Артин взаимность

Закон взаимности Артина , установленный Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), является общей теоремой в теории чисел , которая образует центральную часть глобальной теории полей классов . ^[1] Термин « закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных утверждений теории чисел, которые он обобщает, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина предоставил частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Пусть будет расширением Галуа глобальных полей и обозначает группу классов иделей . Одно из утверждений закона взаимности Артина заключается в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным символьным отображением ^{[2] [3]}${\displaystyle Л/К}$${\displaystyle C_{L}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Гал} (Л/К)^{\text{ab}},}$

где обозначает абелианизацию группы, а — группа Галуа над . Отображение определяется путем сборки отображений, называемых локальным символом Артина , локальным отображением взаимности или символом вычета нормы ^{[4] [5]}${\displaystyle {\text{ab}}}$${\displaystyle \operatorname {Гал} (Л/К)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \тета}$

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times})\to G^{\text {аб}},}$

для различных мест . Точнее, задается локальными отображениями на -компоненте класса иделей. Отображения являются изоморфизмами. Это содержание локального закона взаимности , основной теоремы локальной теории полей классов .${\displaystyle v}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle \theta _{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta _{v}}$

Когомологическое доказательство глобального закона взаимности можно получить, сначала установив, что

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}$

представляет собой классовую формацию в смысле Артина и Тейта. ^[6] Затем доказывается, что

${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}$

где обозначают группы когомологий Тейта . Вычисление групп когомологий устанавливает, что является изоморфизмом.${\displaystyle {\hat {H}}^{i}}$${\displaystyle \theta }$

Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K , которое основано на локально-глобальном принципе Хассе и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такаги он используется для описания абелевых расширений K в терминах арифметики K и для понимания поведения неархимедовых мест в них. Поэтому закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства того, что L -функции Артина являются мероморфными , а также для доказательства теоремы плотности Чеботарева . ^[7]

Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл гомоморфизм переноса И. Шура и использовал закон взаимности для перевода проблемы принципализации для идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер переносов конечных неабелевых групп. ^[8]

(См. https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP для объяснения некоторых терминов, используемых здесь)

Определение отображения Артина для конечного абелева расширения L / K глобальных полей (такого как конечное абелево расширение ) имеет конкретное описание в терминах простых идеалов и элементов Фробениуса .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если является простым числом K , то группы разложения простых чисел выше равны в Gal( L / K ), поскольку последняя группа является абелевой . Если является неразветвленной в L , то группа разложения канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов над . Следовательно, в Gal( L / K ) существует канонически определенный элемент Фробениуса, обозначаемый или . Если Δ обозначает относительный дискриминант L / K , символ Артина ( или отображение Артина , или (глобальное) отображение взаимности ) L / K определяется на группе дробных идеалов простого-в-Δ , , по линейности:${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}$

Закон взаимности Артина ( или глобальный закон взаимности ) утверждает, что существует модуль c поля K, такой что отображение Артина индуцирует изоморфизм

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}$

где K _{c ,1} — это луч по модулю c , N _{L / K} — это нормированное отображение, связанное с L / K и — дробные идеалы L, простые с c . Такой модуль c называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается${\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}$

Если — целое число , свободное от квадратов , и , то можно отождествить с {±1}. Дискриминант Δ L над равен d или 4 d в зависимости от того, d ≡ 1 (mod 4) или нет. Тогда отображение Артина определяется на простых числах p , которые не делят Δ на${\displaystyle d\neq 1}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

где — символ Кронекера . ^[9] Более конкретно, проводником является главный идеал (Δ) или (Δ)∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным, ^[10] а отображение Артина на идеале, относящемся к простому числу Δ ( n ), задается символом Кронекера. Это показывает, что простое число p является расщепляемым или инертным в L в зависимости от того, является ли оно 1 или −1.${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}$${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

Пусть m > 1 — либо нечетное целое число, либо кратное 4, пусть — примитивный корень степени m из единицы , и пусть — циклотомическое поле степени m . можно отождествить с помощью отправки σ в σ _, заданное правилом${\displaystyle \zeta _{m}}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

Проводник есть ( m )∞, ^[11] а отображение Артина на идеале, простом к m ( n ), есть просто n (mod m ) в ^[12]${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Пусть p и — различные нечетные простые числа. Для удобства пусть (что всегда равно 1 (mod 4)). Тогда квадратичный закон взаимности утверждает, что${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }$

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}$

Связь между квадратичным законом взаимности и законом Артина определяется путем изучения квадратичного поля и циклотомического поля следующим образом. ^[9] Во-первых, F является подполем L , поэтому если H = Gal( L / F ) и тогда Поскольку последний имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов в Основное свойство символа Артина гласит, что для любого идеала, простого от ℓ до ℓ ( n ),${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}$${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}$

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}$

Когда n = p , это показывает, что тогда и только тогда, когда p по модулю ℓ принадлежит H , т.е. тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю ℓ.${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}$

Альтернативная версия закона взаимности, приводящая к программе Ленглендса , связывает L-функции Артина , связанные с абелевыми расширениями числового поля , с L-функциями Гекке, связанными с характерами группы классов иделя. ^[13]

Характер Гекке (или Größencharakter) числового поля K определяется как квазихарактер группы классов иделей поля K. Роберт Ленглендс интерпретировал характеры Гекке как автоморфные формы на редуктивной алгебраической группе GL (1) над кольцом аделей поля K. [ ¹⁴ ]

Пусть — абелево расширение Галуа с группой Галуа G. Тогда для любого характера (т.е. одномерного комплексного представления группы G ) существует характер Гекке группы K такой, что${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}$

где левая часть — это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть — это L-функция Гекке, связанная с χ, раздел 7.D ^{[14] .}

Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие по-прежнему отсутствует.

• Эмиль Артин (1924) «Über eine neue Art von L-Reihen», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Сборник статей , Аддисон Уэсли (1965), 105–124.
• Эмиль Артин (1927) «Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Сборник статей , 131–141.
• Эмиль Артин (1930) «Идеальный класс в Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Сборник статей , 159–164.
• Фрай, Гюнтер (2004), «Об истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях алгебраических числовых полей: как Артин пришел к своему закону взаимности», в Олаве Арнфинне Лаудале; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Статьи с конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3–8 июня 2002 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, MR  2077576, Zbl  1065.11001
• Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, т. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Graduate Texts in Mathematics , т. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, г-н  1282723
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (ред. v4.0) , получено 22.02.2010
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, ЗБЛ  0956.11021
• Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Graduate Texts in Mathematics, т. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Збл  0423.12016
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Локальная теория полей классов", в Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl  0153.07403
• Tate, John (1967), "VII. Глобальная теория полей классов", в Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl  0153.07403