Теория полей локальных классов

В математике локальная теория полей классов , введенная Гельмутом Хассе [1] , является изучением абелевых расширений локальных полей ; здесь «локальное поле» означает поле, которое является полным относительно абсолютного значения или дискретного оценивания с конечным полем вычетов: следовательно, каждое локальное поле изоморфно ( как топологическое поле) действительным числам R , комплексным числам C , конечному расширению p -адических чисел Q p ( где p — любое простое число ) или полю формальных рядов Лорана F q (( T )) над конечным полем F q .

Подходы к теории локальных полей классов

Локальная теория полей классов дает описание группы Галуа G максимального абелева расширения локального поля K с помощью отображения взаимности, которое действует из мультипликативной группы K × = K \{0}. Для конечного абелева расширения L поля K отображение взаимности индуцирует изоморфизм фактор-группы K × / N ( L × ) поля K × по группе норм N ( L × ) расширения L × в группу Галуа Gal( L / K ) расширения. [2]

Теорема существования в локальной теории полей классов устанавливает взаимно-однозначное соответствие между открытыми подгруппами конечного индекса в мультипликативной группе K × и конечными абелевыми расширениями поля K . Для конечного абелева расширения L поля K соответствующая открытая подгруппа конечного индекса является группой нормы N ( L × ). Отображение взаимности переводит высшие группы единиц в высшие подгруппы ветвления, см., например, гл. IV [3]

Используя локальное отображение взаимности, определяется символ Гильберта и его обобщения. Нахождение явных формул для него является одним из направлений теории локальных полей, оно имеет долгую и богатую историю, см., например, обзор Сергея Востокова . [4]

Существуют когомологические подходы и негомологические подходы к локальной теории полей классов. Когомологические подходы, как правило, неявны, поскольку они используют кубковое произведение первых групп когомологий Галуа.

О различных подходах к локальной теории полей классов см. гл. IV и раздел 7 гл. IV книги [5]. Они включают подход Хассе с использованием группы Брауэра , когомологические подходы, явные методы Юргена Нойкирха , Михиля Хазевинкеля , теорию Любина-Тейта и другие.

Обобщения локальной теории полей классов

Обобщения локальной теории полей классов на локальные поля с квазиконечным полем вычетов были простыми расширениями теории, полученными Г. Уэйплсом в 1950-х годах, см. главу V [ необходимо разъяснение ] . [6]

Явная теория полей p-класса для локальных полей с совершенными и несовершенными полями вычетов, которые не являются конечными, должна иметь дело с новой проблемой групп норм бесконечного индекса. Соответствующие теории были построены Иваном Фесенко . [7] [8] Некоммутативная локальная теория полей классов Фесенко для арифметически проконечных расширений Галуа локальных полей изучает соответствующее локальное отображение взаимности коцикла и его свойства. [9] Эту арифметическую теорию можно рассматривать как альтернативу локальному соответствию Ленглендса в теории представлений.

Теория полей высших локальных классов

Для более многомерного локального поля существует более высокое локальное отображение взаимности, которое описывает абелевы расширения поля в терминах открытых подгрупп конечного индекса в K-группе Милнора поля. А именно, если - -мерное локальное поле, то используется или его отделенное фактор-множество, наделенное подходящей топологией. Когда теория становится обычной локальной теорией полей классов. В отличие от классического случая, K-группы Милнора не удовлетворяют спуску по модулю Галуа, если . Общая многомерная локальная теория полей классов была разработана К. Като и И. Фесенко . К {\displaystyle К} К {\displaystyle К} н {\displaystyle n} К н М ( К ) {\ displaystyle \ mathrm {K} _ {n} ^ {\ mathrm {M} } (K)} н = 1 {\displaystyle n=1} н > 1 {\displaystyle n>1}

Высшая локальная теория полей классов является частью высшей теории полей классов , которая изучает абелевы расширения (соответственно, абелевы накрытия) полей рациональных функций собственных регулярных схем, плоских над целыми числами.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Хассе, Х. (1930), «Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen.», Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 1930 (162): 145–154 , doi :10.1515/crll.1930.162.145, ISSN  0075-4102, JFM  56.0165.03, S2CID  116860448
  2. ^ Фесенко, Иван и Востоков, Сергей, Локальные поля и их расширения, 2-е изд., Американское математическое общество , 2002, ISBN 0-8218-3259-X 
  3. ^ Фесенко, Иван и Востоков, Сергей, Локальные поля и их расширения, 2-е изд., Американское математическое общество , 2002, ISBN 0-8218-3259-X 
  4. ^ Фесенко, Иван; Курихара, Масато, ред. (2000). "Сергей В Востоков, Явные формулы для символа Гильберта, В приглашении к высшим локальным полям". Монографии по геометрии и топологии . 3 : 81– 90. doi :10.2140/gtm.2000.3.
  5. ^ Фесенко, Иван и Востоков, Сергей, Локальные поля и их расширения, 2-е изд., Американское математическое общество , 2002, ISBN 0-8218-3259-X 
  6. ^ Фесенко, Иван; Курихара, Масато, ред. (2000). "Сергей В Востоков, Явные формулы для символа Гильберта, В приглашении к высшим локальным полям". Монографии по геометрии и топологии . 3 : 81– 90. doi :10.2140/gtm.2000.3.
  7. ^ И. Фесенко (1994). «Локальная теория полей классов: случай совершенного поля вычетов». Известия Математики . 43 (1). Российская академия наук: 65– 81. Bibcode :1994IzMat..43...65F. doi :10.1070/IM1994v043n01ABEH001559.
  8. ^ Фесенко, И. (1996). «Об общих локальных картах взаимности». Журнал для королевы и математики . 473 : 207–222 .
  9. ^ Фесенко, И. (2001). "Неабелевы локальные отображения взаимности". Теория полей классов – ее столетие и перспективы, Передовые исследования в области чистой математики . Математическое общество Японии. стр.  63–78 . ISBN 4-931469-11-6.

Дальнейшее чтение

  • Фесенко, Иван; Востоков, Сергей (2002), Локальные поля и их расширения (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-19-504030-2
  • Фесенко, Иван Б .; Курихара, Масато, ред. (2000), Приглашение к высшим локальным полям , монографии по геометрии и топологии, т. 3 (первое изд.), Университет Уорика: Издательство математических наук , doi : 10.2140/gtm.2000.3, ISSN  1464-8989, Zbl  0954.00026
  • Ивасава, Кенкичи (1986), Локальная теория полей классов, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, МР  0863740
  • Нойкирх, Юрген (1986), Теория полей классов, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 280, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-15251-4, МР  0819231
  • Серр, Жан-Пьер (1967), «Локальная теория полей классов», в Cassels, Джон Уильям Скотт; Фрелих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Брайтон, 1965), Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр.  128–161 , ISBN 978-0-9502734-2-6, МР  0220701
  • Серр, Жан-Пьер (1979) [1962], Corps Locaux (перевод на английский язык: Локальные поля), Graduate Texts in Mathematics, т. 67, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, МР  0150130
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Теория_местного_поля_класса&oldid=1268342621"