Полярная система координат

В математике полярная система координат — это двумерная система координат , в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от точки отсчета и углом от направления отсчета. Точка отсчета (аналогично началу декартовой системы координат ) называется полюсом , а луч от полюса в направлении отсчета — полярной осью . Расстояние от полюса называется радиальной координатой , радиальным расстоянием или просто радиусом , а угол называется угловой координатой , полярным углом или азимутом . ^[1] Углы в полярной нотации обычно выражаются либо в градусах , либо в радианах (2 π рад равно 360°).

Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга ввели эти концепции в середине XVII века, хотя сам термин «полярные координаты» приписывается Грегорио Фонтане в XVIII веке. Первоначальной мотивацией для введения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения .

Полярные координаты наиболее уместны в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей сути связано с направлением и длиной от центральной точки на плоскости, например, спирали . Плоские физические системы с телами, движущимися вокруг центральной точки, или явления, происходящие из центральной точки, часто проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных координат.

Полярная система координат расширена на три измерения двумя способами: цилиндрическая и сферическая системы координат.

Понятия угла и радиуса использовались уже древними народами первого тысячелетия до нашей эры . Греческий астроном и астролог Гиппарх (190–120 гг. до н. э.) создал таблицу функций хорды , дающую длину хорды для каждого угла, и есть ссылки на то, что он использовал полярные координаты для установления положений звезд. ^[2] В работе «О спиралях » Архимед описывает архимедову спираль , функцию, радиус которой зависит от угла. Однако греческая работа не распространялась на полную систему координат.

Начиная с 8-го века нашей эры астрономы разрабатывали методы аппроксимации и вычисления направления на Мекку ( киблу ) — и расстояния до нее — из любого места на Земле. ^[3] Начиная с 9-го века они использовали сферическую тригонометрию и методы картографической проекции для точного определения этих величин. Расчет по сути представляет собой преобразование экваториальных полярных координат Мекки (т. е. ее долготы и широты ) в ее полярные координаты (т. е. ее киблу и расстояние) относительно системы, чей референтный меридиан — это большой круг, проходящий через заданное местоположение и полюса Земли, а полярная ось — это линия, проходящая через местоположение и его антиподную точку . ^[4]

Существуют различные отчеты о введении полярных координат как части формальной системы координат. Полная история предмета описана в работе профессора Гарварда Джулиана Лоуэлла Кулиджа « Происхождение полярных координат». ^[5] Грегуар де Сен-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга ввели эти концепции в середине семнадцатого века. Сен-Винсент писал о них в частном порядке в 1625 году и опубликовал свою работу в 1647 году, в то время как Кавальери опубликовал свою в 1635 году с исправленной версией, появившейся в 1653 году. Кавальери впервые использовал полярные координаты для решения задачи, касающейся площади внутри спирали Архимеда . Впоследствии Блез Паскаль использовал полярные координаты для вычисления длины параболических дуг .

В «Методе флюксий» (написанном в 1671 г., опубликованном в 1736 г.) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразования между полярными координатами, которые он назвал «Седьмым способом; для спиралей», и девятью другими системами координат. ^[6] В журнале Acta Eruditorum (1691 г.) Якоб Бернулли использовал систему с точкой на линии, называемой полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались расстоянием от полюса и углом от полярной оси . Работа Бернулли распространилась на нахождение радиуса кривизны кривых, выраженных в этих координатах.

Фактический термин полярные координаты приписывается Грегорио Фонтане и использовался итальянскими писателями 18-го века. Термин появился в английском языке в переводе Джорджа Пикока 1816 года «Дифференциального и интегрального исчисления» Лакруа . [ ^{7] [8]} Алексис Клеро был первым, кто задумался о полярных координатах в трех измерениях, а Леонард Эйлер был первым, кто фактически разработал их. ^[5]

Радиальная координата часто обозначается как r или ρ , а угловая координата как φ , θ или t . Угловая координата определяется как φ по стандарту ISO 31-11 . Однако в математической литературе угол часто обозначается как θ.

Углы в полярной системе обозначений обычно выражаются в градусах или радианах (2π рад равен 360°). Градусы традиционно используются в навигации , геодезии и многих прикладных дисциплинах, тогда как радианы более распространены в математике и математической физике . ^[9]

Угол φ определяется как начинающийся с 0° от опорного направления и увеличивающийся для вращений в направлении по часовой стрелке (cw) или против часовой стрелки (ccw). Например, в математике опорное направление обычно рисуется как луч от полюса горизонтально вправо, а полярный угол увеличивается до положительных углов для вращений ccw, тогда как в навигации ( пеленг , курс ) 0°-курс рисуется вертикально вверх, а угол увеличивается для вращений cw. Полярные углы уменьшаются до отрицательных значений для вращений в соответственно противоположных ориентациях.

Добавление любого количества полных оборотов (360°) к угловой координате не меняет соответствующего направления. Аналогично, любая полярная координата идентична координате с отрицательной радиальной составляющей и противоположным направлением (добавление 180° к полярному углу). Поэтому одна и та же точка ( r , φ ) может быть выражена бесконечным числом различных полярных координат ( r , φ + n × 360°) и (− r , φ + 180° + n × 360°) = (− r , φ + (2 n + 1) × 180°) , где n — произвольное целое число . ^[10] Более того, сам полюс может быть выражен как (0,  φ ) для любого угла φ . ^[11]

Если для любой точки, кроме полюса, требуется уникальное представление, обычно r ограничивают положительными числами ( r > 0 ), а φ — либо интервалом [0, 360°) , либо интервалом (−180°, 180°] , что в радианах равно [0, 2π) или (−π, π] . ^[12] Другое соглашение, касающееся обычной области значений функции arctan , заключается в том, чтобы допускать произвольные ненулевые действительные значения радиальной составляющей и ограничивать полярный угол до (−90°,  90°] . Во всех случаях необходимо выбрать уникальный азимут для полюса ( r = 0), например, φ  = 0.

Полярные координаты r и φ можно преобразовать в декартовы координаты x и y, используя тригонометрические функции синуса и косинуса:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ,\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Декартовы координаты x и y можно преобразовать в полярные координаты r и φ , где r  ≥ 0, а φ находится в интервале (− π , π ] по формуле: ^[13] где hypot — это пифагорова сумма , а atan2 — это обычная вариация функции арктангенса, определяемая как$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\operatorname {hypot} (x,y)\\\varphi &=\operatorname {atan2} (y,x),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$$

Если сначала вычислить r , как указано выше, то эту формулу для φ можно сформулировать проще, используя функцию арккосинуса :$${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}$$

Каждое комплексное число можно представить в виде точки на комплексной плоскости и, следовательно, выразить, указав либо декартовы координаты точки (называемые прямоугольной или декартовой формой), либо полярные координаты точки (называемые полярной формой).

В полярной форме координаты расстояния и угла часто называют величиной и аргументом числа соответственно. Два комплексных числа можно умножить, сложив их аргументы и умножив их величины.

Комплексное число z может быть представлено в прямоугольной форме как , где i - мнимая единица , или может быть альтернативно записано в полярной форме как и оттуда, по формуле Эйлера , ^[14] как , где e - число Эйлера , а φ , выраженное в радианах, является главным значением функции комплексного числа arg , примененной к x + iy . Для преобразования между прямоугольной и полярной формами комплексного числа можно использовать приведенные выше формулы преобразования. Эквивалентными являются цис- и угловые обозначения :$${\displaystyle z=x+iy}$$$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$$$${\displaystyle z=re^{i\varphi }=r\exp i\varphi .}$$$${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

Для операций умножения , деления , возведения в степень и извлечения корня комплексных чисел, как правило, гораздо проще работать с комплексными числами, выраженными в полярной форме, а не в прямоугольной. Из законов возведения в степень:

Умножение

${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$

Разделение

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$

Возведение в степень ( формула Муавра )

${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$

Извлечение корня (главный корень)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

Уравнение, определяющее плоскую кривую, выраженную в полярных координатах, известно как полярное уравнение . Во многих случаях такое уравнение можно просто задать, определив r как функцию φ . Полученная кривая затем состоит из точек вида ( r ( φ ),  φ ) и может рассматриваться как график полярной функции r . Обратите внимание, что, в отличие от декартовых координат, независимая переменная φ является второй записью в упорядоченной паре.

Различные формы симметрии можно вывести из уравнения полярной функции r :

• Если r (− φ ) = r ( φ ), кривая будет симметрична относительно горизонтального луча (0°/180°);
• Если r ( π − φ ) = r ( φ ), то он будет симметричен относительно вертикального луча (90°/270°):
• Если r ( φ − α) = r ( φ ), то он будет вращательно-симметричным относительно α по часовой стрелке и против часовой стрелки вокруг полюса.

Из-за круговой природы полярной системы координат многие кривые можно описать довольно простым полярным уравнением, тогда как их декартова форма гораздо более сложна. Среди наиболее известных из этих кривых — полярная роза , архимедова спираль , лемниската , улитка и кардиоида .

Для окружности, линии и полярной розы, представленных ниже, подразумевается, что ограничений на область определения и диапазон кривой нет.

Общее уравнение для окружности с центром в точке и радиусом a имеет вид${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

Это можно упростить различными способами, чтобы оно соответствовало более конкретным случаям, таким как уравнение для окружности с центром в полюсе и радиусом a . ^[15]$${\displaystyle r(\varphi )=a}$$

Когда r ₀ = a или начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид$${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

В общем случае уравнение можно решить относительно r , получив Решение со знаком минус перед квадратным корнем дает ту же кривую.$${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$

Радиальные линии (проходящие через полюс) представлены уравнением где - угол возвышения линии; то есть, , где - наклон линии в декартовой системе координат. Нерадиальная линия, которая пересекает радиальную линию перпендикулярно в точке, имеет уравнение$${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi =\arctan m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \varphi =\gamma }$ ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

Иначе говоря, это точка, в которой касательная пересекает воображаемую окружность радиуса${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$${\displaystyle r_{0}}$

Полярная роза — это математическая кривая, которая выглядит как цветок с лепестками и может быть выражена простым полярным уравнением:$${\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}$$

для любой константы γ ₀ (включая 0). Если k — целое число, эти уравнения дадут k -лепестковую розу, если k — нечетное число , или 2 k -лепестковую розу, если k — четное число. Если k — рациональное, но не целое число, может образоваться розоподобная форма, но с перекрывающимися лепестками. Обратите внимание, что эти уравнения никогда не определяют розу с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками. Переменная a напрямую представляет длину или амплитуду лепестков розы, в то время как k относится к их пространственной частоте. Константу γ ₀ можно рассматривать как фазовый угол.

Архимедова спираль — это спираль, открытая Архимедом , которую также можно выразить в виде простого полярного уравнения. Она представлена ​​уравнением Изменение параметра a повернет спираль, в то время как b управляет расстоянием между плечами, которое для данной спирали всегда постоянно. Архимедова спираль имеет два плеча, одно для φ > 0 и одно для φ < 0. Два плеча плавно соединены на полюсе. Если a = 0 , то зеркальное отображение одного плеча поперек линии 90°/270° даст другое плечо. Эта кривая примечательна как одна из первых кривых, после конических сечений , описанных в математическом трактате, и как яркий пример кривой, наилучшим образом определяемой полярным уравнением.$${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$

Коническое сечение с одним фокусом на полюсе, а другим где-то на луче 0° (так что большая ось конического сечения лежит вдоль полярной оси) задается как: где e — эксцентриситет , а — полуширота прямой (перпендикулярное расстояние в фокусе от большой оси до кривой). Если e > 1 , это уравнение определяет гиперболу ; если e = 1 , оно определяет параболу ; и если e < 1 , оно определяет эллипс . Частный случай последнего, e = 0, приводит к окружности радиуса .$${\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

Квадратриса в первом квадранте ( x, y ) — это кривая с y = ρ sin θ, равная доле четверти окружности с радиусом r , определяемой радиусом, проходящим через точку кривой. Поскольку эта доля равна , кривая задается как . ^[16]${\displaystyle {\frac {2r\theta }{\pi }}}$${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {2r\theta }{\pi \sin \theta }}}$

Графики двух полярных функций имеют возможные пересечения трех типов:${\displaystyle r=f(\theta )}$${\displaystyle r=g(\theta )}$

1. В начале координат, если уравнения и имеют хотя бы одно решение каждое.${\displaystyle f(\theta )=0}$${\displaystyle g(\theta )=0}$
2. Все точки , где являются решениями уравнения , где — целое число.${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$${\displaystyle k}$
3. Все точки , где являются решениями уравнения , где — целое число.${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$${\displaystyle k}$

Исчисление можно применять к уравнениям, выраженным в полярных координатах. ^{[17] [18]}

Угловая координата φ в этом разделе выражается в радианах, что является общепринятым выбором при выполнении вычислений.

Используя x = r cos φ и y = r sin φ , можно вывести соотношение между производными в декартовых и полярных координатах. Для заданной функции u ( x , y ) следует, что (вычисляя ее полные производные ) или$${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Следовательно, имеем следующие формулы:$${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Используя обратное преобразование координат, можно вывести аналогичное обратное соотношение между производными. При наличии функции u ( r , φ ) следует, что или$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Следовательно, имеем следующие формулы:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Чтобы найти декартов наклон касательной к полярной кривой r ( φ ) в любой заданной точке, кривая сначала выражается в виде системы параметрических уравнений .$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

Дифференцируя оба уравнения по φ, получаем$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

Разделив второе уравнение на первое, получаем декартов наклон касательной к кривой в точке ( r ( φ ),  φ ) :$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Другие полезные формулы, включая дивергенцию, градиент и Лапласиан в полярных координатах, см. в разделе Криволинейные координаты .

Длина дуги (длина отрезка прямой), определяемая полярной функцией, находится путем интегрирования по кривой r ( φ ). Пусть L обозначает эту длину вдоль кривой, начинающуюся от точек A до точки B , где эти точки соответствуют φ = a и φ = b таким образом, что 0 < b − a < 2 π . Длина L задается следующим интегралом$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$$

Пусть R обозначает область, ограниченную кривой r ( φ ) и лучами φ = a и φ = b , где 0 < b − a ≤ 2 π . Тогда площадь R равна$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$$

Этот результат можно найти следующим образом. Сначала интервал [ a , b ] делится на n подынтервалов, где n — некоторое положительное целое число. Таким образом, Δ φ , угловая мера каждого подынтервала, равна b − a (общая угловая мера интервала), деленная на n , количество подынтервалов. Для каждого подынтервала i = 1, 2, ..., n пусть φ _i будет средней точкой подынтервала и построим сектор с центром в полюсе, радиусом r ( φ _i ), центральным углом Δ φ и длиной дуги r ( φ _i )Δ φ . Площадь каждого построенного сектора, таким образом, равна Следовательно, общая площадь всех секторов равна$${\displaystyle \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$$

По мере увеличения числа подынтервалов n аппроксимация площади улучшается. Принимая n → ∞ , сумма становится суммой Римана для вышеуказанного интеграла.

Механическим устройством, вычисляющим интегралы площади, является планиметр , который измеряет площадь плоских фигур, обводя их: это воспроизводит интегрирование в полярных координатах путем добавления шарнира, так что двухэлементная связь выполняет теорему Грина , преобразуя квадратичный полярный интеграл в линейный интеграл.

Используя декартовы координаты , бесконечно малый элемент площади можно вычислить как dA = dx dy . Правило подстановки для кратных интегралов гласит, что при использовании других координат необходимо учитывать определитель Якоби формулы преобразования координат:$${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$$

Следовательно, элемент площади в полярных координатах можно записать как$${\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$$

Теперь функцию, заданную в полярных координатах, можно проинтегрировать следующим образом:$${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

Здесь R — та же область, что и выше, а именно, область, ограниченная кривой r ( φ ) и лучами φ = a и φ = b . Формула для площади R получается путем тождественного приравнивания f к 1.

Более удивительное применение этого результата дает гауссовский интеграл :$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$$

Векторные исчисления можно также применять к полярным координатам. Для плоского движения пусть будет вектором положения ( r cos( φ ), r sin( φ )) , где r и φ зависят от времени t .${\displaystyle \mathbf {r} }$

Мы определяем ортонормальный базис с тремя единичными векторами: радиальным, поперечным и нормальным направлениями . Радиальное направление определяется путем нормализации : Радиальные и скоростные направления охватывают плоскость движения , нормальное направление которой обозначается : Поперечное направление перпендикулярно как радиальному, так и нормальному направлениям:${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

Затем $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$

Это уравнение можно получить, взяв производную функции и производные единичных базисных векторов.

Для кривой в 2D, где параметром является , предыдущие уравнения упрощаются до: ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}$$

Термин иногда называют центростремительным ускорением , а термин — ускорением Кориолиса . Например, см. Шанкар. ^[19]${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$

Примечание: эти термины, которые появляются, когда ускорение выражается в полярных координатах, являются математическим следствием дифференциации; они появляются всякий раз, когда используются полярные координаты. В динамике плоских частиц эти ускорения появляются при установлении второго закона движения Ньютона во вращающейся системе отсчета. Здесь эти дополнительные термины часто называют фиктивными силами ; фиктивными, потому что они просто являются результатом изменения системы координат. Это не означает, что их не существует, скорее они существуют только во вращающейся системе.

Для частицы, движущейся плоско, один из подходов к приданию физического значения этим терминам основан на концепции мгновенной совместно вращающейся системы отсчета . ^[20] Чтобы определить совместно вращающуюся систему отсчета, сначала выбирается начало координат, от которого определяется расстояние r ( t ) до частицы. Устанавливается ось вращения, перпендикулярная плоскости движения частицы и проходящая через это начало координат. Затем в выбранный момент t скорость вращения совместно вращающейся системы Ω приводится в соответствие со скоростью вращения частицы вокруг этой оси, dφ / dt . Затем члены в ускорении в инерциальной системе отсчета связаны с членами в совместно вращающейся системе отсчета. Пусть местоположение частицы в инерциальной системе отсчета будет ( r ( t ), φ ( t )), а в совместно вращающейся системе отсчета будет ( r ′(t), φ ′(t) ). Поскольку вращающаяся совместно система отсчета вращается с той же скоростью, что и частица, dφ ′/ dt = 0. Фиктивная центробежная сила в вращающейся совместно системе отсчета равна mr Ω ² , радиально наружу. Скорость частицы в вращающейся совместно системе отсчета также радиально наружу, поскольку dφ ′/ dt = 0. Фиктивная сила Кориолиса , следовательно, имеет значение −2 m ( dr / dt )Ω, направленное только в сторону увеличения φ . Таким образом, используя эти силы во втором законе Ньютона, мы находим: где над точками представлены производные по времени, а F — чистая действительная сила (в отличие от фиктивных сил). С точки зрения компонентов это векторное уравнение становится: что можно сравнить с уравнениями для инерциальной системы отсчета:$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

Это сравнение, а также признание того, что по определению совместно вращающейся системы отсчета в момент времени t она имеет скорость вращения Ω = dφ / dt , показывает, что мы можем интерпретировать члены ускорения (умноженные на массу частицы), найденные в инерциальной системе отсчета, как отрицательные значения центробежной и кориолисовой сил, которые наблюдались бы в мгновенной неинерциальной совместно вращающейся системе отсчета.

Для общего движения частицы (в отличие от простого кругового движения) центробежные и кориолисовы силы в системе отсчета частицы обычно относятся к мгновенной соприкасающейся окружности ее движения, а не к фиксированному центру полярных координат. Для получения более подробной информации см. центростремительная сила .

В современной терминологии дифференциальной геометрии полярные координаты предоставляют координатные карты для дифференцируемого многообразия R ² \ {(0,0)} , плоскости за вычетом начала координат. В этих координатах евклидов метрический тензор задается как Это можно увидеть с помощью формулы замены переменных для метрического тензора или путем вычисления дифференциальных форм dx , dy через внешнюю производную 0-форм x = r cos( θ ) , y = r sin( θ ) и подстановки их в евклидов метрический тензор ds ² = dx ² + dy ² .$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$

Ортонормированный фрейм относительно этой метрики задается с дуальным кофреймом Форма связи относительно этого фрейма и связности Леви-Чивиты задается кососимметричной матрицей 1-форм и, следовательно, форма кривизны Ω = dω + ω ∧ ω исчезает. Поэтому, как и ожидалось, проколотая плоскость является плоским многообразием .$${\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},}$$$${\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .}$$$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}}$$

Полярная система координат расширена в трех измерениях с помощью двух различных систем координат: цилиндрической и сферической .

Полярные координаты двумерны, и поэтому их можно использовать только там, где положения точек лежат на одной двумерной плоскости. Они наиболее уместны в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей сути связано с направлением и длиной от центральной точки. Например, приведенные выше примеры показывают, как элементарных полярных уравнений достаточно для определения кривых, таких как архимедова спираль, уравнение которой в декартовой системе координат было бы гораздо более сложным. Более того, многие физические системы, такие как те, которые связаны с телами, движущимися вокруг центральной точки, или с явлениями, происходящими из центральной точки, проще и интуитивно понятнее для моделирования с использованием полярных координат. Первоначальной мотивацией для введения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения .

Полярные координаты часто используются в навигации, поскольку пункт назначения или направление движения могут быть заданы как угол и расстояние от рассматриваемого объекта. Например, самолеты используют слегка измененную версию полярных координат для навигации. В этой системе, которая обычно используется для любого вида навигации, луч 0° обычно называется направлением 360, и углы продолжаются по часовой стрелке, а не против часовой стрелки, как в математической системе. Направление 360 соответствует магнитному северу , в то время как направления 90, 180 и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу соответственно. ^[21] Таким образом, самолет, летящий на 5 морских миль на восток, будет летать на 5 единиц по направлению 90 (читается как ноль-девять-ноль по данным управления воздушным движением ). ^[22]

Системы, демонстрирующие радиальную симметрию , обеспечивают естественные настройки для полярной системы координат, при этом центральная точка действует как полюс. Ярким примером такого использования является уравнение потока грунтовых вод , применяемое к радиально-симметричным скважинам. Системы с радиальной силой также являются хорошими кандидатами для использования полярной системы координат. Эти системы включают гравитационные поля , которые подчиняются закону обратных квадратов , а также системы с точечными источниками , такими как радиоантенны .

Радиально асимметричные системы также могут быть смоделированы с помощью полярных координат. Например, диаграмма направленности микрофона иллюстрирует его пропорциональный ответ на входящий звук с заданного направления, и эти диаграммы могут быть представлены в виде полярных кривых. Кривая для стандартного кардиоидного микрофона, наиболее распространенного однонаправленного микрофона, может быть представлена ​​как r = 0,5 + 0,5sin( ϕ ) на его целевой расчетной частоте. ^[23] Диаграмма смещается в сторону всенаправленности на более низких частотах.

• Криволинейные координаты
• Список распространённых преобразований координат
• Лог-полярные координаты
• Полярное разложение
• Единичная окружность

• Адамс, Роберт; Кристофер Эссекс (2013). Исчисление: полный курс (Восьмое изд.). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
• Антон, Ховард; Айрл Бивенс; Стивен Дэвис (2002). Исчисление (седьмое изд.). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
• Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (июнь 1994 г.). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (ред. версии с одной переменной). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.

В Wikibook Calculus есть страница по теме: Полярное интегрирование

• «Полярные координаты», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Преобразователь координат — преобразует полярные, декартовы и сферические координаты.
• Динамическая демонстрация полярной системы координат