Умножение векторов

В математике векторное умножение может относиться к одной из нескольких операций между двумя (или более) векторами . Это может касаться любой из следующих статей :

• Скалярное произведение – также известное как «скалярное произведение», бинарная операция, которая берет два вектора и возвращает скалярную величину. Скалярное произведение двух векторов можно определить как произведение величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами. В качестве альтернативы оно определяется как произведение проекции первого вектора на второй вектор и величины второго вектора. Таким образом,$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta }$$
• Перекрестное произведение – также известное как «векторное произведение», бинарная операция над двумя векторами, результатом которой является другой вектор . Перекрестное произведение двух векторов в 3-мерном пространстве определяется как вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой двумя векторами, величина которого является произведением величин двух векторов и синуса угла между двумя векторами. Таким образом, если — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой векторами и ,${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \mathbf {а} }$${\displaystyle \mathbf {б} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\sin \theta \,\mathbf {\hat {n}} .}$$
• Внешнее произведение или произведение клина – бинарная операция над двумя векторами, которая приводит к бивектору . В евклидовом 3-мерном пространстве произведение клина имеет ту же величину, что и векторное произведение (площадь параллелограмма, образованного сторонами и ), но обобщается на произвольные аффинные пространства и произведения между более чем двумя векторами.${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {а} }$${\displaystyle \mathbf {б} }$
• Тензорное произведение – для двух векторов и , где и – векторные пространства , их тензорное произведение принадлежит тензорному произведению векторных пространств.${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w\in Вт,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle V\otimes W}$
• Геометрическое произведение или произведение Клиффорда – для двух векторов геометрическое произведение является смешанной величиной, состоящей из скаляра и бивектора. Геометрическое произведение хорошо определено для любых мультивекторов в качестве аргументов.$${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$$
• Билинейный продукт в алгебре над полем .
• Скобка Ли для векторов в алгебре Ли .
• Произведение Адамара – поэлементное или поэлементное произведение кортежей скалярных координат, где .${\displaystyle (a\odot b)_{i}=a_{i}b_{i}}$
• Внешний продукт - где с результатами в матрице.${\displaystyle (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b})}$${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{d},\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle (d\times d)}$
• Тройные продукты – продукты, включающие три вектора.
• Четверные произведения – произведения, включающие четыре вектора.

Умножение векторов имеет множество применений в математике, а также в других областях, таких как физика и инженерия.

• Перекрестное произведение часто встречается при изучении вращения , где оно используется для вычисления крутящего момента и углового момента . Его также можно использовать для вычисления силы Лоренца, действующей на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.
• Скалярное произведение используется для определения работы, совершаемой постоянной силой.

• Скалярное умножение
• Умножение матриц
• Сложение векторов
• Соотношения векторной алгебры

Индекс статей, связанных с тем же именем

Эта статья индекса набора включает список связанных элементов, которые имеют одно и то же имя (или похожие имена).
Если внутренняя ссылка неправильно привела вас сюда, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала прямо на нужную статью.