Символ (теория чисел)

В теории чисел символ — это любое из многочисленных обобщений символа Лежандра . В этой статье описываются отношения между этими различными обобщениями.

Символы ниже расположены примерно в порядке даты их введения, которая обычно (но не всегда) соответствует возрастанию общности.

  • Символ Лежандра определен для простого числа p , целого числа a и принимает значения 0, 1 или −1. ( а п ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}
  • Символ Якоби, определенный для b — положительного нечетного целого числа, a — целого числа, и принимающий значения 0, 1 или −1. Расширение символа Лежандра на более общие значения b . ( а б ) {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}
  • Символ Кронекера, определенный для любого целого числа b , целого числа a и принимающий значения 0, 1 или −1. Расширение символов Якоби и Лежандра на более общие значения b . ( а б ) {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}
  • Символ степенного вычета определен для a в некотором глобальном поле, содержащем корни степени m из 1 (для некоторого m ), b — дробный идеал K , построенный из простых идеалов, взаимно простых с m . Символ принимает значения в корнях степени m из 1. Когда m = 2 и глобальное поле — рациональные числа, это более или менее то же самое, что и символ Якоби. ( а б ) = ( а б ) м {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)_{m}}
  • Символ Гильберта Локальный символ Гильберта ( a , b ) = определен для a и b в некотором локальном поле, содержащем m корней из 1 (для некоторого m ), и принимает значения в m корнях из 1. Символ степенного вычета может быть записан в терминах символа Гильберта. Глобальный символ Гильберта определен для a и b в некотором глобальном поле K , для p конечной или бесконечной позиции K , и равен локальному символу Гильберта в дополнении K в позиции p . ( а , б ) п = ( а , б п ) = ( а , б п ) м {\displaystyle (a,b)_{p}=\left({\frac {a,b}{p}}\right)=\left({\frac {a,b}{p}}\right)_{m}}
  • Символ Артина Локальный символ Артина или символ норменного вычета определен для L конечного расширения локального поля K , α элемента K , и принимает значения в абелианизации группы Галуа Gal( L / K ). Глобальный символ Артина определен для α в группе классов лучей или группе иделей (классов) глобального поля K , и принимает значения в абелианизации Gal( L / K ) для L абелева расширения K . Когда α находится в группе иделей, символ иногда называют символом Шевалле или символом Артина–Шевалле . Локальный символ Гильберта K может быть записан в терминах символа Артина для расширений Куммера L / K , где корни единицы могут быть отождествлены с элементами группы Галуа. θ Л / К ( α ) = ( α , Л / К ) = ( Л / К α ) {\displaystyle \theta _{L/K}(\alpha )=(\alpha ,L/K)=\left({\frac {L/K}{\alpha }}\right)} ψ Л / К ( α ) = ( α , Л / К ) = ( Л / К α ) = ( ( Л / К ) / α ) {\displaystyle \psi _{L/K}(\alpha )=(\alpha ,L/K)=\left({\frac {L/K}{\alpha }}\right)=((L/K)/\alpha )}
  • Символ Фробениуса совпадает с элементом Фробениуса простого числа P расширения Галуа L матрицы K. [ ( Л / К ) / П ] = [ Л / К П ] {\displaystyle [(L/K)/P]=\left[{\frac {L/K}{P}}\right]}
  • "Символ Шевалле" имеет несколько немного отличающихся значений. Иногда он используется для символа Артина для иделей. Разновидностью этого является символ Шевалле для p — простого идеала K , a — элемента K и χ — гомоморфизма группы Галуа K в R / Z. Значение символа тогда равно значению символа χ на обычном символе Артина. ( а , χ п ) {\displaystyle \left({\frac {a,\chi}{p}}\right)}
  • Символ нормированного вычета Это название для нескольких различных тесно связанных символов, таких как символ Артина или символ Гильберта или символ нормированного вычета Хассе. Символ нормированного вычета Хассе определяется, если p является местом K и α является элементом K. Он по сути то же самое, что и локальный символ Артина для локализации K в p . Символ Гильберта является его частным случаем в случае расширений Куммера. ( ( α , Л / К ) / п ) = ( α , Л / К п ) {\displaystyle ((\alpha ,L/K)/p)=\left({\frac {\alpha ,L/K}{p}}\right)}
  • Символ Стейнберга ( a , b ). Это обобщение локального символа Гильберта на произвольные поля F. Числа a и b являются элементами F , а символ ( a , b ) принимает значения во второй K-группе F.
  • Символ Галуа Некое обобщение символа Стейнберга на высшую алгебраическую K-теорию. Он переводит K-группу Милнора в этальную когомологическую группу.

Смотрите также

Ссылки

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Символ_(теория_чисел)&oldid=801001566"