Лунная арифметика

Лунная арифметика , ранее называвшаяся мрачной арифметикой , ^{[1] [2]} — это версия арифметики , в которой операции сложения и умножения цифр определяются как максимальные и минимальные операции. Таким образом, в лунной арифметике

${\displaystyle 2+7=\макс\{2,7\}=7}$и${\displaystyle 2\times 7=\min\{2,7\}=2.}$

Лунные арифметические операции над неотрицательными многозначными числами выполняются как в обычной арифметике, как показано в следующих примерах. Мир лунной арифметики ограничен множеством неотрицательных целых чисел .

976 + 348 ---- 978 (добавление цифр по столбцам)

 976 × 348 ---- 876 (умножение цифр числа 976 на 8) 444 (умножение цифр числа 976 на 4) 333 (умножение цифр числа 976 на 3) ------ 34876 (сложение цифр по столбцам)

Концепция лунной арифметики была предложена Дэвидом Эпплгейтом, Марком ЛеБруном и Нилом Слоаном . ^[3]

В общем определении лунной арифметики рассматриваются числа, выраженные в произвольной основе , и определяются лунные арифметические операции как максимальные и минимальные операции над цифрами, соответствующими выбранной основе. ^[3] Однако для простоты в дальнейшем обсуждении будет предполагаться, что числа представлены с использованием 10 в качестве основания .${\displaystyle б}$

Ниже перечислены некоторые элементарные свойства лунных операций. ^[3]

1. Лунные операции сложения и умножения удовлетворяют законам коммутативности и ассоциативности .
2. Лунное умножение распространяется на лунное сложение.
3. Цифра 0 является тождеством при лунном сложении. Ни одно ненулевое число не имеет обратного при лунном сложении.
4. Цифра 9 является тождеством при лунном умножении. Ни одно число, отличное от 9, не имеет обратного числа при лунном умножении.

Можно отметить, что в лунной арифметике и . Четные числа — это числа вида . Первые несколько отдельных четных чисел в лунной арифметике перечислены ниже:${\displaystyle n+n\neq 2\times n}$${\displaystyle n+n=n}$${\displaystyle 2\times n}$

${\displaystyle 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,120,121,122,\ldots}$

Это числа, все цифры которых меньше или равны 2.

Квадратное число — это число в форме . Так, в лунной арифметике первые несколько квадратов следующие.${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,100,111,112,113,114,115,116,117,118,119,200,\ldots }$

Треугольное число — это число вида . Первые несколько треугольных лунных чисел:${\displaystyle 1+2+\cdots +n}$

${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,29,29,29,29,29,29,\ldots }$

В лунной арифметике первые несколько значений факториала следующие :${\displaystyle n!=1\times 2\times \cdots \times n}$

${\displaystyle 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,110,1110,11110,111110,1111110,\ldots }$

В обычной арифметике простое число определяется как число, единственным возможным разложением на множители которого является . Аналогично, в лунной арифметике простое число определяется как число, единственным разложением на множители которого является , где 9 — это мультипликативная единица, которая соответствует 1 в обычной арифметике. Соответственно, ниже приведены первые несколько простых чисел в лунной арифметике:${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\times p}$${\displaystyle м}$${\displaystyle 9\times n}$

${\displaystyle 19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109,209,219,}$

${\displaystyle 309,319,329,409,419,429,439,509,519,529,539,549,609,619,629,639,\точки}$

Каждое число вида , где произвольно, является простым числом в лунной арифметике. Поскольку произвольно, это показывает, что в лунной арифметике существует бесконечное количество простых чисел.${\displaystyle 10\ldots (n{\text{ нулей}})\ldots 09}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Существует интересная связь между операцией формирования сумм множеств подмножеств неотрицательных целых чисел и лунным умножением двоичных чисел . Пусть и будут непустыми подмножествами множества неотрицательных целых чисел. Сумма множеств определяется как${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle N}$${\displaystyle А+Б}$

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,\,b\in B\}.}$

Множеству мы можем сопоставить уникальное двоичное число следующим образом. Пусть . Для мы определяем${\displaystyle А}$${\displaystyle \бета (А)}$${\displaystyle m=\max(A)}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,m}$

${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i\in A\\0&{\text{if }}i\notin A\end{cases}}}$

и затем мы определяем

${\displaystyle \beta (A)=b_{m}b_{m-1}\ldots b_{0}.}$

Было доказано, что

${\displaystyle \beta (A+B)=\beta (A)\times \beta (B)}$где « » справа обозначает лунное умножение двоичных чисел. ^[4]${\displaystyle \times }$

Магический квадрат квадратов — это магический квадрат, образованный квадратами чисел. Неизвестно, существуют ли магические квадраты квадратов порядка 3 с обычным сложением и умножением целых чисел. Однако было замечено, что если рассматривать лунные арифметические операции, то существует бесконечное количество магических квадратов квадратов порядка 3. Вот пример: ^[2]

${\displaystyle {\begin{matrix}44^{2}&38^{2}&45^{2}\\46^{2}&0^{2}&28^{2}\\18^{2}&47^{2}&8^{2}\end{matrix}}}$

• Тропическая арифметика

• Простые числа на Луне (Лунная арифметика) на YouTube