Умножение

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Умножение» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Арифметические операции в т е

Дополнение (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{сумма}}}$ Вычитание (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{разница}}}$ Умножение (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{продукт}}}$ Деление (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\[1ex]\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle \left\{{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}\right.}$ Exponentiation (^) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\\\scriptstyle {\text{base}}^{\text{power}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ nth root (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Logarithm (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

v t e

Умножение (часто обозначается символом креста × , оператором средней точки ⋅ , сопоставлением или, на компьютерах , звездочкой * ) — одна из четырех элементарных математических операций арифметики , остальные — сложение , вычитание и деление . Результат операции умножения называется произведением .

Умножение целых чисел можно рассматривать как повторное сложение ; то есть умножение двух чисел эквивалентно сложению такого же количества копий одного из них, множимого , каково количество другого, множителя ; оба числа можно называть множителями .

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.}$

Например, 4, умноженное на 3, часто пишется и произносится как «3 умножить на 4», можно вычислить, сложив вместе 3 копии числа 4:${\displaystyle 3\times 4}$

${\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12.}$

Здесь 3 ( множитель ) и 4 ( множимое ) являются множителями , а 12 — произведением .

Одним из основных свойств умножения является свойство коммутативности , которое в данном случае гласит, что сложение 3 копий числа 4 дает тот же результат, что и сложение 4 копий числа 3:

${\displaystyle 4\times 3=3+3+3+3=12.}$

Таким образом, обозначение множителя и множимого не влияет на результат умножения. ^[1]

Систематические обобщения этого базового определения определяют умножение целых чисел (включая отрицательные числа), рациональных чисел (дроби) и действительных чисел.

Умножение можно также визуализировать как подсчет объектов, расположенных в прямоугольнике (для целых чисел) или как нахождение площади прямоугольника, стороны которого имеют некоторую заданную длину . Площадь прямоугольника не зависит от того, какая сторона измеряется первой — следствие коммутативного свойства.

Произведение двух измерений (или физических величин ) — это новый тип измерения, обычно с производной единицей . Например, умножение длин (в метрах или футах) двух сторон прямоугольника дает его площадь (в квадратных метрах или квадратных футах). Такое произведение является предметом размерного анализа .

Обратная операция умножения — деление . Например, поскольку 4, умноженное на 3, равно 12, то 12, деленное на 3, равно 4. Действительно, умножение на 3, а затем деление на 3, дает исходное число. Деление числа, отличного от 0, на само себя равно 1.

Несколько математических концепций расширяют фундаментальную идею умножения. Произведение последовательности, векторное умножение , комплексные числа и матрицы — все это примеры, где это можно увидеть. Эти более продвинутые конструкции, как правило, влияют на основные свойства по-своему, например, становясь некоммутативными в матрицах и некоторых формах векторного умножения или изменяя знак комплексных чисел.

В арифметике умножение часто записывается с использованием знака умножения ( × или ) между членами (то есть в инфиксной записи ). ^[2] Например,${\displaystyle \times }$

${\displaystyle 2\times 3=6,}$(«дважды три равно шести»)

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.}$

Существуют и другие математические обозначения умножения:

• Чтобы уменьшить путаницу между знаком умножения × и общей переменной x , умножение также обозначается точками ^[3] , обычно точкой в ​​средней позиции (редко точкой ): .${\displaystyle 5\cdot 2}$

Нотация с точкой в ​​середине или оператор точки , закодированный в Unicode как U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR , теперь является стандартом в Соединенных Штатах и ​​других странах, где в качестве десятичной точки используется точка . Когда символ оператора точки недоступен, используется интерпункт  (·). В других странах, где в качестве десятичного знака используется запятая , для умножения используется либо точка, либо точка в середине. ^{[ необходима цитата ]}

Исторически в Соединенном Королевстве и Ирландии средняя точка иногда использовалась для десятичной дроби, чтобы предотвратить ее исчезновение в линейке, а точка/точка использовалась для умножения. Однако, поскольку Министерство технологий постановило использовать точку в качестве десятичной точки в 1968 году ^[4] , а стандарт Международной системы единиц (СИ) с тех пор был широко принят, это использование теперь можно найти только в более традиционных журналах, таких как The Lancet . ^[5]

• В алгебре умножение с участием переменных часто записывается как сопоставление (например, для раз или для пяти раз ), также называемое подразумеваемым умножением . ^[6] Обозначение может также использоваться для величин, которые заключены в скобки (например, , или для пяти раз два). Это неявное использование умножения может вызвать неоднозначность, когда конкатенированные переменные совпадают с именем другой переменной, когда имя переменной перед скобками можно спутать с именем функции или при правильном определении порядка операций . ^{[7] [8]}${\displaystyle xy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 5x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 5(2)}$${\displaystyle (5)2}$${\displaystyle (5)(2)}$
• В векторном умножении существует различие между символами креста и точки. Символ креста обычно обозначает взятие векторного произведения двух векторов , дающего вектор в качестве результата, тогда как точка обозначает взятие скалярного произведения двух векторов, дающего скаляр .

В программировании звёздочка (как в ) по-прежнему является наиболее распространённой нотацией. Это связано с тем, что исторически большинство компьютеров были ограничены небольшими наборами символов (такими как ASCII и EBCDIC ), в которых отсутствовал знак умножения (например, или ), в то время как звёздочка появилась на каждой клавиатуре. ^{[ необходима цитата ]} Такое использование возникло в языке программирования FORTRAN . ^[9]5*2⋅×

Числа, которые нужно умножить, обычно называются «множителями» (как в разложении на множители ). Число, которое нужно умножить, называется «множимым», а число, на которое оно умножается, — «множителем». Обычно множитель ставится первым, а множимое — вторым; ^[1] однако, иногда первый множитель — это множимое, а второй — множитель. ^[10] Кроме того, поскольку результат умножения не зависит от порядка множителей, различие между «множимым» и «множителем» полезно только на самом элементарном уровне и в некоторых алгоритмах умножения , таких как длинное умножение . Поэтому в некоторых источниках термин «множимое» рассматривается как синоним «множителя». ^[11] В алгебре число, которое является множителем переменной или выражения (например, 3 в ), называется коэффициентом .${\displaystyle 3xy^{2}}$

Результат умножения называется произведением . Когда один множитель является целым числом, произведение является кратным другому или произведению других. Таким образом, является кратным , как и . Произведение целых чисел является кратным каждому множителю; например, 15 является произведением 3 и 5 и является как кратным 3, так и кратным 5.${\displaystyle 2\times \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$

This section needs attention from an expert in Mathematics. The specific problem is: defining multiplication is not straightforward and different proposals have been made over the centuries, with competing ideas (e.g. recursive vs. non-recursive definitions). See the talk page for details. WikiProject Mathematics may be able to help recruit an expert. (September 2023)

Произведение двух чисел или умножение двух чисел можно определить для общих частных случаев: натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Произведение двух натуральных чисел определяется как:${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.}$$

Целое число может быть либо нулем, либо ненулевым натуральным числом, либо минус ненулевым натуральным числом. Произведение нуля и другого целого числа всегда равно нулю. Произведение двух ненулевых целых чисел определяется произведением их положительных сумм , объединенных со знаком, полученным из следующего правила:

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &+&-\\\hline +&+&-\\-&-&+\\\hline \end{array}}}$$(Это правило является следствием дистрибутивности умножения относительно сложения и не является дополнительным правилом .)

Проще говоря:

• Положительное число, умноженное на положительное число, является положительным (произведением натуральных чисел),
• Положительное число, умноженное на отрицательное число, дает отрицательное число,
• Отрицательное число, умноженное на положительное число, является отрицательным,
• Отрицательное число, умноженное на отрицательное число, дает положительное число.

Две дроби можно умножить, перемножив их числители и знаменатели:

$${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},}$$

который определяется, когда .${\displaystyle n,n'\neq 0}$

Существует несколько эквивалентных способов формального определения действительных чисел; см. Построение действительных чисел . Определение умножения является частью всех этих определений.

Фундаментальным аспектом этих определений является то, что каждое действительное число может быть приближено с любой точностью рациональными числами . Стандартный способ выражения этого заключается в том, что каждое действительное число является наименьшей верхней границей множества рациональных чисел. В частности, каждое положительное действительное число является наименьшей верхней границей усечений его бесконечного десятичного представления ; например, является наименьшей верхней границей${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{3,\;3.1,\;3.14,\;3.141,\ldots \}.}$

Фундаментальным свойством действительных чисел является то, что рациональные приближения совместимы с арифметическими операциями , и, в частности, с умножением. Это означает, что если a и b — положительные действительные числа, такие что и тогда В частности, произведение двух положительных действительных чисел является наименьшей верхней границей почленных произведений последовательностей их десятичных представлений.${\displaystyle a=\sup _{x\in A}x}$${\displaystyle b=\sup _{y\in B}y,}$${\displaystyle a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.}$

Поскольку изменение знаков преобразует наименьшие верхние границы в наибольшие нижние границы, простейший способ справиться с умножением, включающим одно или два отрицательных числа, — это использовать правило знаков, описанное выше в § Произведение двух целых чисел. Построение действительных чисел с помощью последовательностей Коши часто является предпочтительным, чтобы избежать рассмотрения четырех возможных конфигураций знаков.

Два комплексных числа можно умножить, используя распределительный закон и тот факт, что , следующим образом:${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

Геометрический смысл комплексного умножения можно понять, переписав комплексные числа в полярных координатах :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

Более того,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

из которого получается

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

Геометрический смысл состоит в том, что величины умножаются, а аргументы складываются.

Произведение двух кватернионов можно найти в статье о кватернионах . Обратите внимание, что в данном случае и в общем случае различны.${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle b\cdot a}$

Многие распространенные методы умножения чисел с помощью карандаша и бумаги требуют таблицы умножения запомненных или проверенных произведений небольших чисел (обычно любых двух чисел от 0 до 9). Однако один метод, алгоритм крестьянского умножения , этого не делает. Пример ниже иллюстрирует «умножение в длину» («стандартный алгоритм», «умножение в начальной школе»):

 23958233× 5830——————————————— 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 (= 23 958 233 × 30) 191665864 (= 23 958 233 × 800)+ 119791165 (= 23 958 233 × 5 000)——————————————— 139676498390 (= 139 676 498 390)

В некоторых странах, например, в Германии , указанное выше умножение изображается аналогичным образом, но исходное произведение располагается горизонтально, а вычисление начинается с первой цифры множителя: ^[12]

23958233 · 5830——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000——————————————— 139676498390

Умножение чисел вручную до более чем пары знаков после запятой утомительно и подвержено ошибкам. Обыкновенные логарифмы были изобретены для упрощения таких вычислений, поскольку сложение логарифмов эквивалентно умножению. Логарифмическая линейка позволяла быстро умножать числа примерно до трех знаков после запятой. Начиная с начала 20-го века механические калькуляторы , такие как Marchant , автоматизировали умножение чисел длиной до 10 цифр. Современные электронные компьютеры и калькуляторы значительно сократили необходимость умножения вручную.

^{Методы умножения были описаны} в трудах древнеегипетской , греческой, индийской ^и китайской цивилизаций .

Кость Ишанго , датируемая примерно 18 000–20 000 гг. до н. э., может указывать на знание умножения в эпоху верхнего палеолита в Центральной Африке , но это предположение. ^{[13] [ требуется проверка ]}

Египетский метод умножения целых чисел и дробей, который описан в математическом папирусе Райнда , заключался в последовательных сложениях и удвоениях. Например, чтобы найти произведение 13 и 21, нужно было удвоить 21 три раза, получив 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Затем можно было найти полное произведение, добавив соответствующие члены, найденные в последовательности удвоения: ^[14]

13×21 = (1+4+8)×21 = (1×21) + (4×21) + (8×21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Вавилоняне использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления , аналогичную современной десятичной системе . Таким образом, вавилонское умножение было очень похоже на современное десятичное умножение. Из-за относительной сложности запоминания 60 × 60 различных произведений вавилонские математики использовали таблицы умножения . Эти таблицы состояли из списка первых двадцати кратных определенного главного числа n : n , 2 n , ..., 20 n ; за которыми следовали кратные 10 n : 30 n, 40 n и 50 n . Затем, чтобы вычислить любое шестидесятеричное произведение, скажем, 53 n , нужно было только сложить 50 n и 3 n, вычисленные по таблице. ^{[ требуется цитата ]}

В математическом тексте Чжоуби Суаньцзин , датированном до 300 г. до н. э., и в Девяти главах о математическом искусстве , вычисления умножения были записаны словами, хотя ранние китайские математики использовали исчисление Рода, включающее сложение, вычитание, умножение и деление по разрядам. Китайцы уже использовали десятичную таблицу умножения к концу периода Воюющих царств . ^[15]

Современный метод умножения, основанный на индо-арабской системе счисления, был впервые описан Брахмагуптой . Брахмагупта дал правила сложения, вычитания, умножения и деления. Генри Берчард Файн , тогда профессор математики в Принстонском университете , написал следующее:

Индейцы являются изобретателями не только самой позиционной десятичной системы, но и большинства процессов, связанных с элементарными расчетами в этой системе. Сложение и вычитание они выполняли точно так же, как и в наши дни; умножение они осуществляли многими способами, в том числе и нашими, но деление они делали громоздко. ^[16]

Эти алгоритмы десятичных арифметических значений были введены в арабские страны Аль-Хорезми в начале IX века и популяризированы в западном мире Фибоначчи в XIII веке. ^[17]

Метод умножения сетки , или метод ящика, используется в начальных школах Англии и Уэльса, а также в некоторых районах ^{[ каких? ]} Соединенных Штатов, чтобы помочь научить пониманию того, как работает умножение многозначных чисел. Примером умножения 34 на 13 будет размещение чисел в сетке следующим образом:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

а затем добавьте записи.

Классический метод умножения двух n -значных чисел требует n ^{двузначных} умножений. Были разработаны алгоритмы умножения , которые значительно сокращают время вычислений при умножении больших чисел. Методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье, снижают вычислительную сложность до O ( n log n log log n ) . В 2016 году множитель log log n был заменен функцией, которая увеличивается гораздо медленнее, хотя все еще не является постоянной. ^[18] В марте 2019 года Дэвид Харви и Йорис ван дер Хувен представили статью, в которой представлен алгоритм умножения целых чисел со сложностью ^[19] Предполагается, что алгоритм, также основанный на быстром преобразовании Фурье, является асимптотически оптимальным. ^[20] Алгоритм не имеет практической пользы, поскольку он становится быстрее только при умножении чрезвычайно больших чисел (имеющих более 2 ^{1729 12} бит). ^[21]${\displaystyle O(n\log n).}$

Можно осмысленно складывать или вычитать только количества одного типа, но количества разных типов можно умножать или делить без проблем. Например, четыре мешка с тремя шариками в каждом можно рассматривать как: ^[1]

[4 мешка] × [3 шарика в мешке] = 12 шариков.

Когда два измерения умножаются вместе, произведение имеет тип, зависящий от типов измерений. Общая теория дается анализом размерностей . Этот анализ обычно применяется в физике, но он также имеет приложения в финансах и других прикладных областях.

Распространенным примером в физике является тот факт, что умножение скорости на время дает расстояние . Например:

50 километров в час × 3 часа = 150 километров.

В этом случае единицы измерения часов сокращаются, и в продукте остаются только единицы измерения километров.

Другие примеры умножения с участием единиц включают:

2,5 метра × 4,5 метра = 11,25 квадратных метров

11 метров/секунд × 9 секунд = 99 метров

4,5 жителя на дом × 20 домов = 90 жителей

Произведение последовательности множителей можно записать с помощью символа произведения , который происходит от заглавной буквы Π (пи) в греческом алфавите (подобно тому, как символ суммы происходит от греческой буквы Σ (сигма)). ^{[22] [23]} Значение этой записи определяется следующим образом:${\displaystyle \textstyle \prod }$ ${\displaystyle \textstyle \sum }$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),}$

что приводит к

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.}$

В такой записи переменная i представляет собой изменяющееся целое число , называемое индексом умножения, которое изменяется от нижнего значения 1, указанного в нижнем индексе, до верхнего значения 4, указанного в верхнем индексе. Произведение получается путем умножения всех множителей, полученных путем замены индекса умножения на целое число между нижним и верхним значениями (включая границы) в выражении, которое следует за оператором произведения.

В более общем смысле обозначение определяется как

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}$

где m и n — целые числа или выражения, которые оцениваются как целые числа. В случае, когда m = n , значение произведения такое же, как и у одного множителя x _m ; если m > n , произведение является пустым произведением , значение которого равно 1 — независимо от выражения для множителей.

По определению,

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.}$

Если все множители идентичны, произведение n множителей эквивалентно возведению в степень :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.}$

Ассоциативность и коммутативность умножения подразумевают

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)}$и

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}}$

если a — неотрицательное целое число или если все являются положительными действительными числами , и${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

если все являются неотрицательными целыми числами или если x является положительным действительным числом.${\displaystyle a_{i}}$

Можно также рассматривать произведения бесконечного числа членов; они называются бесконечными произведениями . Обозначительно это заключается в замене n выше на символ бесконечности ∞. Произведение такой бесконечной последовательности определяется как предел произведения первых n членов, поскольку n растет без ограничений. То есть,

${\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}$

Аналогично можно заменить m на отрицательную бесконечность и определить:

${\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

при условии, что оба предела существуют. ^{[ необходима цитата ]}

Когда умножение повторяется, результирующая операция известна как возведение в степень . Например, произведение трех множителей двух (2×2×2) — это «два, возведенные в третью степень», и обозначается как 2 ³ , два с верхним индексом три. В этом примере число два является основанием , а три — показателем степени . ^[24] В общем случае показатель степени (или верхний индекс) указывает, сколько раз основание появляется в выражении, так что выражение

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a}$

указывает, что n копий основания a должны быть умножены вместе. Эта нотация может использоваться всякий раз, когда известно, что умножение является ассоциативным по мощности .

Для действительных и комплексных чисел, к которым относятся, например, натуральные числа , целые числа и дроби , умножение имеет определенные свойства:

Свойство коммутативности

Порядок, в котором перемножаются два числа, не имеет значения: ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$

Ассоциативное свойство

Выражения, включающие только умножение или сложение, инвариантны относительно порядка операций : ^{[25] [26]}

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).}$

Распределительная собственность

Справедливо по отношению к умножению над сложением. Это тождество имеет первостепенное значение для упрощения алгебраических выражений: ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.}$

Элемент идентичности

Мультипликативное тождество равно 1; все, что умножается на 1, равно самому себе. Эта особенность 1 известна как свойство тождества : ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot 1=x.}$

Собственность 0

Любое число, умноженное на 0, равно 0. Это известно как нулевое свойство умножения: ^[25]

${\displaystyle x\cdot 0=0.}$

Отрицание

−1, умноженное на любое число, равно аддитивному обратному числу этого числа:

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$, где${\displaystyle (-x)+x=0.}$

−1 умножить на −1 равно 1:

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1.}$

Обратный элемент

Каждое число x , за исключением 0 , имеет мультипликативное обратное число , , такое, что . ^[27]${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$

Сохранение заказа

Умножение на положительное число сохраняет порядок :

Для a > 0 , если b > c , то ab > ac .

Умножение на отрицательное число меняет порядок на обратный:

Для a < 0 , если b > c , то ab < ac .

Комплексные числа не имеют порядка, совместимого как со сложением, так и с умножением. ^[28]

Другие математические системы, включающие операцию умножения, могут не обладать всеми этими свойствами. Например, умножение, в общем случае, не является коммутативным для матриц и кватернионов . ^[25] Теорема Гурвица показывает, что для гиперкомплексных чисел размерности 8 или больше, включая октонионы , седенионы и тригинтадуонионы , умножение, как правило, не является ассоциативным. ^[29]

В книге Arithmetices principia, nova methodo exposita Джузеппе Пеано предложил аксиомы для арифметики, основанные на его аксиомах для натуральных чисел. Арифметика Пеано имеет две аксиомы для умножения:

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

Здесь S ( y ) представляет собой преемника y ; т. е. натуральное число, которое следует за y . Различные свойства, такие как ассоциативность, могут быть доказаны из этих и других аксиом арифметики Пеано, включая индукцию . Например, S ( 0), обозначенное как 1, является мультипликативным тождеством, потому что

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

Аксиомы для целых чисел обычно определяют их как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. Модель основана на обработке ( x , y ) как эквивалентных x − y , когда x и y рассматриваются как целые числа. Таким образом, и (0,1), и (1,2) эквивалентны −1. Аксиома умножения для целых чисел, определяемая таким образом, имеет вид

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

Правило, что −1 × −1 = 1, можно вывести из

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

Умножение распространяется аналогичным образом на рациональные числа , а затем на действительные числа . ^{[ необходима ссылка ]}

Произведение неотрицательных целых чисел можно определить с помощью теории множеств, используя кардинальные числа или аксиомы Пеано . Ниже показано, как расширить это на умножение произвольных целых чисел, а затем произвольных рациональных чисел. Произведение действительных чисел определяется в терминах произведений рациональных чисел; см. построение действительных чисел . ^[30]

Существует много множеств, которые при операции умножения удовлетворяют аксиомам, определяющим структуру группы . Эти аксиомы — замыкание, ассоциативность и включение единичного элемента и обратных.

Простым примером является множество ненулевых рациональных чисел . Здесь имеется тождество 1, в отличие от групп при сложении, где тождество обычно равно 0. Обратите внимание, что в случае с рациональными числами ноль должен быть исключен, поскольку при умножении он не имеет обратного: нет рационального числа, которое можно умножить на ноль, чтобы получить 1. В этом примере имеется абелева группа , но это не всегда так.

Чтобы увидеть это, рассмотрим множество обратимых квадратных матриц заданной размерности над заданным полем . Здесь легко проверить замыкание, ассоциативность и включение тождества ( тождественной матрицы ) и обратных. Однако умножение матриц не является коммутативным, что показывает, что эта группа неабелева.

Другой факт, на который стоит обратить внимание, заключается в том, что целые числа при умножении не образуют группу, даже если исключить ноль. Это легко увидеть по отсутствию обратного числа для всех элементов, кроме 1 и −1.

Умножение в теории групп обычно обозначается либо точкой, либо сопоставлением (пропуском символа операции между элементами). Так, умножение элемента a на элемент b можно обозначить как a b или ab . При ссылке на группу через указание множества и операции используется точка. Например, наш первый пример можно обозначить как . ^[31]${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$

Числа можно считать (3 яблока), упорядочивать (3-е яблоко) или измерять (3,5 фута в высоту); по мере того, как история математики развивалась от счета на пальцах до моделирования квантовой механики, умножение было обобщено на более сложные и абстрактные типы чисел, а также на вещи, которые не являются числами (например, матрицы ) или не очень похожи на числа (например, кватернионы ).

Целые числа

${\displaystyle N\times M}$это сумма N копий M , когда N и M — положительные целые числа. Это дает количество вещей в массиве шириной N и высотой M. Обобщение на отрицательные числа можно сделать с помощью

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$и

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

К рациональным и действительным числам применяются одни и те же правила знаков.

Рациональные числа

Обобщение дробей осуществляется путем умножения числителей и знаменателей соответственно: . Это дает площадь прямоугольника в высоту и ширину, и это то же самое, что и количество вещей в массиве, когда рациональные числа оказываются целыми числами. ^[25]${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$

Реальные цифры

Действительные числа и их произведения можно определить через последовательности рациональных чисел .

Комплексные числа

Рассматривая комплексные числа и как упорядоченные пары действительных чисел и , произведение равно . Это то же самое, что и для действительных чисел , когда мнимые части и равны нулю.${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

Эквивалентно, обозначая как , ^[25]${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$

Альтернативно, в тригонометрической форме, если , то ^[25]${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

Дальнейшие обобщения

См. Умножение в теории групп выше и мультипликативную группу , которая, например, включает матричное умножение. Очень общее и абстрактное понятие умножения — это как «мультипликативно обозначенная» (вторая) бинарная операция в кольце . Примером кольца, которое не является ни одной из вышеперечисленных систем счисления, является кольцо многочленов (многочлены можно складывать и умножать, но многочлены не являются числами в каком-либо обычном смысле).

Разделение

Часто деление, , то же самое, что и умножение на обратную величину, . Умножение для некоторых типов «чисел» может иметь соответствующее деление без обратных величин; в целостной области x может не иметь обратных « », но может быть определено. В кольце с делением есть обратные величины, но могут быть неоднозначными в некоммутативных кольцах, поскольку не обязательно должны быть такими же, как . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$

• Boyer, Carl B. (редактор Merzbach, Uta C. ) (1991). История математики . John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Умножение и арифметические операции в различных системах счисления на cut-the-knot
• Современные китайские методы умножения на абаке