символ Гильберта

В математике символ Гильберта или символ нормированного вычета — это функция (–, –) из K ^× × K ^× в группу корней n-й степени из единицы в локальном поле K, таком как поля действительных чисел или p-адических чисел . Он связан с законами взаимности и может быть определен в терминах символа Артина локальной теории полей классов . Символ Гильберта был введен Дэвидом Гильбертом  (1897, разделы 64, 131, 1998, английский перевод) в его Zahlbericht , с небольшим отличием, что он определил его для элементов глобальных полей, а не для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта был обобщен на высшие локальные поля .

Над локальным полем K, мультипликативная группа ненулевых элементов которого равна K ^× , квадратичный символ Гильберта — это функция (–, –) из K ^× × K ^× в {−1,1}, определяемая соотношением

${\displaystyle (a,b)={\begin{cases}+1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ has a non-zero solution }}(x,y,z)\in K^{3};\\-1,&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

Эквивалентно, тогда и только тогда, когда равно норме элемента квадратичного расширения ^{[1] стр. 110} .${\displaystyle (a,b)=1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle K[{\sqrt {a}}]}$

Следующие три свойства вытекают непосредственно из определения, путем выбора подходящих решений диофантова уравнения выше:

• Если a — квадрат, то ( a , b ) = 1 для всех b .
• Для всех a , b из K ^× , ( a , b ) = ( b , a ).
• Для любого a из K ^× такого, что a −1 также есть в K ^× , мы имеем ( a , 1 − a ) = 1.

(Би)мультипликативность, т.е.

( а , б ₁ б ₂ ) = ( а , б ₁ )·( а , б ₂ )

_Однако для любых a , b1 и b2 из K ^× доказать сложнее, и это требует разработки _{локальной} теории полей классов .

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Стейнберга и, таким образом, факторизуется со второй K-группой Милнора , которая по определению${\displaystyle K_{2}^{M}(K)}$

К ^× ⊗ К ^× / ( а ⊗ (1− а) , а ∈ К ^× \ {1})

По первому свойству оно даже разлагается на множители . Это первый шаг к гипотезе Милнора .${\displaystyle K_{2}^{M}(K)/2}$

Символ Гильберта может также использоваться для обозначения центральной простой алгебры над K с базисом 1, i , j , k и правилами умножения , , . В этом случае алгебра представляет собой элемент порядка 2 в группе Брауэра K , который отождествляется с -1, если это алгебра с делением, и +1, если она изоморфна алгебре матриц 2 на 2.${\displaystyle i^{2}=a}$${\displaystyle j^{2}=b}$${\displaystyle ij=-ji=k}$

Для позиции v поля рациональных чисел и рациональных чисел a , b мы обозначим через ( a , b ) _v значение символа Гильберта в соответствующем дополнении Q _v . Как обычно, если v — оценка, приложенная к простому числу p , то соответствующим дополнением будет p-адическое поле , а если v — бесконечное место, то дополнением будет поле действительных чисел .

В случае действительных чисел ( a , b ) _∞ равно +1, если хотя бы один из a или b положительный, и −1, если оба отрицательные.

Над p-адическими числами с нечетным p , записывая и , где u и v — целые числа, взаимно простые с p , имеем${\displaystyle a=p^{\alpha }u}$${\displaystyle b=p^{\beta }v}$

${\displaystyle (a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }}$, где${\displaystyle \epsilon (p)=(p-1)/2}$

и выражение включает в себя два символа Лежандра .

Над 2-адическими числами, снова записывая и , где u и v — нечетные числа , имеем${\displaystyle a=2^{\alpha }u}$${\displaystyle b=2^{\beta }v}$

${\displaystyle (a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}}$, где${\displaystyle \omega (x)=(x^{2}-1)/8.}$

Известно, что если v пробегает все позиции, то ( a , b ) _v равно 1 почти для всех позиций. Поэтому следующая формула произведения

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

имеет смысл. Это эквивалентно закону квадратичной взаимности .

Символ Гильберта на поле F определяет карту

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):F^{*}/F^{*2}\times F^{*}/F^{*2}\rightarrow \mathop {Br} (F)}$

где Br( F ) — группа Брауэра F . Ядро этого отображения, элементы a такие, что ( a , b )= 1 для всех b , — это радикал Капланского F . ^[2]

Радикал является подгруппой F ^* /F ^*2 , отождествляемой с подгруппой F ^* . Радикал равен F ^* тогда и только тогда, когда F имеет u -инвариант не более 2. ^[3] В противоположном направлении, поле с радикалом F ^*2 называется гильбертовым полем . ^[4]

Если K — локальное поле, содержащее группу корней n-й степени из единицы для некоторого положительного целого числа n, простого с характеристикой K , то символ Гильберта (,) — это функция от K *× K * до μ _n . В терминах символа Артина его можно определить как ^[5]

${\displaystyle (a,b){\sqrt[{n}]{b}}=(a,K({\sqrt[{n}]{b}})/K){\sqrt[{n}]{b}}}$

Гильберт первоначально определил символ Гильберта до того, как был открыт символ Артина, и его определение (для простого числа n ) использовало символ степенного вычета, когда K имеет характеристику вычета, взаимно простую с n , и было довольно сложным, когда K имеет характеристику вычета, делящую n .

Символ Гильберта (мультипликативно) билинейный:

( аб , с ) = ( а , с )( б , с )

( а , бс ) = ( а , б )( а , в )

кососимметричный:

( а , б ) = ( б , а ) ⁻¹

невырожденный:

( a , b )=1 для всех b тогда и только тогда, когда a принадлежит K * ⁿ

Он определяет нормы (отсюда и название — символ остатка нормы):

( a , b )=1 тогда и только тогда, когда a является нормой элемента в K ( ⁿ √ b )

Он обладает свойствами «символа» :

( а ,1– а )=1, ( а ,–а)=1.

Закон взаимности Гильберта гласит, что если a и b находятся в алгебраическом числовом поле, содержащем корни n-й степени из единицы, то ^[6]

${\displaystyle \prod _{p}(a,b)_{p}=1}$

где произведение берется по конечным и бесконечным простым числам p числового поля, и где (,) _p — символ Гильберта пополнения в точке p . Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Если K — числовое поле, содержащее корни n-й степени из единицы, p — простой идеал, не делящий n , π — простой элемент локального поля p , а a взаимно просто с p , то символ вычета степени (^а
_п) связано с символом Гильберта соотношением ^[7]

${\displaystyle {\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}}$

Символ степенного вычета распространяется на дробные идеалы с помощью мультипликативности и определяется для элементов числового поля путем помещения (^а
_б)=(^а
_{( б )}) где ( b ) — главный идеал, порожденный b . Закон взаимности Гильберта тогда подразумевает следующий закон взаимности для символа вычета, для a и b, простых друг с другом и с n :

${\displaystyle {\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}}$

• Алгебра Адзумая

• «Символ нормы-вычета», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• HilbertSymbol в Mathworld

• Боревич, З.И .; Шафаревич, И.Р. (1966), Теория чисел , Academic Press, ISBN 0-12-117851-X, ЗБЛ  0145.04902
• Гильберт, Дэвид (1897), «Die Theorie der алгебраишен Zahlkörper», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория алгебраических числовых полей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1, г-н  1646901
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Graduate Studies in Mathematics , т. 67, Американское математическое общество , ISBN 0-8218-1095-2, Збл  1068.11023
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K -теорию , Annals of Mathematics Studies, т. 72, Princeton University Press , MR  0349811, Zbl  0237.18005
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, ЗБЛ  0956.11021
• Серр, Жан-Пьер (1996), Курс арифметики , Graduate Texts in Mathematics , т. 7, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90040-5, ЗБЛ  0256.12001
• Востоков, С.В.; Фесенко, И.Б. (2002), Локальные поля и их расширения, Переводы математических монографий, т. 121, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, Збл  1156.11046