры. ^[145] Дьедонне описал аксиоматический метод как « систему Тейлора для математики» в том смысле, что он может быть использован для эффективного решения проблем. ^{[146] [i]} Такая процедура повлечет за собой выявление соответствующих структур и применение установленных знаний о данной структуре к конкретной рассматриваемой проблеме. ^[146]

• Kosambi, DD (1931). «Об обобщении второй теоремы Бурбаки». Бюллетень Академии наук Соединенных провинций Агры и Ауда, Аллахабад, Индия . 1 : 145–47 . ISBN 978-81-322-3674-0.Перепечатано в Ramaswamy, Ramakrishna, ed. (2016). DD Kosambi: Selected Works in Mathematics and Statistics . Springer. стр.  55–57 . doi :10.1007/978-81-322-3676-4_6.Косамби приписал материал статьи «Д. Бурбаки», что является первым упоминанием одноименного Бурбаки в литературе.
• Бурбаки, Николя (1935). «Sur un theorème de Carathéodory et la mesure dans les espaces topologiques». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 201 : 1309–11 .Предполагаемый автор: Андре Вайль.
• —— (1938). «Sur les espaces de Banach». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 206 : 1701–04 .Предполагаемый автор: Жан Дьедонне.
• ——; Дьедонне, Жан (1939). «Записка о тератопологии II». Revue scientifique (или «Ревю розы») : 180–81 .Предполагаемый автор: Жан Дьедонне. Вторая из серии из трех статей.
• —— (1941). «Минимальные пространства и отдельные дополнительные пространства». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 212 : 215–18 .Предполагаемый автор: Жан Дьедонне или Андре Вейль.
• —— (1948). «Архитектура математики». В Le Lionnais , Франсуа (ред.). Великие куранты математических мыслей . Действует Суд. стр.  35–47 .Предполагаемый автор: Жан Дьедонне.
• —— (1949). «Основы математики для практикующего математика». Журнал символической логики . 14 (1): 1– 8. doi :10.2307/2268971. JSTOR  2268971. S2CID  26516355.Предполагаемый автор: Андре Вайль.
• —— (1949). «Сюр ле теорема де Цорн». Архив математики . 2 (6): 433–37 . doi : 10.1007/BF02036949. S2CID  117826806.Предполагаемый автор: Анри Картан или Жан Дьедонне.
• —— (1950). «Архитектура математики». American Mathematical Monthly . 57 (4): 221– 32. doi :10.1080/00029890.1950.11999523. JSTOR  2305937.Предполагаемый автор: Жан Дьедонне. Авторизованный перевод главы книги L'architecture des mathématiques , опубликованной на английском языке в виде журнальной статьи.
• —— (1950). «Наверное, пространство векторной топологии». Анналы Института Фурье . 2 : 5–16 . doi : 10.5802/aif.16 .Предполагаемые авторы: Жан Дьедонне и Лоран Шварц.

La Tribu — это внутренний информационный бюллетень Бурбаки, распространяемый среди нынешних и бывших членов. Информационный бюллетень обычно документирует последние конференции и деятельность в юмористической, неформальной манере, иногда включая поэзию. ^[147] Член Пьер Самуэль писал повествовательные разделы информационного бюллетеня в течение нескольких лет. ^[148] Ранние выпуски La Tribu и связанные с ними документы были сделаны общедоступными Бурбаки. ^[33]

Историк Лилиан Болье исследовала La Tribu и другие сочинения Бурбаки, описывая юмор группы и ее личный язык как «искусство памяти», которое специфично для группы и выбранных ею методов работы. ^[149] Из-за секретности и неформальной организации группы отдельные воспоминания иногда записываются фрагментарно и могут не иметь значения для других членов. ^[150] С другой стороны, преимущественно французское происхождение членов ENS, вместе с историями о раннем периоде и успехах группы, создают общую культуру и мифологию, которая используется для групповой идентичности. La Tribu обычно перечисляет участников, присутствующих на конференции, вместе с любыми посетителями, членами семьи или другими присутствующими друзьями. Юмористические описания местоположения или местного «реквизита» (автомобили, велосипеды, бинокли и т. д.) также могут служить мнемоническими приемами. ^[108]

По состоянию на 2000 год в Бурбаки было «около сорока» членов. ^[151] Исторически группа насчитывала от десяти ^[152] до двенадцати ^[64] членов в любой момент, хотя на короткое время (и официально) она была ограничена девятью членами на момент основания. ^[47] Членство Бурбаки было описано в терминах поколений:

Бурбаки всегда были очень небольшой группой математиков, обычно насчитывающей около двенадцати человек. Ее первое поколение было поколением отцов-основателей, тех, кто создал группу в 1934 году: Вейль, Картан, Шевалле, Дельсарт, де Поссель и Дьедонне. Другие присоединились к группе, а другие покинули ее ряды, так что несколько лет спустя в группе было около двенадцати членов, и это число оставалось примерно постоянным. Лоран Шварц был единственным математиком, присоединившимся к Бурбаки во время войны, поэтому его считают промежуточным поколением. После войны к группе присоединились еще несколько членов: Жан-Пьер Серр , Пьер Самуэль , Жан-Луи Кошуль , Жак Диксмье , Роже Годеман и Сэмми Эйленберг . Эти люди составили второе поколение Бурбаки. В 1950-х годах к Бурбаки присоединилось третье поколение математиков. Среди этих людей были Александр Гротендик , Франсуа Брюа , Серж Ланг , американский математик Джон Тейт , Пьер Картье и швейцарский математик Арман Борель . ^{[64] [153]}

После первых трех поколений осталось около двадцати более поздних членов, не считая нынешних участников. У Бурбаки есть обычай хранить в тайне свое текущее членство, практика, призванная гарантировать, что его продукция представлена ​​как коллективное, единое усилие под псевдонимом Бурбаки, не приписываемое какому-либо одному автору (например, в целях авторских прав или выплаты роялти). Эта секретность также призвана отпугнуть нежелательное внимание, которое может нарушить нормальную работу. Однако бывшие члены свободно обсуждают внутреннюю практику Бурбаки после ухода. ^{[64] [154]}

Потенциальных членов приглашают на конференции и представляют в виде подопытных кроликов , процесс, призванный проверить математические способности новичка. ^{[64] [155]} В случае достижения соглашения между группой и потенциальным кандидатом, потенциальный кандидат в конечном итоге становится полноправным членом. ^[j] Предполагается, что группа имеет возрастной предел: активные члены должны уходить на пенсию в возрасте (или около) 50 лет. ^{[64] [92]} На конференции 1956 года Картан зачитал письмо от Вейля, в котором предлагалось «постепенное исчезновение» членов-основателей, заставляя более молодых членов взять на себя полную ответственность за операции Бурбаки. ^{[37] [160]} Предполагается, что это правило привело к полной смене персонала к 1958 году. ^[55] Однако историк Лилиан Болье критически отнеслась к этому заявлению. Она сообщила, что никогда не находила письменного подтверждения правила, ^[161] и указала, что были исключения. ^[162] Считается, что возрастной предел выражает намерение основателей, что проект должен продолжаться бесконечно, управляемый людьми с наилучшими математическими способностями — в математическом сообществе широко распространено мнение, что математики создают свои лучшие работы в молодом возрасте. ^{[160] [163]} Среди полноправных членов нет официальной иерархии; все действуют как равные, имея возможность прервать работу конференции в любой момент или оспорить любой представленный материал. Однако Андре Вейль был описан как «первый среди равных» в период основания, и ему оказывалось некоторое почтение. ^[164] С другой стороны, группа также высмеивала идею о том, что старшим членам следует оказывать большее уважение. ^[165]

На конференциях Бурбаки также присутствовали семьи членов, друзья, приглашенные математики и другие лица, не являющиеся членами группы. ^[k] Известно, что среди членов Бурбаки никогда не было женщин. ^{[92] [152]}

Бурбаки оказал влияние на математику 20-го века и оказал некоторое междисциплинарное влияние на гуманитарные науки и искусство, хотя степень последнего влияния является предметом спора. Группу хвалили и критиковали за ее метод представления, ее стиль работы и ее выбор математических тем.

Бурбаки ввел несколько математических обозначений, которые остались в употреблении. Вейль взял букву Ø норвежского алфавита и использовал ее для обозначения пустого множества , . ^[175] Это обозначение впервые появилось в «Сводке результатов по теории множеств» , ^[176] и остается в употреблении. Слова «инъективный» , «сюръективный» и «биективный» были введены для обозначения функций , удовлетворяющих определенным свойствам. ^{[177] [178]} Бурбаки использовал простой язык для некоторых геометрических объектов, называя их pavés ( булыжники для мостовой ) и boules ( шары ) в отличие от « параллелотопов » или « гиперсфероидов ». ^[179] Аналогично в своей трактовке топологических векторных пространств Бурбаки определил бочку как множество, которое является выпуклым , сбалансированным , поглощающим и замкнутым . ^[180] Группа гордилась этим определением, полагая, что форма винной бочки олицетворяет свойства математического объекта. ^{[181] [182]} Бурбаки также использовал символ « опасного изгиба » ☡ на полях своего текста, чтобы обозначить особенно трудный фрагмент материала. Бурбаки пользовался наибольшим влиянием в 1950-х и 1960-х годах, когда части « Элементов» публиковались часто.${\displaystyle \varничего_не_существующего }$

Бурбаки оказал некоторое междисциплинарное влияние на другие области, включая антропологию и психологию . Это влияние было в контексте структурализма , школы мысли в гуманитарных науках , которая подчеркивает отношения между объектами, а не сами объекты, которую в различных областях преследовали другие французские интеллектуалы. В 1943 году Андре Вейль встретился с антропологом Клодом Леви-Строссом в Нью-Йорке, где они недолго сотрудничали. По просьбе Леви-Стросса Вейль написал краткое приложение, описывающее правила брака для четырех классов людей в аборигенном австралийском обществе, используя математическую модель, основанную на теории групп . ^{[5] [183]} ​​Результат был опубликован в качестве приложения в работе Леви-Стросса « Элементарные структуры родства » , в которой исследуются семейные структуры и табу на инцест в человеческих культурах. ^[184] В 1952 году Жан Дьедонне и Жан Пиаже приняли участие в междисциплинарной конференции по математическим и ментальным структурам. Дьедонне описал математические «материнские структуры» в терминах проекта Бурбаки: композиция, соседство и порядок. ^[185] Затем Пиаже выступил с докладом о детских ментальных процессах и посчитал, что психологические концепции, которые он только что описал, очень похожи на математические концепции, только что описанные Дьедонне. ^{[186] [187]} По словам Пиаже, они оба были «впечатлены друг другом». ^[188] Психоаналитику Жаку Лакану понравился стиль совместной работы Бурбаки, и он предложил создать похожую коллективную группу в психологии, идея, которая не была реализована. ^[189]

Бурбаки также цитировали философы -постструктуралисты . В своей совместной работе «Анти-Эдип» Жиль Делёз и Феликс Гваттари представили критику капитализма . Авторы сослались на использование Бурбаки аксиоматического метода (с целью установления истины) как на особый контрпример процессам управления , которые вместо этого стремятся к экономической эффективности . Авторы сказали об аксиоматике Бурбаки, что «она не образует систему Тейлора», инвертируя фразу, использованную Дьедонне в «Архитектуре математики». ^{[146] [190]} В «Состоянии постмодерна » Жан-Франсуа Лиотар критиковал «легитимацию знания», процесс, посредством которого утверждения принимаются как действительные. В качестве примера Лиотар сослался на Бурбаки как на группу, которая производит знания в рамках заданной системы правил. ^{[191] [192]} Лиотар противопоставил иерархическую, «структуралистскую» математику Бурбаки теории катастроф Рене Тома и фракталам Бенуа Мандельброта , ^[s] выразив предпочтение последней «постмодернистской науке», которая проблематизировала математику с помощью «фрактариев, катастроф и прагматических парадоксов». ^{[191] [192]}

Хотя биограф Амир Ацель подчеркивал влияние Бурбаки на другие дисциплины в середине XX века, Морис Машаль смягчил утверждения о влиянии Бурбаки следующим образом:

Хотя структуры Бурбаки часто упоминались на конференциях по общественным наукам и в публикациях той эпохи, кажется, что они не сыграли реальной роли в развитии этих дисциплин. Дэвид Обен, историк науки, который анализировал роль Бурбаки в структуралистском движении во Франции, считает, что роль Бурбаки была ролью «культурного связующего звена». ^[194] По словам Обена, хотя у Бурбаки не было никакой миссии за пределами математики, группа представляла собой своего рода связующее звено между различными культурными движениями того времени. Бурбаки дал простое и относительно точное определение понятий и структур, которое философы и социологи считали основополагающим в своих дисциплинах и в качестве мостов между различными областями знаний. Несмотря на поверхностный характер этих связей, различные школы структуралистского мышления, включая Бурбаки, смогли поддержать друг друга. Поэтому не является совпадением, что эти школы одновременно пришли в упадок в конце 1960-х годов.

-  Морис Машал, цитируя Дэвида Обена ^{[187] [t] [u]}

Влияние «структурализма» на саму математику также подверглось критике. Историк математики Лео Корри утверждал, что использование Бурбаки математических структур было неважным в « Элементах» , поскольку было установлено в «Теории множеств» и впоследствии цитировалось нечасто. ^{[199] [200] [201] [202]} Корри описал «структурный» взгляд на математику, продвигаемый Бурбаки, как «образ знания» — концепцию о научной дисциплине — в отличие от элемента в «корпусе знаний» дисциплины, который относится к фактическим научным результатам в самой дисциплине. ^[200]

Бурбаки также оказал некоторое влияние на искусство. Литературный коллектив Oulipo был основан 24 ноября 1960 года при обстоятельствах, схожих с основанием Бурбаки, и изначально его участники встречались в ресторане. Хотя несколько членов Oulipo были математиками, целью группы было создание экспериментальной литературы посредством игры с языком. Oulipo часто использовала математически обоснованные ограниченные методы письма, такие как метод S+7 . Член Oulipo Раймон Кено посетил конференцию Бурбаки в 1962 году. ^{[187] [203]}

В 2016 году анонимная группа экономистов совместно написала заметку, в которой обвинила авторов и редактора статьи, опубликованной в American Economic Review, в академической халатности . ^{[204] [205]} Заметка была опубликована под именем Николаса Бирбаки в знак уважения к Николя Бурбаки. ^[206]

В 2018 году американский музыкальный дуэт Twenty One Pilots выпустил концептуальный альбом под названием Trench . Концептуальной основой альбома стал мифический город «Дема», которым управляли девять «епископов»; одного из епископов звали «Нико», что является сокращением от Николя Бурбаки. Другого епископа звали Андре, что может быть отсылкой к Андре Вайлю. После выхода альбома в Интернете резко возросло количество поисковых запросов «Николя Бурбаки». ^{[37] [v]}

Работа Бурбаки была высоко оценена некоторыми математиками. В рецензии на книгу Эмиль Артин описал «Элементы» в общих, позитивных терминах:

В наше время мы являемся свидетелями создания монументального труда: изложения всей современной математики. Более того, это изложение сделано таким образом, что общая связь между различными ветвями математики становится ясной, что каркас, на котором держится вся структура, не склонен устаревать в очень короткое время и что он может легко впитывать новые идеи.

—  Эмиль Артин ^[133]

Среди томов Éléments работа Бурбаки по группам Ли и алгебрам Ли была определена как «превосходная», ^[195] став стандартным справочником по теме. В частности, бывший член Арман Борель описал том с главами 4–6 как «одну из самых успешных книг Бурбаки». ^[208] Успех этой части работы был приписан тому факту, что книги были написаны в то время, когда ведущие специалисты по теме были членами Бурбаки. ^{[64] [209]}

Жан-Пьер Бургиньон выразил признательность Séminaire Bourbaki, сказав, что он узнал большой объем материала на его лекциях и регулярно обращался к его напечатанным лекциям. ^[210] Он также похвалил Éléments за то, что они содержат «некоторые превосходные и очень умные доказательства». ^[211]

Бурбаки также критиковался несколькими математиками, включая его бывших членов, по разным причинам. Критика включала выбор представления определенных тем в Éléments за счет других, ^[w] неприязнь к методу представления определенных тем, неприязнь к стилю работы группы и воспринимаемый элитарный менталитет вокруг проекта Бурбаки и его книг, особенно в самые продуктивные годы коллектива в 1950-х и 1960-х годах.

Обсуждения Бурбаки по поводу Éléments привели к включению некоторых тем, в то время как другие не были рассмотрены. Когда в интервью 1997 года его спросили о темах, исключенных из Éléments , бывший член Пьер Картье ответил:

По сути, нет никакого анализа за пределами основ: ничего об уравнениях с частными производными , ничего о вероятности . Нет также ничего о комбинаторике , ничего об алгебраической топологии , ^[x] ничего о конкретной геометрии . И Бурбаки никогда серьезно не рассматривал логику . Сам Дьедонне был очень ярым противником логики. Все, что связано с математической физикой, полностью отсутствует в тексте Бурбаки.

—  Пьер Картье ^[64]

Хотя Бурбаки решил рассматривать математику с ее основ, окончательное решение группы в терминах теории множеств сопровождалось несколькими проблемами. Члены Бурбаки были математиками, а не логиками , и поэтому коллектив имел ограниченный интерес к математической логике . ^[93] Как сами члены Бурбаки говорили о книге по теории множеств, она была написана «с болью и без удовольствия, но мы должны были это сделать». ^[214] Дьедонне лично заметил в другом месте, что девяносто пять процентов математиков «ничего не думают» о математической логике. ^[215] В ответ логик Адриан Матиас резко раскритиковал основополагающую структуру Бурбаки, отметив, что она не принимает во внимание результаты Гёделя . ^{[216] [217]}

Бурбаки также оказал влияние на Новую математику, неудачную ^[218] реформу западного математического образования на начальном и среднем уровнях, которая подчеркивала абстракцию, а не конкретные примеры. В середине 20-го века реформа базового математического образования была вызвана осознанной необходимостью создания математически грамотной рабочей силы для современной экономики, а также для конкуренции с Советским Союзом . Во Франции это привело к созданию Комиссии Лихнеровича 1967 года, возглавляемой Андре Лихнеровичем и включающей некоторых (тогдашних и бывших) членов Бурбаки. Хотя члены Бурбаки ранее (и индивидуально) реформировали преподавание математики на университетском уровне, они имели меньше прямого участия во внедрении Новой математики на начальном и среднем уровнях. Реформы Новой математики привели к появлению учебных материалов, которые были непонятны как студентам, так и учителям, не отвечая познавательным потребностям младших школьников. Попытка реформы подверглась резкой критике со стороны Дьедонне, а также со стороны краткосрочного основателя Бурбаки Жана Лере. ^[219] Помимо французских математиков, французские реформы также подверглись резкой критике со стороны математика советского происхождения Владимира Арнольда , который утверждал, что во времена его студенчества и преподавания в Москве преподавание математики было прочно укоренено в анализе и геометрии и переплетено с проблемами классической механики; следовательно, французские реформы не могут быть законной попыткой подражать советскому научному образованию. В 1997 году, выступая на конференции по преподаванию математики в Париже, он прокомментировал Бурбаки, заявив: «настоящие математики не объединяются в банды, но слабым нужны банды, чтобы выжить». и предположил, что объединение Бурбаки вокруг «сверхабстрактности» было похоже на группы математиков в 19 веке, которые объединились вокруг антисемитизма. ^[220]

Дьедонне позже сожалел, что успех Бурбаки способствовал снобизму в отношении чистой математики во Франции в ущерб прикладной математике . В одном из интервью он сказал: «Можно сказать, что в течение сорока лет после Пуанкаре во Франции не было серьезной прикладной математики. Был даже снобизм в отношении чистой математики. Когда замечали талантливого студента, говорили ему: «Тебе следует заняться чистой математикой». С другой стороны, посредственному студенту советовали заняться прикладной математикой, думая: «Это все, на что он способен! ... На самом деле все наоборот». Вы не сможете хорошо работать в прикладной математике, пока не научитесь хорошо работать в чистой математике». ^[221] Клод Шевалле подтвердил элитарную культуру внутри Бурбаки, описав ее как «абсолютную уверенность в нашем превосходстве над другими математиками». ^[93] Александр Гротендик также подтвердил элитарную ментальность внутри Бурбаки. ^[79] Некоторые математики, особенно геометры и прикладные математики, считали влияние Бурбаки удушающим. ^[222] Решение Бенуа Мандельброта эмигрировать в Соединенные Штаты в 1958 году было отчасти мотивировано желанием избежать влияния Бурбаки во Франции. ^[223]

Несколько связанных критических замечаний к Éléments касались его целевой аудитории и цели его представления. Тома Éléments начинаются с примечания для читателя, в котором говорится, что серия «в начале рассматривает математику и дает полные доказательства» и что «метод изложения, который мы выбрали, является аксиоматическим и абстрактным и обычно идет от общего к частному». ^[224] Несмотря на вступительный язык, целевая аудитория Бурбаки — это не абсолютные новички в математике, а скорее студенты, аспиранты и профессора, которые знакомы с математическими концепциями. ^[225] Клод Шевалли сказал, что Éléments «бесполезны для новичков», ^[226] а Пьер Картье пояснил, что «недоразумение состояло в том, что это должен быть учебник для всех. Это было большой катастрофой». ^[64]

Работа разделена на две половины. В то время как первая половина — Structures Fundamentales de l'analyse — рассматривает устоявшиеся предметы, вторая половина посвящена современным областям исследований, таким как коммутативная алгебра и спектральная теория. Это разделение в работе связано с историческим изменением цели трактата. Содержание Éléments состоит из теорем, доказательств, упражнений и связанных с ними комментариев, обычного материала в учебниках по математике. Несмотря на такое представление, первая половина была написана не как оригинальное исследование , а скорее как реорганизованное представление устоявшихся знаний. В этом смысле первая половина Éléments была больше похожа на энциклопедию , чем на серию учебников. Как заметил Картье, «Недоразумение состояло в том, что многие люди думали, что ее следует преподавать так, как она была написана в книгах. Вы можете думать о первых книгах Бурбаки как о энциклопедии математики... Если вы рассматриваете ее как учебник, это катастрофа». ^[64]

Строгое, упорядоченное представление материала в первой половине «Элементов» должно было стать основой для любых дальнейших дополнений. Однако оказалось, что развитие современных математических исследований трудно адаптировать в рамках организационной схемы Бурбаки. Эта трудность объясняется текучей, динамичной природой текущих исследований, которые, будучи новыми, не устоялись и не полностью поняты. ^{[195] [227]} Стиль Бурбаки описывается как особая научная парадигма , которая была заменена в результате смены парадигмы . Например, Ян Стюарт привел новую работу Воана Джонса по теории узлов в качестве примера топологии, которая была сделана без зависимости от системы Бурбаки. ^[228] Влияние Бурбаки со временем уменьшилось; ^[228] этот упадок был частично приписан отсутствию некоторых современных тем — таких как теория категорий — в трактате. ^{[81] [82]}

Хотя многочисленные критические замечания указывали на недостатки проекта коллектива, один из них также указывал на его силу: Бурбаки был «жертвой собственного успеха» ^[195] в том смысле, что он выполнил то, что намеревался сделать, достигнув своей первоначальной цели — представить основательный трактат по современной математике. ^{[229] [230] [231]} Эти факторы побудили биографа Мориса Машааля завершить свою трактовку Бурбаки следующим образом:

Такое предприятие заслуживает восхищения своей широтой, своим энтузиазмом и бескорыстием, своим сильным коллективным характером. Несмотря на некоторые ошибки, Бурбаки все же немного добавил к «чести человеческого духа». В эпоху, когда спорт и деньги являются такими великими идолами цивилизации, это немалая добродетель.

—  Морис Машаль ^[232]

• Теорема Бурбаки–Витта
• Теорема Джекобсона–Бурбаки
• тайное общество

Другие коллективные математические псевдонимы

• Артур Бесс
• Бланш Декарт
• Джон Рейнвотер
• Г. В. Пек

• Aczel, Amir D. (2006). Художник и математик: история Николя Бурбаки, гениального математика, который никогда не существовал . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1560259312.
• Обен, Дэвид (1997). «Увядающая бессмертность Николя Бурбаки: культурный связующий элемент на стыке математики, структурализма и УЛИПО во Франции» (PDF) . Наука в контексте . 10 (2). Cambridge University Press : 297– 342. doi : 10.1017/S0269889700002660. S2CID  170683589.
• Болье, Лилиан (1993). «Парижское кафе и десять встреч протобурбаковцев (1934–1935)». The Mathematical Intelligencer . 15 (1): 27– 35. doi :10.1007/BF03025255. S2CID  189888171.
• Болье, Лилиан (1999). «Искусство памяти Бурбаки» (PDF) . Осирис . 14 : 219–51 . doi :10.1086/649309. S2CID  143559711.
• Борель, Арманд (март 1998 г.). «Двадцать пять лет с Николя Бурбаки (1949–1973)» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 45 (3): 373–80 .
• Бурбаки, Николас (1950). «Архитектура математики». American Mathematical Monthly . 57 (4): 221– 32. doi :10.1080/00029890.1950.11999523. JSTOR  2305937.Предполагаемый автор: Жан Дьедонне. Авторизованный перевод главы книги L'architecture des mathématiques , опубликованной на английском языке в виде журнальной статьи.
• Корри, Лео (2004). «Николя Бурбаки: Теория структур». Современная алгебра и возникновение математических структур. Springer. стр.  289–338 . ISBN 978-3764370022.
• Корри, Лео (2009). «Написание лучшего учебника по математике: Éléments de mathématique Николя Бурбаки ». В Робсон, Элеанор; Стедалл, Жаклин (ред.). Оксфордский справочник по истории математики. Oxford University Press . стр.  565–87 . ISBN 978-0199213122.
• Гедж, Денис (1985). «Николя Бурбаки, коллективный математик: интервью с Клодом Шевалле» (PDF) . Mathematical Intelligencer . 7 (2). Перевод Грея, Джереми : 18– 22. doi : 10.1007/BF03024169. S2CID  123548747.
• Кремер, Ральф (2006). «Машина Гротендика» является фондом-t-elle seulement sur des métamathématiques vocables? Бурбаки и ле-категории au cours des années 5-летнего возраста». Обозрение истории математики . 12 : 119–162 . doi : 10.24033/rhm.38. Збл  1177.01034.
• Mashaal, Maurice (2006). Бурбаки: тайное общество математиков . Американское математическое общество . ISBN 978-0821839676.
• Сенешаль, Марджори (1998). «Продолжающееся молчание Бурбаки: интервью с Пьером Картье, 18 июня 1997 г.». Mathematical Intelligencer . 20 : 22–28 . doi :10.1007/BF03024395. S2CID  124159858.

• Официальный сайт L'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki (на французском языке)
• Архив ассоциации (на французском)