Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — раздел математики , который использует инструменты абстрактной алгебры для изучения топологических пространств . Основная цель — найти алгебраические инварианты , которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма , хотя обычно большинство классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности .

Хотя алгебраическая топология в первую очередь использует алгебру для изучения топологических проблем, использование топологии для решения алгебраических проблем иногда также возможно. Например, алгебраическая топология позволяет получить удобное доказательство того, что любая подгруппа свободной группы снова является свободной группой.

Ниже приведены некоторые из основных областей, изучаемых в алгебраической топологии:

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первой и самой простой гомотопической группой является фундаментальная группа , которая записывает информацию о петлях в пространстве. Интуитивно гомотопические группы записывают информацию о базовой форме или дырках топологического пространства.

В алгебраической топологии и абстрактной алгебре гомология ( отчасти от греч. ὁμός homos «тождественный») — это определённая общая процедура, связывающая последовательность абелевых групп или модулей с заданным математическим объектом, таким как топологическое пространство или группа . ^[1]

В теории гомологии и алгебраической топологии когомологии — это общий термин для последовательности абелевых групп, определяемых из комплекса коцепей . То есть когомологии определяются как абстрактное изучение коцепей , коциклов и кограниц . Когомологии можно рассматривать как метод назначения алгебраических инвариантов топологическому пространству, имеющему более тонкую алгебраическую структуру , чем гомологии . Когомологии возникают из алгебраической дуализации построения гомологии. На менее абстрактном языке коцепи в фундаментальном смысле должны назначать «количества» цепям теории гомологии.

Многообразие — это топологическое пространство , которое вблизи каждой точки напоминает евклидово пространство . Примерами служат плоскость , сфера и тор , которые могут быть реализованы в трех измерениях, а также бутылка Клейна и действительная проективная плоскость , которые не могут быть вложены в три измерения, но могут быть вложены в четыре измерения. Как правило, результаты в алгебраической топологии фокусируются на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразий; например, двойственность Пуанкаре .

Теория узлов — это изучение математических узлов . Хотя математический узел вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни в шнурках и веревках, он отличается тем, что его концы соединены так, что его нельзя развязать. На точном математическом языке узел — это вложение окружности в трехмерное евклидово пространство , . Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации на себя (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не включают разрезание нити или пропускание нити через себя.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Симплициальный комплекс — это топологическое пространство определенного вида, построенное путем «склеивания» точек , отрезков прямых , треугольников и их n -мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, появляющимся в современной теории симплициальной гомотопии. Чисто комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс .

CW -комплекс — это тип топологического пространства, введенный Дж. Х. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопий . Этот класс пространств шире и имеет некоторые лучшие категориальные свойства, чем симплициальные комплексы , но все еще сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет выполнять вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).

Более старое название предмета было комбинаторная топология , подразумевая акцент на том, как пространство X было построено из более простых ^[2] (современный стандартный инструмент для такого построения — комплекс CW ). В 1920-х и 1930-х годах все больше внимания уделялось исследованию топологических пространств путем поиска соответствий из них алгебраическим группам , что привело к изменению названия на алгебраическую топологию. ^[3] Название комбинаторная топология до сих пор иногда используется для подчеркивания алгоритмического подхода, основанного на разложении пространств. ^[4]

В алгебраическом подходе можно найти соответствие между пространствами и группами , которое уважает отношение гомеоморфизма (или более общей гомотопии ) пространств. Это позволяет преобразовывать утверждения о топологических пространствах в утверждения о группах, которые имеют большую часть управляемой структуры, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Два основных способа, которыми это можно сделать, — это через фундаментальные группы , или, в более общем смысле, гомотопическую теорию , и через группы гомологии и когомологии . Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевы и с ними может быть трудно работать. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса имеет конечное представление .

С другой стороны, группы гомологий и когомологий являются абелевыми и во многих важных случаях конечно порожденными. Конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы и с ними особенно легко работать.

В общем, все конструкции алгебраической топологии являются функториальными ; понятия категории , функтора и естественного преобразования возникли здесь. Фундаментальные группы и группы гомологии и когомологии являются не только инвариантами базового топологического пространства, в том смысле, что два топологических пространства, которые являются гомеоморфными, имеют одни и те же ассоциированные группы, но их ассоциированные морфизмы также соответствуют друг другу — непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на ассоциированных группах, и эти гомоморфизмы могут быть использованы для доказательства несуществования (или, гораздо глубже, существования) отображений.

Одним из первых математиков, работавших с различными типами когомологий, был Жорж де Рам . Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологии де Рама , или когомологии Чеха или пучковые когомологии, чтобы исследовать разрешимость дифференциальных уравнений, определенных на рассматриваемом многообразии. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные через симплициальные гомологии, являются теми же числами Бетти, что и числа Бетти, полученные через когомологии де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологии и когомологии как функторы, снабженные естественными преобразованиями, подчиненными определенным аксиомам (например, слабая эквивалентность пространств переходит в изоморфизм групп гомологии), проверили, что все существующие теории (ко)гомологии удовлетворяют этим аксиомам, а затем доказали, что такая аксиоматизация однозначно характеризует теорию.

Классические приложения алгебраической топологии включают в себя:

• Теорема Брауэра о неподвижной точке : каждое непрерывное отображение из единичного n- мерного круга в себя имеет неподвижную точку.
• Свободный ранг n- й группы гомологий симплициального комплекса — это n- е число Бетти , которое позволяет вычислить характеристику Эйлера–Пуанкаре .
• Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологии де Рама , или когомологии Чеха , или когомологии пучков, чтобы исследовать разрешимость дифференциальных уравнений, определенных на рассматриваемом многообразии.
• Многообразие ориентируемо , когда группа целочисленных гомологий высшей размерности равна целым числам, и неориентируемо, когда она равна 0.
• n - сфера допускает непрерывное единичное векторное поле, не исчезающее нигде , тогда и только тогда, когда n нечетно. (Для n  = 2 это иногда называют « теоремой о волосатом шаре ».)
• Теорема Борсука –Улама : любое непрерывное отображение n-мерной сферы в евклидово n -мерное пространство определяет по крайней мере одну пару антиподальных точек.
• Любая подгруппа свободной группы свободна. Этот результат весьма интересен, поскольку утверждение является чисто алгебраическим, хотя простейшее известное доказательство является топологическим. А именно, любая свободная группа G может быть реализована как фундаментальная группа графа X. Основная теорема о покрывающих пространствах гласит, что каждая подгруппа H из G является фундаментальной группой некоторого покрывающего пространства Y из X ; но каждое такое Y снова является графом. Следовательно, его фундаментальная группа H свободна. С другой стороны, этот тип приложений также обрабатывается проще с помощью использования покрывающих морфизмов группоидов , и эта техника дала теоремы о подгруппах, которые еще не доказаны методами алгебраической топологии; см. Хиггинс (1971).
• Топологическая комбинаторика .

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Алгебраическая топология» .

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с алгебраической топологией .

• Аллегретти, Дилан ГЛ (2008), Симплициальные множества и теорема Ван Кампена (Обсуждаются обобщенные версии теоремы ван Кампена, примененные к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
• Бредон, Глен Э. (1993), Топология и геометрия, Graduate Texts in Mathematics, т. 139, Springer, ISBN 0-387-97926-3.
• Браун, Р. (2007), Теория групп более высоких размерностей, архивировано из оригинала 2016-05-14 , извлечено 2022-08-17 (Дает широкий взгляд на многомерные теоремы Ван Кампена, включающие несколько группоидов) .
• Браун, Р.; Разак, А. (1984), «Теорема Ван Кампена для объединений несвязных пространств», Arch. Math. , 42 : 85–88 , doi :10.1007/BF01198133, S2CID  122228464. «Даёт общую теорему о фундаментальном группоиде с множеством базовых точек пространства, являющегося объединением открытых множеств».
• Браун, Р.; Харди, К.; Кампс, Х.; Портер, Т. (2002), «Гомотопический двойной группоид хаусдорфова пространства», Теория прикладных категорий , 10 (2): 71– 93.
• Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж. (1978), «О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств», Proc. London Math. Soc. , S3-36 (2): 193– 212, doi :10.1112/plms/s3-36.2.193. «Первая двумерная версия теоремы Ван Кампена».
• Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж.; Сивера, Рафаэль (2011), Неабелева алгебраическая топология: отфильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, т. 15, European Mathematical Society, arXiv : math/0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8, архивировано из оригинала 2009-06-04Это обеспечивает гомотопический теоретический подход к базовой алгебраической топологии, без необходимости в основе сингулярных гомологий или методе симплициальной аппроксимации. Он содержит много материала по скрещенным модулям .
• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Гринберг, Марвин Дж.; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология: первый курс, пересмотренное издание , серия лекций по математике, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576. Функториальный алгебраический подход, первоначально предложенный Гринбергом, с геометрической добавкой, добавленной Харпером.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Современное, геометрически оформленное введение в алгебраическую топологию.
• Хиггинс, Филип Дж. (1971), Заметки о категориях и группоидах, Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
• Маундер, CRF (1970), Алгебраическая топология , Лондон: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
• Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология, EMS Учебники по математике, Европейское математическое общество, ISBN 978-3-03719-048-7
• ван Кампен, Эгберт (1933), «О связи между фундаментальными группами некоторых родственных пространств», American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7 , JSTOR  51000091

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.и ISBN 0-521-79540-0 . 
• «Алгебраическая топология», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• May JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 2008-09-27 .В разделе 2.7 дается теоретико-категорное представление теоремы как копредела в категории группоидов.