Девятая проблема Гильберта

О законе взаимности в полях алгебраических чисел

Девятая проблема Гильберта из списка 23 проблем Гильберта (1900) заключалась в нахождении наиболее общего закона взаимности для норменных вычетов k -го порядка в общем алгебраическом числовом поле , где k — степень простого числа .

Прогресс достигнут

Проблема была частично решена Эмилем Артином путем установления закона взаимности Артина , который касается абелевых расширений полей алгебраических чисел . ^[1]^[2]^[3] Вместе с работами Тейджи Такаги и Хельмута Хассе (которые установили более общий закон взаимности Хассе) это привело к развитию теории полей классов , реализующей программу Гильберта в абстрактной форме. Некоторые явные формулы для норменных вычетов были позже найдены Игорем Шафаревичем (1948; 1949; 1950).

Неабелево обобщение , также связанное с двенадцатой проблемой Гильберта , является одной из давних задач в теории чисел и далеко от завершения.

^ Артин, Эмиль (1924). «Über eine neue Art von L-Reihen». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 3 : 89–108.
^ Артин, Эмиль (1927). «Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 5 : 353–363.
^ Артин, Эмиль (1930). «Идеальный класс в Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 7 : 46–51.

Тейт, Джон (1976). "Проблема 9: Общий закон взаимности". В Felix E. Browder (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том XXVIII.2. Американское математическое общество . стр. 311–322. ISBN 0-8218-1428-1.