Передача Артина (теория групп)

В математической области теории групп трансфер Артина — это определенный гомоморфизм из произвольной конечной или бесконечной группы в фактор-группу коммутатора подгруппы конечного индекса. Первоначально такие отображения возникли как теоретико-групповые аналоги гомоморфизмов расширения классов абелевых расширений полей алгебраических чисел путем применения отображений взаимности Артина к идеальным группам классов и анализа полученных гомоморфизмов между факторами групп Галуа. Однако, независимо от приложений теории чисел, частичный порядок на ядрах и целях трансферов Артина недавно оказался совместимым с родительско-потомковыми отношениями между конечными p -группами (с простым числом p ), которые можно визуализировать в деревьях потомков . Таким образом, трансферы Артина предоставляют ценный инструмент для классификации конечных p -групп и для поиска и идентификации конкретных групп в деревьях потомков путем поиска шаблонов, определяемых ядрами и целями трансферов Артина. Эти стратегии распознавания образов полезны в чисто групповом теоретико-множественном контексте, а также для приложений в алгебраической теории чисел, касающихся групп Галуа высших полей p -класса и башен полей Гильберта p -класса .

Трансверсали подгруппы

Пусть будет группой и будет подгруппой конечного индекса $G$ $H\leq G$ $сущ.$

Определения. ^[1] Левая трансверсаль в — это упорядоченная система представителей для левых смежных классов в , такая, что $H$ $G$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$

G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.

Аналогично правая трансверсаль в является упорядоченной системой представителей для правых смежных классов в такой , что $H$ $G$ $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ $H$ $G$

G=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hd_{i}.

Замечание. Для любой трансверсали в существует единственный нижний индекс такой, что , соответственно . Конечно, этот элемент с нижним индексом , представляющий главный смежный класс (т.е. саму подгруппу), может быть, но не обязательно, заменен нейтральным элементом . $H$ $G$ $1\leq i_{0}\leq n$ $g_{i_{0}}\in H$ $d_{i_{0}}\in H$ $i_{0}$ $H$ $1$

Лемма. ^[2] Пусть — неабелева группа с подгруппой . Тогда обратные элементы левой трансверсали в образуют правую трансверсаль в . Более того, если — нормальная подгруппа в , то любая левая трансверсаль также является правой трансверсалью в . $G$ $H$ $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

Доказательство. Поскольку отображение является инволюцией , то мы видим, что:

x\mapsto x^{-1}

G

G=G^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}(g_{i}H)^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}H^{-1}g_{i}^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hg_{i}^{-1}.

Для нормальной подгруппы мы имеем для каждого .

H

xH=Hx

x\in G

Мы должны проверить, когда образ трансверсали при гомоморфизме также является трансверсалью.

Предложение. Пусть — гомоморфизм групп и — левая трансверсаль подгруппы в с конечным индексом. Следующие два условия эквивалентны: $\phi :G\to K$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$ $сущ.$

$(\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))$ является левой трансверсалью подгруппы в образе с конечным индексом $\phi (H)$ $\phi (G)$ $(\phi (G):\phi (H))=n.$
$\ker(\phi )\leq H.$

Доказательство. Поскольку отображение множеств отображает объединение в другое объединение:

\phi

\phi (G)=\phi \left(\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}H\right)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i}H)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),

но ослабляет равенство для пересечения до тривиального включения:

\emptyset =\phi (\emptyset )=\phi (g_{i}H\cap g_{j}H)\subseteq \phi (g_{i}H)\cap \phi (g_{j}H)=\phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H),\qquad i\neq j.

Предположим, что для некоторых :

1\leq i\leq j\leq n

\phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H)\neq \emptyset

то существуют элементы такие, что

h_{i},h_{j}\in H

\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})

Тогда имеем:

{\begin{aligned}\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})&\Longrightarrow \phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{i})\phi (h_{i})\phi (h_{j})^{-1}=1\\&\Longrightarrow \phi \left(g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\right)=1\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in H&&\ker(\phi )\leq H\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}\in H&&h_{i}h_{j}^{-1}\in H\\&\Longrightarrow g_{i}H=g_{j}H\\&\Longrightarrow i=j\end{aligned}}

Обратно, если тогда существует такое, что Но гомоморфизм отображает непересекающиеся смежные классы в равные смежные классы:

\ker(\phi )\nsubseteq H

x\in G\setminus H

\phi (x)=1.

\phi

x\cdot H\cap 1\cdot H=\emptyset

\phi (x)\phi (H)\cap \phi (1)\phi (H)=1\cdot \phi (H)\cap 1\cdot \phi (H)=\phi (H).

Замечание. Подчеркнем важную эквивалентность предложения в формуле:

(1)\quad \ker(\phi )\leq H\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}\phi (G)=\bigsqcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H)\\(\phi (G):\phi (H))=n\end{cases}}

Представление перестановки

Предположим, что является левой трансверсалью подгруппы конечного индекса в группе . Фиксированный элемент порождает уникальную перестановку левых смежных классов в с помощью левого умножения, такую что: $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $n$ $G$ $x\in G$ $\pi _{x}\in S_{n}$ $H$ $G$

(2)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H\Longrightarrow xg_{i}\in g_{\pi _{x}(i)}H.

Используя это, мы определяем набор элементов, называемых мономами, связанными с относительно : $x$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.

Аналогично, если — правая трансверсаль в , то фиксированный элемент порождает уникальную перестановку правых смежных классов в посредством правого умножения, такую что: $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ $H$ $G$ $x\in G$ $\rho _{x}\in S_{n}$ $H$ $G$

(3)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad Hd_{i}x=Hd_{\rho _{x}(i)}\Longrightarrow d_{i}x\in Hd_{\rho _{x}(i)}.

И мы определяем мономы, связанные с относительно : $x$ $(d_{1},\ldots ,d_{n})$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.

Определение. ^[1] Отображения:

{\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \rho _{x}\end{cases}}

называются перестановочным представлением в симметрической группе относительно и соответственно. $G$ $S_{n}$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $(d_{1},\ldots ,d_{n})$

Определение. ^[1] Отображения:

{\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (w_{x}(1),\ldots ,w_{x}(n);\rho _{x})\end{cases}}

называются мономиальным представлением в относительно и соответственно . $G$ $H^{n}\times S_{n}$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $(d_{1},\ldots ,d_{n})$

Лемма. Для правой трансверсали, связанной с левой трансверсалью , мы имеем следующие соотношения между мономами и перестановками, соответствующими элементу : $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $x\in G$

(4)\quad {\begin{cases}w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}&1\leq i\leq n\\\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}\end{cases}}

Доказательство. Для правой трансверсали имеем , для каждого . С другой стороны, для левой трансверсали имеем

(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})

w_{x}(i)=g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}

1\leq i\leq n

(g_{1},\ldots ,g_{n})

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i)^{-1}=\left(g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\right)^{-1}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\pi _{x}(i)}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\rho _{x^{-1}}(i)}=w_{x^{-1}}(i).

Это соотношение одновременно показывает, что для любого представления перестановок и соответствующие мономы связаны посредством и для каждого .

x\in G

\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}

w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}

1\leq i\leq n

Перевод Артина

Определения. ^[2]^[3] Пусть — группа и подгруппа конечного индекса Предположим, что — левая трансверсаль в с соответствующим представлением перестановки, такая что $G$ $H$ $n.$ $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$ $\pi _{x}:G\to S_{n},$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.

Аналогично пусть будет правой трансверсалью в с соответствующим представлением перестановки таким, что $(d)=(d_{1},\ldots ,d_{n})$ $H$ $G$ $\rho _{x}:G\to S_{n}$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.

Передача Артина относительно определяется как: $T_{G,H}^{(g)}:G\to H/H'$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$

(5)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(g)}(x):=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'.

Аналогично мы определяем:

(6)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(d)}(x):=\prod _{i=1}^{n}d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'.

Замечания. Айзекс ^[4] называет отображения

{\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\end{cases}}\qquad {\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\end{cases}}

предварительный перенос из в . Предварительный перенос может быть составлен с гомоморфизмом из в абелеву группу , чтобы определить более общую версию переноса из в через , которая встречается в книге Горенштейна. ^[5] $G$ $H$ $\phi :H\to A$ $H$ $A$ $G$ $A$ $\phi$

{\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (u_{x}(i))\end{cases}}\qquad {\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (w_{x}(i))\end{cases}}

Принимая во внимание естественный эпиморфизм

{\begin{cases}\phi :H\to H/H'\\v\mapsto vH'\end{cases}}

дает предыдущее определение переноса Артина в его первоначальной форме, по Шуру ^[2] и Эмилю Артину ^[3] , которое Хассе также назвал Verlagerung . ^[6] Обратите внимание, что в общем случае предварительный перенос не является ни независимым от трансверсали, ни групповым гомоморфизмом. $T_{G,H}$

Независимость трансверсальной

Предложение. ^[1]^[2]^[4]^[5]^[7]^[8]^[9] Переносы Артина относительно любых двух левых трансверсалей в совпадают. $H$ $G$

Доказательство. Пусть и — две левые трансверсали в . Тогда существует единственная перестановка такая, что:

(\ell )=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})

(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})

H

G

\sigma \in S_{n}

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad g_{i}H=\ell _{\sigma (i)}H.

Следовательно:

\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\exists h_{i}\in H:\qquad g_{i}h_{i}=\ell _{\sigma (i)}.

Для фиксированного элемента существует единственная перестановка такая, что:

x\in G

\lambda _{x}\in S_{n}

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad \ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}H=x\ell _{\sigma (i)}H=xg_{i}h_{i}H=xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H=g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}H=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}H.

Таким образом, представление перестановки относительно дается выражением, которое дает: Кроме того, для связи между двумя элементами:

G

(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})

\lambda _{x}\circ \sigma =\sigma \circ \pi _{x}

\lambda _{x}=\sigma \circ \pi _{x}\circ \sigma ^{-1}\in S_{n}.

{\begin{aligned}v_{x}(i)&:=\ell _{\lambda _{x}(i)}^{-1}x\ell _{i}\in H\\u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H\end{aligned}}

у нас есть:

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad v_{x}(\sigma (i))=\ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}^{-1}x\ell _{\sigma (i)}=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}^{-1}xg_{i}h_{i}=\left(g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}.

Наконец, поскольку является абелевым, а и являются перестановками, перенос Артина оказывается независимым от левой трансверсали:

H/H'

\sigma

\pi _{x}

T_{G,H}^{(\ell )}(x)=\prod _{i=1}^{n}v_{x}(\sigma (i))\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}\prod _{i=1}^{n}h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot 1\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'=T_{G,H}^{(g)}(x),

как определено в формуле (5).

Предложение. Передачи Артина относительно любых двух правых трансверсалей в совпадают. $H$ $G$

Доказательство. Аналогично предыдущему предложению.

Предложение. Передачи Артина относительно и совпадают. $(g^{-1})=(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$

Доказательство. Используя формулу (4) и будучи абелевыми, имеем:

H/H'

T_{G,H}^{(g^{-1})}(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)^{-1}\cdot H'=\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)\cdot H'\right)^{-1}=\left(T_{G,H}^{(g)}\left(x^{-1}\right)\right)^{-1}=T_{G,H}^{(g)}(x).

Последний шаг оправдан тем, что перенос Артина является гомоморфизмом. Это будет показано в следующем разделе.

Следствие. Перенос Артина не зависит от выбора трансверсалей и зависит только от и . $H$ $G$

Переводы Артина как гомоморфизмы

Теорема. ^[1]^[2]^[4]^[5]^[7]^[8]^[9] Пусть — левая трансверсаль в . Перенос Артина $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$

{\begin{cases}T_{G,H}:G\to H/H'\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\end{cases}}

и перестановочное представление:

{\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}

являются групповыми гомоморфизмами:

(7)\quad \forall x,y\in G:\qquad T_{G,H}(xy)=T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)\quad {\text{and}}\quad \pi _{xy}=\pi _{x}\circ \pi _{y}.

Доказательство

Позволять : $x,y\in G$

T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'

Поскольку является абелевым и является перестановкой, мы можем изменить порядок множителей в произведении: $H/H'$ $\pi _{y}$

{\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'&=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{(\pi _{x}\circ \pi _{y})(j))}^{-1}xyg_{j}\cdot H'\\&=T_{G,H}(xy)\end{aligned}}

Это соотношение одновременно показывает, что перенос Артина и перестановочное представление являются гомоморфизмами.

Полезно переформулировать свойство гомоморфизма переноса Артина в терминах мономиального представления . Образы факторов задаются как $x,y$

T_{G,H}(x)=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\quad {\text{and}}\quad T_{G,H}(y)=\prod _{j=1}^{n}u_{y}(j)\cdot H'.

В последнем доказательстве изображение продукта оказалось $xy$

T_{G,H}(xy)=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{n}u_{x}(\pi _{y}(j))\cdot u_{y}(j)\cdot H'

,

что представляет собой весьма своеобразный закон композиции, который более подробно обсуждается в следующем разделе.

Закон напоминает скрещенные гомоморфизмы в первой группе когомологий -модуля , которые обладают свойством для . $x\mapsto u_{x}$ $\mathrm {H} ^{1}(G,M)$ $G$ $M$ $u_{xy}=u_{x}^{y}\cdot u_{y}$ $x,y\in G$

Сплетение продуктовЧАСиС(н)

Своеобразные структуры, возникшие в предыдущем разделе, можно также интерпретировать, наделив декартово произведение специальным законом композиции, известным как сплетение групп , и относительно множества $H^{n}\times S_{n}$ $H\wr S_{n}$ $H$ $S_{n}$ $\{1,\ldots ,n\}.$

Определение. Для сплетение связанных мономов и перестановок задается выражением $x,y\in G$

(8)\quad (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\cdot (u_{y}(1),\ldots ,u_{y}(n);\pi _{y}):=(u_{x}(\pi _{y}(1))\cdot u_{y}(1),\ldots ,u_{x}(\pi _{y}(n))\cdot u_{y}(n);\pi _{x}\circ \pi _{y})=(u_{xy}(1),\ldots ,u_{xy}(n);\pi _{xy}).

Теорема. ^[1]^[7] С этим законом композиции на мономиальном представлении $H^{n}\times S_{n}$

{\begin{cases}G\to H\wr S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}

является инъективным гомоморфизмом.

Доказательство

Свойство гомоморфизма уже было показано выше. Для того чтобы гомоморфизм был инъективным, достаточно показать тривиальность его ядра. Нейтральный элемент группы, наделенной сплетением, задается как , где последнее означает тождественную перестановку. Если , для некоторого , то и, следовательно, $H^{n}\times S_{n}$ $(1,\ldots ,1;1)$ $1$ $(u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})=(1,\ldots ,1;1)$ $x\in G$ $\pi _{x}=1$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad 1=u_{x}(i)=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}=g_{i}^{-1}xg_{i}.

Наконец, применение обратного внутреннего автоморфизма с выходами , что и требуется для инъективности. $g_{i}$ $x=1$

Замечание. Мономиальное представление теоремы контрастирует с перестановочным представлением, которое не может быть инъективным, если $|G|>n!.$

Замечание. В то время как Хупперт ^[1] использует мономиальное представление для определения переноса Артина, мы предпочитаем давать непосредственные определения в формулах (5) и (6) и просто иллюстрировать свойство гомоморфизма переноса Артина с помощью мономиального представления.

Состав переводов Артина

Теорема. ^[1]^[7] Пусть — группа с вложенными подгруппами, такая что и Тогда перенос Артина является композитом индуцированного переноса и переноса Артина , то есть: $G$ $K\leq H\leq G$ $(G:H)=n,(H:K)=m$ $(G:K)=(G:H)\cdot (H:K)=nm<\infty .$ $T_{G,K}$ ${\tilde {T}}_{H,K}:H/H'\to K/K'$ $T_{G,H}$

(9)\quad T_{G,K}={\tilde {T}}_{H,K}\circ T_{G,H}

.

Доказательство

Если — левая трансверсаль в и — левая трансверсаль в , то есть и , то $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$ $(h_{1},\ldots ,h_{m})$ $K$ $H$ $G=\sqcup _{i=1}^{n}g_{i}H$ $H=\sqcup _{j=1}^{m}h_{j}K$

G=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigsqcup _{j=1}^{m}g_{i}h_{j}K

является непересекающимся левым смежным классом разложения относительно . $G$ $K$

Для двух элементов и существуют уникальные перестановки и такие, что $x\in G$ $y\in H$ $\pi _{x}\in S_{n}$ $\sigma _{y}\in S_{m}$

{\begin{aligned}u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H&&{\text{for all }}1\leq i\leq n\\v_{y}(j)&:=h_{\sigma _{y}(j)}^{-1}yh_{j}\in K&&{\text{for all }}1\leq j\leq m\end{aligned}}

Тогда, предвосхищая определение индуцированного переноса, имеем

{\begin{aligned}T_{G,H}(x)&=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\\{\tilde {T}}_{H,K}(y\cdot H')&=T_{H,K}(y)=\prod _{j=1}^{m}v_{y}(j)\cdot K'\end{aligned}}

Для каждой пары индексов и , положим , и получим $1\leq i\leq n$ $1\leq j\leq m$ $y_{i}:=u_{x}(i)$

xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}u_{x}(i)h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}v_{y_{i}}(j),

соотв.

h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=v_{y_{i}}(j).

Таким образом, изображение при передаче Артина имеет вид $x$ $T_{G,K}$

{\begin{aligned}T_{G,K}(x)&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}v_{y_{i}}(j)\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}u_{x}(i)h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}{\tilde {T}}_{H,K}\left(y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}(T_{G,H}(x))\end{aligned}}

Наконец, мы хотим подчеркнуть структурную особенность мономиального представления

{\begin{cases}G\to K^{n\cdot m}\times S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}

что соответствует составу передач Артина, определяющих

k_{x}(i,j):=\left((gh)_{\gamma _{x}(i,j)}\right)^{-1}x(gh)_{(i,j)}\in K

для перестановки и используя символическую запись для всех пар индексов , . $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$ $(gh)_{(i,j)}:=g_{i}h_{j}$ $1\leq i\leq n$ $1\leq j\leq m$

Предыдущее доказательство показало, что

k_{x}(i,j)=h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}.

Таким образом, действие перестановки на множестве задается как . Действие на второй компонент зависит от первого компонента (через перестановку ), тогда как действие на первый компонент не зависит от второго компонента . Таким образом, перестановку можно отождествить с мультиплетом $\gamma _{x}$ $[1,n]\times [1,m]$ $\gamma _{x}(i,j)=(\pi _{x}(i),\sigma _{u_{x}(i)}(j))$ $j$ $i$ $\sigma _{u_{x}(i)}\in S_{m}$ $i$ $j$ $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$

(\pi _{x};\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)})\in S_{n}\times S_{m}^{n},

который будет записан в извращенной форме в следующем разделе.

Сплетение продуктовС(м) иС(н)

Перестановки , которые возникли как вторые компоненты мономиального представления $\gamma _{x}$

{\begin{cases}G\to K\wr S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}

в предыдущем разделе, имеют весьма специальный вид. Они принадлежат стабилизатору естественного равнораспределения множества по строкам соответствующей матрицы (прямоугольного массива). Используя особенности композиции переносов Артина в предыдущем разделе, мы показываем, что этот стабилизатор изоморфен сплетению симметрических групп и относительно множества , базовое множество которого наделено следующим законом композиции : $[1,n]\times [1,m]$ $n$ $S_{m}\wr S_{n}$ $S_{m}$ $S_{n}$ $\{1,\ldots ,n\}$ $S_{m}^{n}\times S_{n}$

{\begin{aligned}(10)\quad \forall x,z\in G:\qquad \gamma _{x}\cdot \gamma _{z}&=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\cdot (\sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{z}(n)};\pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(1))}\circ \sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(n))}\circ \sigma _{u_{z}(n)};\pi _{x}\circ \pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{xz}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{xz}(n)};\pi _{xz})\\&=\gamma _{xz}\end{aligned}}

Этот закон напоминает цепное правило для производной Фреше в композиции дифференцируемых функций и между полными нормированными пространствами . $D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x)$ $x\in E$ $f:E\to F$ $g:F\to G$

Приведенные выше соображения устанавливают третье представление, представление стабилизатора ,

{\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto (\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}

группы в сплетении , аналогично представлению перестановки и представлению монома . В отличие от последнего, представление стабилизатора не может быть инъективным, вообще говоря. Например, определенно нет, если бесконечно. Формула (10) доказывает следующее утверждение. $G$ $S_{m}\wr S_{n}$ $G$

Теорема. Стабилизаторное представление

{\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto \gamma _{x}=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}

группы в сплетении симметрических групп является групповым гомоморфизмом. $G$ $S_{m}\wr S_{n}$

Разложение цикла

Пусть — левая трансверсаль подгруппы конечного индекса в группе , а — ее ассоциированное перестановочное представление. $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $n$ $G$ $x\mapsto \pi _{x}$

Теорема. ^[1]^[3]^[4]^[5]^[8]^[9] Предположим, что перестановка распадается на попарно непересекающиеся (и, таким образом, коммутирующие) циклы длин , которые являются уникальными с точностью до упорядочения циклов. Более конкретно, предположим $\pi _{x}$ $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{t}\in S_{n}$ $f_{1},\ldots f_{t},$

(11)\quad \left(g_{j}H,g_{\zeta _{j}(j)}H,g_{\zeta _{j}^{2}(j)}H,\ldots ,g_{\zeta _{j}^{f_{j}-1}(j)}H\right)=\left(g_{j}H,xg_{j}H,x^{2}g_{j}H,\ldots ,x^{f_{j}-1}g_{j}H\right),

для , и Тогда изображение при передаче Артина дается выражением $1\leq j\leq t$ $f_{1}+\cdots +f_{t}=n.$ $x\in G$

(12)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H'.

Доказательство

Определим для и . Это левая трансверсаль в , так как $\ell _{j,k}:=x^{k}g_{j}$ $0\leq k\leq f_{j}-1$ $1\leq j\leq t$ $H$ $G$

(13)\quad G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\bigsqcup _{k=0}^{f_{j}-1}x^{k}g_{j}H

является непересекающимся разложением на левые смежные классы . $G$ $H$

Зафиксируйте значение . Затем: $1\leq j\leq t$

{\begin{aligned}x\ell _{j,k}&=xx^{k}g_{j}=x^{k+1}g_{j}=\ell _{j,k+1}\in \ell _{j,k+1}H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\x\ell _{j,f_{j}-1}&=xx^{f_{j}-1}g_{j}=x^{f_{j}}g_{j}\in g_{j}H=\ell _{j,0}H\end{aligned}}

Определять:

{\begin{aligned}u_{x}(j,k)&:=\ell _{j,k+1}^{-1}x\ell _{j,k}=1\in H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\u_{x}(j,f_{j}-1)&:=\ell _{j,0}^{-1}x\ell _{j,f_{j}-1}=g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\in H\end{aligned}}

Следовательно,

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}\prod _{k=0}^{f_{j}-1}u_{x}(j,k)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}\left(\prod _{k=0}^{f_{j}-2}1\right)\cdot u_{x}(j,f_{j}-1)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H'.

Разложение цикла соответствует разложению двойного смежного класса : $(\langle x\rangle ,H)$ $G$

G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\langle x\rangle g_{j}H

Именно эта форма разложения цикла гомоморфизма переноса была дана Э. Артином в его оригинальной статье 1929 года. ^[3]

Перевод в обычную подгруппу

Пусть — нормальная подгруппа конечного индекса в группе . Тогда для всех имеем , и существует факторгруппа порядка . Для элемента пусть обозначает порядок смежного класса в , и пусть — левая трансверсаль подгруппы в , где . $H$ $n$ $G$ $xH=Hx$ $x\in G$ $G/H$ $n$ $x\in G$ $f:=\mathrm {ord} (xH)$ $xH$ $G/H$ $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ $\langle x,H\rangle$ $G$ $t=n/f$

Теорема. Тогда изображение при переносе Артина определяется выражением: $x\in G$ $T_{G,H}$

(14)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'

.

Доказательство

$\langle xH\rangle$ является циклической подгруппой порядка в , а левая трансверсаль подгруппы в , где и — соответствующее непересекающееся левое смежное разложение, может быть уточнена до левой трансверсали с непересекающимся левым смежным разложением: $f$ $G/H$ $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ $\langle x,H\rangle$ $G$ $t=n/f$ $G=\sqcup _{j=1}^{t}g_{j}\langle x,H\rangle$ $g_{j}x^{k}(1\leq j\leq t,\ 0\leq k\leq f-1)$

(15)\quad G=\sqcup _{j=1}^{t}\sqcup _{k=0}^{f-1}g_{j}x^{k}H

из в . Следовательно, формула для изображения при переносе Артина в предыдущем разделе принимает частный вид $H$ $G$ $x$ $T_{G,H}$

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'

с показателем, независимым от . $f$ $j$

Следствие. В частности, внутренняя передача элемента дана как символическая сила: $x\in H$

(16)\quad T_{G,H}(x)=x^{\mathrm {Tr} _{G}(H)}\cdot H'

с микроэлементом

(17)\quad \mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]

в качестве символического показателя степени . $H$ $G$

Другая крайность – это внешний перенос элемента , который порождает , т.е. $x\in G\setminus H$ $G/H$ $G=\langle x,H\rangle$

Это просто th-я степень $n$

(18)\quad T_{G,H}(x)=x^{n}\cdot H'

.

Доказательство

Внутренний перенос элемента , смежный класс которого является главным множеством порядка , задается как символическая мощность $x\in H$ $xH=H$ $G/H$ $f=1$

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}xg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}x^{g_{j}}\cdot H'=x^{\sum _{j=1}^{t}g_{j}}\cdot H'

с микроэлементом

\mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]

в качестве символического показателя степени . $H$ $G$

Внешний перенос элемента , который порождает , то есть , откуда смежный класс является генератором с порядком , задается как th степень $x\in G\setminus H$ $G/H$ $G=\langle x,H\rangle$ $xH$ $G/H$ $f=n$ $n$

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{1}1^{-1}\cdot x^{n}\cdot 1\cdot H'=x^{n}\cdot H'.

Переводы в нормальные подгруппы будут наиболее важными случаями в дальнейшем, поскольку центральная концепция этой статьи, шаблон Артина , который наделяет деревья потомков дополнительной структурой, состоит из целей и ядер переводов Артина из группы в промежуточные группы между и . Для этих промежуточных групп мы имеем следующую лемму. $G$ $G'\leq H\leq G$ $G$ $G'$

Лемма. Все подгруппы, содержащие коммутаторную подгруппу, нормальны.

Доказательство

Пусть . Если бы не была нормальной подгруппой группы , то для некоторого элемента мы имели бы . Это означало бы существование элементов и таких, что , и, следовательно, коммутатор был бы элементом группы , что противоречит . $G'\leq H\leq G$ $H$ $G$ $x^{-1}Hx\not \subseteq H$ $x\in G\setminus H$ $h\in H$ $y\in G\setminus H$ $x^{-1}hx=y$ $[h,x]=h^{-1}x^{-1}hx=h^{-1}y$ $G\setminus H$ $G'\leq H$

Явные реализации трансферов Артина в простейших ситуациях представлены в следующем разделе.

Вычислительная реализация

Абелианизация типа (п,п)

Пусть — p -группа с абелианизацией элементарного абелева типа . Тогда имеет максимальные подгруппы индекса $G$ $G/G'$ $(p,p)$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p.$

Лемма. В этом частном случае подгруппа Фраттини, определяемая как пересечение всех максимальных подгрупп, совпадает с коммутаторной подгруппой.

Доказательство. Чтобы увидеть это, заметим, что в силу абелева типа коммутатора подгруппа содержит все p -ые степени и, таким образом, мы имеем . $G/G'$ $G'\supset G^{p},$ $\Phi (G)=G^{p}\cdot G'=G'$

Для каждого пусть будет гомоморфизмом переноса Артина. Согласно теореме о базисе Бернсайда группа может быть, таким образом, порождена двумя элементами такими, что Для каждой из максимальных подгрупп , которые также являются нормальными, нам нужен генератор относительно , и генератор трансверсали такой, что $1\leq i\leq p+1$ $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ $G$ $x,y$ $x^{p},y^{p}\in G'.$ $H_{i}$ $h_{i}$ $G'$ $t_{i}$ $(1,t_{i},t_{i}^{2},\ldots ,t_{i}^{p-1})$

{\begin{aligned}H_{i}&=\langle h_{i},G'\rangle \\G&=\langle t_{i},H_{i}\rangle =\bigsqcup _{j=0}^{p-1}t_{i}^{j}H_{i}\end{aligned}}

Удобный выбор дается

(19)\quad {\begin{cases}h_{1}=y\\t_{1}=x\\h_{i}=xy^{i-2}&2\leq i\leq p+1\\t_{i}=y&2\leq i\leq p+1\end{cases}}

Затем для каждого из них мы используем уравнения (16) и (18) для реализации внутренних и внешних переносов: $1\leq i\leq p+1$

{\begin{aligned}(20)\quad T_{i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\cdots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=h_{i}\cdot \left(t_{i}^{-1}h_{i}t_{i}\right)\cdot \left(t_{i}^{-2}h_{i}t_{i}^{2}\right)\cdots \left(t_{i}^{-p+1}h_{i}t_{i}^{p-1}\right)\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(21)\quad T_{i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}

,

Причина в том, что в и $G/H_{i},$ $\mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1$ $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p.$

Полная спецификация трансферов Артина также требует явного знания производных подгрупп . Поскольку является нормальной подгруппой индекса в , возможно определенное общее сокращение по ^[10], но представление должно быть известно для определения генераторов , откуда $T_{i}$ $H_{i}'$ $G'$ $p$ $H_{i}$ $H_{i}'=[H_{i},H_{i}]=[G',H_{i}]=(G')^{h_{i}-1},$ $G$ $G'=\langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle$

(22)\quad H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}=\langle [s_{1},h_{i}],\ldots ,[s_{n},h_{i}]\rangle .

Абелианизация типа (п²,п)

Пусть будет p -группой с абелианизацией неэлементарного абелева типа . Тогда имеет максимальные подгруппы индекса и подгруппы индекса Для каждого пусть $G$ $G/G'$ $(p^{2},p)$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p$ $p+1$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $p^{2}.$ $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$

{\begin{aligned}T_{1,i}:G&\to H_{i}/H_{i}'\\T_{2,i}:G&\to U_{i}/U_{i}'\end{aligned}}

быть гомоморфизмами переноса Артина. Теорема о базисе Бернсайда утверждает, что группа может быть сгенерирована двумя элементами такими, что $G$ $x,y$ $x^{p^{2}},y^{p}\in G'.$

Начнем с рассмотрения первого слоя подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп выберем генератор $H_{i}$

(23)\quad h_{i}=xy^{i-1}

такой, что . Это случаи, когда фактор-группа является циклической порядка . Однако для выделенной максимальной подгруппы , для которой фактор-группа является бициклической типа , нам нужны два генератора: $H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle$ $H_{i}/G'$ $p^{2}$ $H_{p+1}$ $H_{p+1}/G'$ $(p,p)$

(24)\quad {\begin{cases}h_{p+1}=y\\h_{0}=x^{p}\end{cases}}

такой, что . Далее, генератор трансверсали должен быть задан таким образом, что , для каждого . Удобно определить $H_{p+1}=\langle h_{p+1},h_{0},G'\rangle$ $t_{i}$ $G=\langle t_{i},H_{i}\rangle$ $1\leq i\leq p+1$

(25)\quad {\begin{cases}t_{i}=y&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\end{cases}}

Тогда для каждого имеем внутренние и внешние переносы: $1\leq i\leq p+1$

{\begin{aligned}(26)\quad T_{1,i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(27)\quad T_{1,i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}

так как и . $\mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1$ $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p$

Теперь продолжим рассмотрение второго слоя подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп выберем генератор $U_{i}$

(28)\quad {\begin{cases}u_{1}=y\\u_{i}=x^{p}y^{i-1}&2\leq i\leq p\\u_{p+1}=x^{p}\end{cases}}

такой что . Среди этих подгрупп особенно выделяется подгруппа Фраттини . Единый способ определения генераторов трансверсали такой что , состоит в том, чтобы задать $U_{i}=\langle u_{i},G'\rangle$ $U_{p+1}=\langle x^{p},G'\rangle =G^{p}\cdot G'$ $t_{i},w_{i}$ $G=\langle t_{i},w_{i},U_{i}\rangle$

(29)\quad {\begin{cases}t_{i}=x&1\leq i\leq p\\w_{i}=x^{p}&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\\w_{p+1}=y\end{cases}}

Так как , но с другой стороны и , для , за единственным исключением , получаем следующие выражения для внутреннего и внешнего переносов $\mathrm {ord} (u_{i}U_{i})=1$ $\mathrm {ord} (t_{i}U_{i})=p^{2}$ $\mathrm {ord} (w_{i}U_{i})=p$ $1\leq i\leq p+1$ $\mathrm {ord} (t_{p+1}U_{p+1})=p$

{\begin{aligned}(30)\quad T_{2,i}(u_{i})&=u_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(U_{i})}\cdot U_{i}'=u_{i}^{\sum _{j=0}^{p-1}\sum _{k=0}^{p-1}w_{i}^{j}t_{i}^{k}}\cdot U_{i}'=\prod _{j=0}^{p-1}\prod _{k=0}^{p-1}(w_{i}^{j}t_{i}^{k})^{-1}u_{i}w_{i}^{j}t_{i}^{k}\cdot U_{i}'\\(31)\quad T_{2,i}(t_{i})&=t_{i}^{p^{2}}\cdot U_{i}'\end{aligned}}

исключительно

{\begin{aligned}&(32)\quad T_{2,p+1}\left(t_{p+1}\right)=\left(t_{p+1}^{p}\right)^{1+w_{p+1}+w_{p+1}^{2}+\ldots +w_{p+1}^{p-1}}\cdot U_{p+1}'\\&(33)\quad T_{2,i}(w_{i})=\left(w_{i}^{p}\right)^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot U_{i}'&&1\leq i\leq p+1\end{aligned}}

Для полного определения действия трансферов Артина необходимо знать структуру производных подгрупп . $H_{i}'$ $U_{i}'$

Передача ядер и целей

Пусть будет группой с конечной абелианизацией . Предположим, что обозначает семейство всех подгрупп, которые содержат и, следовательно, обязательно нормальны, занумерованных конечным индексным множеством . Для каждого пусть будет переносом Артина из в абелианизацию . $G$ $G/G'$ $(H_{i})_{i\in I}$ $G'$ $I$ $i\in I$ $T_{i}:=T_{G,H_{i}}$ $G$ $H_{i}/H_{i}'$

Определение. ^[11] Семейство нормальных подгрупп называется типом ядра переноса (TKT) относительно , а семейство абелианизаций (соответственно, их инварианты абелева типа) называется типом целевого переноса (TTT) относительно . Оба семейства также называются мультиплетами , тогда как отдельный компонент будет называться сингулетом . $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{i\in I}$ $G$ $(H_{i})_{i\in I}$ $\tau _{H}(G)=(H_{i}/H_{i}')_{i\in I}$ $G$ $(H_{i})_{i\in I}$

Важные примеры этих концепций приведены в следующих двух разделах.

Абелианизация типа (п,п)

Пусть будет p -группой с абелианизацией элементарного абелева типа . Тогда имеет максимальные подгруппы индекса . Для пусть обозначает гомоморфизм переноса Артина. $G$ $G/G'$ $(p,p)$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p$ $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$ $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$

Определение. Семейство нормальных подгрупп называется типом ядра переноса (TKT) относительно . $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{1\leq i\leq p+1}$ $G$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$

Замечание. Для краткости TKT отождествляется с мультиплетом , целые компоненты которого задаются как $(\varkappa (i))_{1\leq i\leq p+1}$

\varkappa (i)={\begin{cases}0&\ker(T_{i})=G\\j&\ker(T_{i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}

Здесь мы учитываем, что каждое ядро переноса должно содержать коммутационную подгруппу , поскольку цель переноса абелева. Однако минимальный случай не может иметь место. $\ker(T_{i})$ $G'$ $G$ $H_{i}/H_{i}'$ $\ker(T_{i})=G'$

Замечание. Перенумерация максимальных подгрупп и переносов посредством перестановки приводит к новому ТКТ относительно , отождествляемому с , где $K_{i}=H_{\pi (i)}$ $V_{i}=T_{\pi (i)}$ $\pi \in S_{p+1}$ $\lambda _{K}(G)=(\ker(V_{i}))_{1\leq i\leq p+1}$ $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ $(\lambda (i))_{1\leq i\leq p+1}$

\lambda (i)={\begin{cases}0&\ker(V_{i})=G\\j&\ker(V_{i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}

Достаточно рассматривать TKT как эквивалентные . Поскольку у нас есть $\lambda _{K}(G)\sim \varkappa _{H}(G)$

K_{\lambda (i)}=\ker(V_{i})=\ker(T_{\pi (i)})=H_{\varkappa (\pi (i))}=K_{{\tilde {\pi }}^{-1}(\varkappa (\pi (i)))},

соотношение между и задается соотношением . Следовательно, является другим представителем орбиты под действием симметрической группы на множестве всех отображений, откуда расширение перестановки определяется соотношением и формально $\lambda$ $\varkappa$ $\lambda ={\tilde {\pi }}^{-1}\circ \varkappa \circ \pi$ $\lambda$ $\varkappa ^{S_{p+1}}$ $\varkappa$ $(\pi ,\mu )\mapsto {\tilde {\pi }}^{-1}\circ \mu \circ \pi$ $S_{p+1}$ $\{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\},$ ${\tilde {\pi }}\in S_{p+2}$ $\pi \in S_{p+1}$ ${\tilde {\pi }}(0)=0,$ $H_{0}=G,K_{0}=G.$

Определение. Орбита любого представителя является инвариантом p -группы и называется ее типом трансферного ядра , кратко TKT. $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p+1}}$ $\varkappa$ $G$

Замечание. Пусть обозначает счетчик всех трансферных ядер , который является инвариантом группы . В 1980 году SM Chang и R. Foote ^[12] доказали, что для любого нечетного простого числа и для любого целого числа существуют метабелевы p -группы, имеющие абелианизацию типа такую, что . Однако для не существует неабелевых -групп с , которые должны быть метабелевыми максимального класса, такими, что . Только элементарная абелева -группа имеет . См. рисунок 5. $\#{\mathcal {H}}_{0}(G):=\#\{1\leq i\leq p+1\mid \varkappa (i)=0\}$ $\ker(T_{i})=G$ $G$ $p$ $0\leq n\leq p+1$ $G$ $G/G'$ $(p,p)$ $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=n$ $p=2$ $2$ $G$ $G/G'\simeq (2,2)$ $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)\geq 2$ $2$ $G=C_{2}\times C_{2}$ $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3$

В следующих конкретных примерах для счетчиков , а также в оставшейся части этой статьи мы используем идентификаторы конечных p -групп из библиотеки SmallGroups HU Besche, B. Eick и EA O'Brien. ^[13]^[14] $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)$

Для , мы имеем $p=3$

$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=0$ для дополнительной специальной группы показателей с TKT (рисунок 6), $G=\langle 27,4\rangle$ $9$ $\varkappa =(1111)$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=1$ для двух групп с ТКТ (рисунки 8 и 9), $G\in \{\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}$ $\varkappa \in \{(0122),(2034)\}$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=2$ для группы с TKT (рисунок 4 в статье о деревьях потомков ), $G=\langle 243,3\rangle$ $\varkappa =(0043)$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3$ для группы с ТКТ (рисунок 6), $G=\langle 81,7\rangle$ $\varkappa =(2000)$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=4$ для дополнительной специальной группы показателей с TKT (рисунок 6). $G=\langle 27,3\rangle$ $3$ $\varkappa =(0000)$

Абелианизация типа (п²,п)

Пусть — p -группа с абелианизацией неэлементарного абелева типа Тогда обладает максимальными подгруппами индекса и подгруппами индекса $G$ $G/G'$ $(p^{2},p).$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p$ $p+1$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $p^{2}.$

Предположение. Предположим

H_{p+1}=\prod _{j=1}^{p+1}U_{j}

является выделенной максимальной подгруппой и

U_{p+1}=\bigcap _{j=1}^{p+1}H_{j}

— выделенная подгруппа индекса , которая, как пересечение всех максимальных подгрупп, является подгруппой Фраттини индекса . $p^{2}$ $\Phi (G)$ $G$

Первый слой

Для каждого обозначим гомоморфизм переноса Артина. $1\leq i\leq p+1$ $T_{1,i}:G\to H_{i}/H_{i}'$

Определение. Семейство называется типом ядра переноса первого слоя относительно и и идентифицируется с , где $\varkappa _{1,H,U}(G)=(\ker(T_{1,i}))_{i=1}^{p+1}$ $G$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $(\varkappa _{1}(i))_{i=1}^{p+1}$

\varkappa _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{1,i})=H_{p+1},\\j&\ker(T_{1,i})=U_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}

Замечание. Здесь мы замечаем, что каждое ядро переноса первого слоя имеет показатель степени относительно и, следовательно, не может совпадать с ни для какого , поскольку является циклическим порядка , тогда как является бициклическим типа . $p$ $G'$ $H_{j}$ $1\leq j\leq p$ $H_{j}/G'$ $p^{2}$ $H_{p+1}/G'$ $(p,p)$

Второй слой

Для каждого пусть будет гомоморфизмом переноса Артина из в абелианизацию . $1\leq i\leq p+1$ $T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'$ $G$ $U_{i}$

Определение. Семейство называется типом ядра переноса второго слоя относительно и и идентифицируется с где $\varkappa _{2,U,H}(G)=(\ker(T_{2,i}))_{i=1}^{p+1}$ $G$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $(\varkappa _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$

\varkappa _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{2,i})=G,\\j&\ker(T_{2,i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}

Тип ядра передачи

Объединяя информацию о двух слоях, мы получаем (полный) тип ядра переноса p -группы относительно и . $\varkappa _{H,U}(G)=(\varkappa _{1,H,U}(G);\varkappa _{2,U,H}(G))$ $G$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$

Замечание. Выделенные подгруппы и являются уникальными инвариантами и не должны перенумеровываться. Однако независимые перенумерации оставшихся максимальных подгрупп и переносы посредством перестановки , а также оставшихся подгрупп индекса и переносы посредством перестановки , приводят к новым ТКТ относительно и , отождествляемым с , где $H_{p+1}$ $U_{p+1}=\Phi (G)$ $G$ $K_{i}=H_{\tau (i)}(1\leq i\leq p)$ $V_{1,i}=T_{1,\tau (i)}$ $\tau \in S_{p}$ $W_{i}=U_{\sigma (i)}(1\leq i\leq p)$ $p^{2}$ $V_{2,i}=T_{2,\sigma (i)}$ $\sigma \in S_{p}$ $\lambda _{1,K,W}(G)=(\ker(V_{1,i}))_{i=1}^{p+1}$ $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ $W_{1},\ldots ,W_{p+1}$ $(\lambda _{1}(i))_{i=1}^{p+1}$

\lambda _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{1,i})=K_{p+1},\\j&\ker(V_{1,i})=W_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1,\end{cases}}

и относительно и , отождествляется с где $\lambda _{2,W,K}(G)=(\ker(V_{2,i}))_{i=1}^{p+1}$ $W_{1},\ldots ,W_{p+1}$ $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ $(\lambda _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$

\lambda _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{2,i})=G,\\j&\ker(V_{2,i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}

Достаточно рассматривать TKT и как эквивалентные . Поскольку у нас есть $\lambda _{1,K,W}(G)\sim \varkappa _{1,H,U}(G)$ $\lambda _{2,W,K}(G)\sim \varkappa _{2,U,H}(G)$

{\begin{aligned}W_{\lambda _{1}(i)}&=\ker(V_{1,i})=\ker(T_{1,{\hat {\tau }}(i)})=U_{\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i))}=W_{{\tilde {\sigma }}^{-1}(\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i)))}\\K_{\lambda _{2}(i)}&=\ker(V_{2,i})=\ker(T_{2,{\hat {\sigma }}(i)})=H_{\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i))}=K_{{\tilde {\tau }}^{-1}(\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i)))}\end{aligned}}

отношения между и , и и , задаются формулами $\lambda _{1}$ $\varkappa _{1}$ $\lambda _{2}$ $\varkappa _{2}$

\lambda _{1}={\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \varkappa _{1}\circ {\hat {\tau }}

\lambda _{2}={\tilde {\tau }}^{-1}\circ \varkappa _{2}\circ {\hat {\sigma }}

Следовательно, является еще одним представителем орбиты под действием : $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2})$ $\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}$ $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$

((\sigma ,\tau ),(\mu _{1},\mu _{2}))\mapsto \left({\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \mu _{1}\circ {\hat {\tau }},{\tilde {\tau }}^{-1}\circ \mu _{2}\circ {\hat {\sigma }}\right)

произведения двух симметрических групп на множестве всех пар отображений , где расширения и перестановки определяются посредством и , и формально и $S_{p}\times S_{p}$ $\{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\}$ ${\hat {\pi }}\in S_{p+1}$ ${\tilde {\pi }}\in S_{p+2}$ $\pi \in S_{p}$ ${\hat {\pi }}(p+1)={\tilde {\pi }}(p+1)=p+1$ ${\tilde {\pi }}(0)=0$ $H_{0}=K_{0}=G,K_{p+1}=H_{p+1},U_{0}=W_{0}=H_{p+1},$ $W_{p+1}=U_{p+1}=\Phi (G).$

Определение. Орбита любого представителя является инвариантом p -группы и называется ее типом трансферного ядра , кратко TKT. $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}$ $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$ $G$

Связи между слоями

Перенос Артина представляет собой композицию индуцированного переноса из в и переноса Артина $T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'$ $T_{2,i}={\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j}$ ${\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}:H_{j}/H_{j}'\to U_{i}/U_{i}'$ $H_{j}$ $U_{i}$ $T_{1,j}:G\to H_{j}/H_{j}'.$

Есть два варианта относительно промежуточных подгрупп

Для подгрупп только выделенная максимальная подгруппа является промежуточной подгруппой. $U_{1},\ldots ,U_{p}$ $H_{p+1}$
Для подгруппы Фраттини все максимальные подгруппы являются промежуточными подгруппами. $U_{p+1}=\Phi (G)$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$

Это накладывает ограничения на тип ядра передачи второго уровня, поскольку

\varkappa _{2}(G)

\ker(T_{2,i})=\ker({\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j})\supset \ker(T_{1,j}),

и таким образом

\forall i\in \{1,\ldots ,p\}:\qquad \ker(T_{2,i})\supset \ker(T_{1,p+1}).

Но даже

\ker(T_{2,p+1})\supset \left\langle \bigcup _{j=1}^{p+1}\ker(T_{1,j})\right\rangle .

Кроме того, когда с элементом порядка относительно , может принадлежать только в том случае, если его степень содержится в , для всех промежуточных подгрупп , и, таким образом: , для некоторых , обеспечивает сингулярность первого слоя TKT , но , для некоторых , даже определяет полный мультиплет первого слоя TKT , то есть , для всех .

G=\langle x,y\rangle

x^{p}\notin G',y^{p}\in G',

xy^{k-1}(1\leq k\leq p)

p^{2}

G'

\ker(T_{2,i})

p

\ker(T_{1,j})

U_{i}<H_{j}<G

xy^{k-1}\in \ker(T_{2,i})

1\leq i,k\leq p

\varkappa _{1}(p+1)=p+1

xy^{k-1}\in \ker(T_{2,p+1})

1\leq k\leq p

\varkappa _{1}=((p+1)^{p+1})

\varkappa _{1}(j)=p+1

1\leq j\leq p+1

ФакторЧерезАбелианизацию — Рисунок 1: Факторизация посредством абелианизации.

Наследование от частных

Общей чертой всех отношений родитель-потомок между конечными p -группами является то, что родитель является фактором потомка по подходящей нормальной подгруппе. Таким образом, эквивалентное определение можно дать, выбрав эпиморфизм с помощью Тогда группу можно рассматривать как родителя потомка . $\pi (G)$ $G/N$ $G$ $N.$ $\phi :G\to {\tilde {G}}$ $\ker(\phi )=N.$ ${\tilde {G}}=\phi (G)$ $G$

В следующих разделах эта точка зрения будет принята, как правило, для произвольных групп, а не только для конечных p -групп.

Прохождение через абелианизацию

Предложение. Предположим, что — абелева группа, а — гомоморфизм. Пусть обозначает каноническое проекционное отображение. Тогда существует единственный гомоморфизм, такой что и (см. рисунок 1).

A

\phi :G\to A

\omega :G\to G/G'

{\tilde {\phi }}:G/G'\to A

\phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega

\ker({\tilde {\phi }})=\ker(\phi )/G'

Доказательство. Это утверждение является следствием второго следствия в статье об индуцированном гомоморфизме . Тем не менее, мы даем независимое доказательство для настоящей ситуации: единственность является следствием условия , которое подразумевает для любого имеем: ${\tilde {\phi }}$ $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega ,$ $x\in G$

{\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(\omega (x))=({\tilde {\phi }}\circ \omega )(x)=\phi (x),

${\tilde {\phi }}$ является гомоморфизмом, пусть будет произвольным, тогда: $x,y\in G$

{\begin{aligned}{\tilde {\phi }}\left(xG'\cdot yG'\right)&={\tilde {\phi }}((xy)G')=\phi (xy)=\phi (x)\cdot \phi (y)={\tilde {\phi }}(xG')\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\\phi ([x,y])&=\phi \left(x^{-1}y^{-1}xy\right)=\phi (x^{-1})\phi (y^{-1})\phi (x)\phi (y)=[\phi (x),\phi (y)]=1&&A{\text{ is abelian.}}\end{aligned}}

Таким образом, коммутаторная подгруппа , и это окончательно показывает, что определение не зависит от представителя смежного класса, $G'\subset \ker(\phi )$ ${\tilde {\phi }}$

{\begin{aligned}xG'=yG'&\Longrightarrow y^{-1}x\in G'\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow 1=\phi (y^{-1}x)={\tilde {\phi }}(y^{-1}xG')={\tilde {\phi }}(yG')^{-1}\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\&\Longrightarrow {\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(yG')\end{aligned}}

EpiAndDerivedQuotients — Рисунок 2: Эпиморфизмы и производные факторы.

ТТТ синглеты

Предложение. Предположим , что , как и выше, и — образ подгруппы Коммутант группы является образом коммутанта группы Следовательно, индуцирует единственный эпиморфизм , и, таким образом, является фактором Более того, если , то отображение является изоморфизмом (см. рисунок 2).

G,{\tilde {G}},\phi

{\tilde {H}}=\phi (H)

H.

{\tilde {H}}

H.

\phi

{\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'

{\tilde {H}}/{\tilde {H}}'

H/H'.

\ker(\phi )\leq H'

{\tilde {\phi }}

Доказательство. Это утверждение является следствием Основной теоремы в статье об индуцированном гомоморфизме . Тем не менее, независимое доказательство дано следующим образом: во-первых, образ коммутанта есть

\phi (H')=\phi ([H,H])=\phi (\langle [u,v]|u,v\in H\rangle )=\langle [\phi (u),\phi (v)]\mid u,v\in H\rangle =[\phi (H),\phi (H)]=\phi (H)'={\tilde {H}}'.

Во-вторых, эпиморфизм может быть ограничен эпиморфизмом . Согласно предыдущему разделу, составной эпиморфизм факторизуется посредством однозначно определенного эпиморфизма, такого что . Следовательно, мы имеем . Более того, ядро явно задается как . $\phi$ $\phi |_{H}:H\to {\tilde {H}}$ $(\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}):H\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ $H/H'$ ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ ${\tilde {\phi }}\circ \omega _{H}=\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})$ ${\tilde {\phi }}$ $\ker({\tilde {\phi }})=(H'\cdot \ker(\phi ))/H'$

Наконец, если , то — изоморфизм, поскольку . $\ker(\phi )\leq H'$ ${\tilde {\phi }}$ $\ker({\tilde {\phi }})=H'/H'=1$

Определение. ^[15] В связи с результатами настоящего раздела имеет смысл определить частичный порядок на множестве инвариантов абелевых типов, положив , когда , и , когда . ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\preceq H/H'$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'=H/H'$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq H/H'$

EpiAndArtinТрансферы — Рисунок 3: Эпиморфизмы и переносы Артина.

ТКТ синглеты

Предложение. Предположим, что являются такими, как указано выше, и является образом подгруппы конечного индекса Пусть и будут переносами Артина. Если , то образ левой трансверсали в является левой трансверсалью в , и Более того, если то (см. рисунок 3).

G,{\tilde {G}},\phi

{\tilde {H}}=\phi (H)

n.

T_{G,H}:G\to H/H'

T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'

\ker(\phi )\leq H

H

G

{\tilde {H}}

{\tilde {G}}

\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).

\ker(\phi )\leq H'

\phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})

Доказательство. Пусть — левая трансверсаль в . Тогда имеем несвязное объединение: $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$

G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.

Рассмотрим образ этого непересекающегося союза, который не обязательно является непересекающимся,

\phi (G)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),

и пусть Имеем: $j,k\in \{1,\ldots ,n\}.$

{\begin{aligned}\phi (g_{j})\phi (H)=\phi (g_{k})\phi (H)&\Longleftrightarrow \phi (H)=\phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{k})\phi (H)=\phi (g_{j}^{-1}g_{k})\phi (H)\\&\Longleftrightarrow \phi (g_{j}^{-1}g_{k})=\phi (h)&&{\text{for some }}h\in H\\&\Longleftrightarrow \phi (h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k})=1\\&\Longleftrightarrow h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k}\in \ker(\phi )\subset H\\&\Longleftrightarrow g_{j}^{-1}g_{k}\in H\\&\Longleftrightarrow j=k\\\end{aligned}}

Пусть — эпиморфизм из предыдущего предложения. Имеем: ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$

{\tilde {\phi }}(T_{G,H}(x))={\tilde {\phi }}\left(\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\right)=\prod _{i=1}^{n}\phi \left(g_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}\phi (x)\phi (g_{i})\cdot \phi (H').

Так как , правая часть равна , если является левой трансверсалью в , что верно при Поэтому, Следовательно, подразумевается включение $\phi (H')=\phi (H)'={\tilde {H}}'$ $T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}(\phi (x))$ $(\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))$ ${\tilde {H}}$ ${\tilde {G}}$ $\ker(\phi )\subset H.$ ${\tilde {\phi }}\circ T_{G,H}=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi .$ $\ker(\phi )\subset H$

\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).

Наконец, если , то по предыдущему предложению — изоморфизм. Используя его обратное, получаем , что доказывает $\ker(\phi )\subset H'$ ${\tilde {\phi }}$ $T_{G,H}={\tilde {\phi }}^{-1}\circ T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi$

\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H}).

Объединяя включения, имеем:

{\begin{aligned}{\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H})\end{cases}}&\Longrightarrow {\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\end{cases}}\\[8pt]&\Longrightarrow \phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\end{aligned}}

Определение. ^[15] Принимая во внимание результаты настоящего раздела, мы можем определить частичный порядок ядер переноса, установив , когда $\ker(T_{G,H})\preceq \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})$ $\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).$

Мультиплеты TTT и TKT

Предположим , что такие же, как и выше, и что и изоморфны и конечны. Пусть обозначает семейство всех подгрупп, содержащих (что делает его конечным семейством нормальных подгрупп). Для каждого пусть: $G,{\tilde {G}},\phi$ $G/G'$ ${\tilde {G}}/{\tilde {G}}'$ $(H_{i})_{i\in I}$ $G'$ $i\in I$

{\begin{aligned}{\tilde {H_{i}}}&:=\phi (H_{i})\\T_{i}&:=T_{G,H_{i}}:G\to H_{i}/H_{i}'\\{\tilde {T_{i}}}&:=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H_{i}}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H_{i}}}/{\tilde {H_{i}}}'\end{aligned}}

Возьмем любое непустое подмножество . Тогда удобно определить , называемое (частичным) типом ядра переноса (TKT) относительно , и называемое (частичным) типом цели переноса (TTT) относительно . $J$ $I$ $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{j}))_{j\in J}$ $G$ $(H_{j})_{j\in J}$ $\tau _{H}(G)=(H_{j}/H_{j}')_{j\in J},$ $G$ $(H_{j})_{j\in J}$

В силу правил для синглетов, установленных в предыдущих двух разделах, эти мультиплеты TTT и TKT подчиняются следующим фундаментальным законам наследования:

Наследственное право I. Если , то , в том смысле, что , для каждого , и , в том смысле, что , для каждого .

\ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}

\tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})\preceq \tau _{H}(G)

{\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'\preceq H_{j}/H_{j}'

j\in J

\varkappa _{H}(G)\preceq \varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})

\ker(T_{j})\preceq \ker({\tilde {T_{j}}})

j\in J

Закон наследования II. Если , то , в том смысле, что , для каждого , и , в том смысле, что , для каждого .

\ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}'

\tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})=\tau _{H}(G)

{\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'=H_{j}/H_{j}'

j\in J

\varkappa _{H}(G)=\varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})

\ker(T_{j})=\ker({\tilde {T_{j}}})

j\in J

Унаследованные автоморфизмы

Еще одно свойство наследования не касается непосредственно передач Артина, но окажется полезным в приложениях к потомкам деревьев.

Закон наследования III. Предположим, что такие же, как и выше, и если то существует единственный эпиморфизм такой, что . Если то

G,{\tilde {G}},\phi

\sigma \in \mathrm {Aut} (G).

\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )

{\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}

\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi

\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi ),

{\tilde {\sigma }}\in \mathrm {Aut} ({\tilde {G}}).

Доказательство. Используя изоморфизм, определяем: ${\tilde {G}}=\phi (G)\simeq G/\ker(\phi )$

{\begin{cases}{\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}\\{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi )):=\sigma (g)\ker(\phi )\end{cases}}

Сначала мы покажем, что эта карта хорошо определена:

{\begin{aligned}g\ker(\phi )=h\ker(\phi )&\Longrightarrow h^{-1}g\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \sigma (\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \ker(\phi )&&\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1})\sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\sigma (h)\ker(\phi )\end{aligned}}

Тот факт, что является сюръективным, гомоморфным и удовлетворяет , легко проверяется. ${\tilde {\sigma }}$ $\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi$

А если , то инъективность является следствием $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )$ ${\tilde {\sigma }}$

{\begin{aligned}{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi ))=\ker(\phi )&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma ^{-1}(\sigma (g))\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \ker(\phi )&&\sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g\ker(\phi )=\ker(\phi )\end{aligned}}

Пусть — каноническая проекция, тогда существует единственный индуцированный автоморфизм такой, что , то есть, $\omega :G\to G/G'$ ${\bar {\sigma }}\in \mathrm {Aut} (G/G')$ $\omega \circ \sigma ={\bar {\sigma }}\circ \omega$

\forall g\in G:\qquad {\bar {\sigma }}(gG')={\bar {\sigma }}(\omega (g))=\omega (\sigma (g))=\sigma (g)G',

Причина инъекционности заключается в том, что ${\bar {\sigma }}$

\sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=G'\Rightarrow \sigma (g)\in G'\Rightarrow g=\sigma ^{-1}(\sigma (g))\in G',

поскольку является характеристической подгруппой . $G'$ $G$

Определение. называется σ -группой , если существует такая, что индуцированный автоморфизм действует как инверсия на , то есть для всех $G$ $\sigma \in \mathrm {Aut} (G)$ $G/G'$

g\in G:\qquad \sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'\Longleftrightarrow \sigma (g)g\in G'.

Закон наследования III утверждает, что если является σ −группой и , то также является σ −группой, требуемый автоморфизм равен . Это можно увидеть, применив эпиморфизм к уравнению , которое дает $G$ $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )$ ${\tilde {G}}$ ${\tilde {\sigma }}$ $\phi$ $\sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'$

\forall x=\phi (g)\in \phi (G)={\tilde {G}}:\qquad {\tilde {\sigma }}(x){\tilde {G}}'={\tilde {\sigma }}(\phi (g)){\tilde {G}}'=\phi (\sigma (g))\phi (G')=\phi (g^{-1})\phi (G')=\phi (g)^{-1}{\tilde {G}}'=x^{-1}{\tilde {G}}'.

Критерии стабилизации

В этом разделе результаты, касающиеся наследования ТТТ и ТКТ от частных, полученные в предыдущем разделе, применяются к простейшему случаю, который характеризуется следующим:

Предположение. Родитель группы — это фактор по последнему нетривиальному члену нижнего центрального ряда , где обозначает класс нильпотентности . Соответствующий эпиморфизм из на является канонической проекцией, ядро которой задается как . $\pi (G)$ $G$ $\pi (G)=G/N$ $G$ $N=\gamma _{c}(G)\triangleleft G$ $G$ $c$ $G$ $\pi$ $G$ $\pi (G)=G/\gamma _{c}(G)$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)$

При этом предположении ядра и цели трансферов Артина оказываются совместимыми с родительско-потомковыми отношениями между конечными p -группами.

Критерий совместимости. Пусть будет простым числом. Предположим, что — неабелева конечная p -группа ступени нильпотентности . Тогда TTT и TKT и его родителя сравнимы в том смысле, что и . $p$ $G$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 2$ $G$ $\pi (G)$ $\tau (\pi (G))\preceq \tau (G)$ $\varkappa (G)\preceq \varkappa (\pi (G))$

Простая причина этого факта заключается в том, что для любой подгруппы мы имеем , поскольку . $G'\leq H\leq G$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{2}(G)=G'\leq H$ $c\geq 2$

В оставшейся части этого раздела предполагается, что исследуемые группы являются конечными метабелевыми p -группами с элементарной абелианизацией ранга , то есть типа . $G$ $G/G'$ $2$ $(p,p)$

Частичная стабилизация для максимального класса. Метабелева p -группа кокласса и класса нильпотентности разделяет последние компоненты TTT и TKT со своим родителем . Более конкретно, для нечетных простых чисел , мы имеем и для . ^[16] $G$ $\mathrm {cc} (G)=1$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 3$ $p$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$ $p\geq 3$ $\tau (G)_{i}=(p,p)$ $\varkappa (G)_{i}=0$ $2\leq i\leq p+1$

Этот критерий обусловлен тем, что влечет , ^[17] для последних максимальных подгрупп . $c\geq 3$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{3}(G)=H_{i}'$ $p$ $H_{2},\ldots ,H_{p+1}$ $G$

Условие действительно необходимо для частичного критерия стабилизации. Для нечетных простых чисел дополнительная специальная -группа порядка и экспоненты имеет только класс нильпотентности, а последние компоненты ее TKT строго меньше соответствующих компонентов TKT ее родителя , который является элементарной абелевой -группой типа . ^[16] Для обе дополнительные специальные -группы кокласса и класса , обычная группа кватернионов с TKT и диэдральная группа с TKT , имеют строго меньшие последние две компоненты своих TKT, чем их общий родитель с TKT . $c\geq 3$ $p\geq 3$ $p$ $G=G_{0}^{3}(0,1)$ $p^{3}$ $p^{2}$ $c=2$ $p$ $\varkappa =(1^{p+1})$ $\varkappa =(0^{p+1})$ $\pi (G)$ $p$ $(p,p)$ $p=2$ $2$ $1$ $c=2$ $G=G_{0}^{3}(0,1)$ $\varkappa =(123)$ $G=G_{0}^{3}(0,0)$ $\varkappa =(023)$ $\pi (G)=C_{2}\times C_{2}$ $\varkappa =(000)$

Полная стабилизация для максимального класса и положительного дефекта.

Метабелева p -группа кокласса и класса нильпотентности , то есть с индексом нильпотентности , разделяет все компоненты TTT и TKT со своим родителем , при условии, что он имеет положительный дефект коммутативности . ^[11] Заметим, что подразумевает , и мы имеем для всех . ^[16] $G$ $\mathrm {cc} (G)=1$ $c=m-1=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ $m\geq 5$ $p+1$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$ $k=k(G)\geq 1$ $k\geq 1$ $p\geq 3$ $\varkappa (G)_{i}=0$ $1\leq i\leq p+1$

Это утверждение можно увидеть, заметив, что условия и влекут , [ ^17] для всех максимальных подгрупп . $m\geq 5$ $k\geq 1$ $\ker(\pi )=\gamma _{m-1}(G)\leq \gamma _{m-k}(G)\leq H_{i}'$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $G$

Условие действительно необходимо для полной стабилизации. Чтобы увидеть это, достаточно рассмотреть только первый компонент TKT. Для каждого класса нильпотентности существуют (по крайней мере) две группы с TKT и с TKT , обе с дефектом , где первый компонент их TKT строго меньше первого компонента TKT их общего родителя . $k\geq 1$ $c\geq 4$ $G=G_{0}^{c+1}(0,1)$ $\varkappa =(10^{p})$ $G=G_{0}^{c+1}(1,0)$ $\varkappa =(20^{p})$ $k=0$ $\varkappa =(0^{p+1})$ $\pi (G)=G_{0}^{c}(0,0)$

Частичная стабилизация для немаксимального класса.

Пусть будет фиксировано. Метабелева 3-группа с абелианизацией , коклассом и классом нильпотентности разделяет последние два (из четырех) компонента TTT и TKT со своим родителем . $p=3$ $G$ $G/G'\simeq (3,3)$ $\mathrm {cc} (G)\geq 2$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$

Этот критерий обосновывается следующим соображением: если , то ^[17] для последних двух максимальных подгрупп группы . $c\geq 4$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{4}(G)\leq H_{i}'$ $H_{3},H_{4}$ $G$

Это условие действительно неизбежно для частичной стабилизации, поскольку существует несколько -групп класса , например, с идентификаторами SmallGroups , такие, что последние два компонента их TKT строго меньше последних двух компонентов TKT их общего родителя . $c\geq 4$ $3$ $c=3$ $G\in \{\langle 243,3\rangle ,\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}$ $\varkappa \in \{(0043),(0122),(2034)\}$ $\varkappa =(0000)$ $\pi (G)=G_{0}^{3}(0,0)$

Полная стабилизация для немаксимального класса и циклического центра.

Опять же, пусть будет зафиксировано. Метабелева 3-группа с абелианизацией , коклассом , классом нильпотентности и циклическим центром разделяет все четыре компонента TTT и TKT со своим родителем . $p=3$ $G$ $G/G'\simeq (3,3)$ $\mathrm {cc} (G)\geq 2$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ $\zeta _{1}(G)$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$

Причина в том, что из-за циклического центра мы имеем ^[17] для всех четырех максимальных подгрупп . $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)\leq H_{i}'$ $H_{1},\ldots ,H_{4}$ $G$

Условие циклического центра действительно необходимо для полной стабилизации, поскольку для группы с бициклическим центром возможны две возможности. Либо также является бициклической, откуда никогда не содержится в , либо является циклической, но никогда не содержится в . $\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)$ $\gamma _{c}(G)$ $H_{2}'$ $\gamma _{c}(G)<\zeta _{1}(G)$ $H_{1}'$

Подводя итог, можно сказать, что последние четыре критерия подтверждают тот факт, что трансферы Артина представляют собой великолепный инструмент для классификации конечных p -групп.

В следующих разделах будет показано, как эти идеи могут быть применены для наделения деревьев потомков дополнительной структурой и для поиска определенных групп в деревьях потомков путем поиска шаблонов, определенных ядрами и целями трансферов Артина. Эти стратегии распознавания шаблонов полезны в чистой теории групп и в алгебраической теории чисел .

TreeCoclass2RootQ — Рисунок 4: Наделение дерева потомков информацией о трансферах Артина.

Структурированные деревья потомков (SDT)

В этом разделе используется терминология деревьев потомков в теории конечных p -групп. На рисунке 4 дерево потомков с умеренной сложностью выбрано в качестве примера, чтобы продемонстрировать, как передачи Артина обеспечивают дополнительную структуру для каждой вершины дерева. Точнее, базовым простым числом является , а выбранное дерево потомков на самом деле является деревом коклассов , имеющим уникальную бесконечную основную линию, ветви глубины и строгую периодичность длины, начинающуюся с ветви . Начальный предпериод состоит из ветвей и с исключительной структурой. Ветви и образуют примитивный период, такой что , для нечетных , и , для четных . Корнем дерева является метабелева -группа с идентификатором , то есть группа порядка и с подсчетным числом . Этот корень не является устоявшимся коклассом , откуда все его дерево потомков имеет значительно более высокую сложность, чем кокласс- поддерево , первые шесть ветвей которого изображены на диаграмме рисунка 4. Дополнительную структуру можно рассматривать как своего рода систему координат, в которую вложено дерево. Горизонтальная ось абсцисс помечена типом ядра переноса (TKT) , а вертикальная ось ординат помечена одним компонентом типа цели переноса (TTT). Вершины дерева нарисованы таким образом, что члены периодических бесконечных последовательностей образуют вертикальный столбец, разделяющий общий TKT . С другой стороны, метабелевы группы фиксированного порядка, представленные вершинами глубины не более , образуют горизонтальную строку, разделяющую общий первый компонент TTT . (Чтобы воспрепятствовать любым неверным интерпретациям, мы явно указываем, что первый компонент TTT неметабелевых групп или метабелевых групп, представленных вершинами глубины , обычно меньше ожидаемого из-за явлений стабилизации!) TTT всех групп в этом дереве, представленном большим полным диском, который указывает на бициклический центр типа , задается как с изменяющимся первым компонентом , почти гомоциклической абелевой -группой порядка и фиксированными дополнительными компонентами и , где инварианты абелева типа $p=3$ $3$ $2$ ${\mathcal {B}}(7)$ ${\mathcal {B}}(5)$ ${\mathcal {B}}(6)$ ${\mathcal {B}}(7)$ ${\mathcal {B}}(8)$ ${\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(7)$ $j\geq 9$ ${\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(8)$ $j\geq 10$ $3$ $R=\langle 243,6\rangle$ $|R|=3^{5}=243$ $6$ ${\mathcal {T}}(R)$ $2$ ${\mathcal {T}}^{2}(R)$ $\varkappa$ $\tau (1)$ $1$ $2$ $(3,3)$ $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]$ $\tau (1)=A(3,c)$ $3$ $3^{c}$ $\tau (2)=(3,3,3){\hat {=}}(1^{3})$ $\tau (3)=\tau (4)=(9,3){\hat {=}}(21)$ записываются либо как порядки циклических компонентов, либо как их -логарифмы с показателями степени, указывающими итерацию. (Последнее обозначение используется на рисунке 4.) Поскольку кокласс всех групп в этом дереве равен , связь между порядком и классом нильпотентности задается соотношением . $3$ $2$ $3^{n}$ $c=n-2$

Распознавание образов

Для поиска определенной группы в дереве потомков путем поиска шаблонов, определяемых ядрами и целями трансферов Артина, часто бывает достаточно уменьшить количество вершин в ветвях плотного дерева с высокой сложностью путем отсеивания групп с желаемыми специальными свойствами, например

фильтрация -групп, $\sigma$
исключение набора определенных типов ядер передачи,
отменяя все неметабелевы группы (обозначенные маленькими контурными квадратами на рис. 4),
удаление метабелевых групп с циклическим центром (обозначенных маленькими полными дисками на рис. 4),
отсекание вершин, расстояние которых от основной линии ( глубина ) превышает некоторую нижнюю границу,
объединение нескольких различных критериев отсева.

Результат такой процедуры просеивания называется обрезанным деревом потомков относительно желаемого набора свойств. Однако в любом случае следует избегать того, чтобы основная линия дерева коклассов была устранена, поскольку результатом будет несвязный бесконечный набор конечных графов вместо дерева. Например, не рекомендуется ни исключать все -группы на рисунке 4, ни исключать все группы с TKT . На рисунке 4 большой прямоугольник с двойным контуром окружает обрезанное дерево коклассов , где многочисленные вершины с TKT полностью устранены. Это было бы, например, полезно для поиска -группы с TKT и первым компонентом TTT. В этом случае результатом поиска была бы даже уникальная группа. Мы более подробно рассмотрим эту идею в следующем подробном обсуждении важного примера. $\sigma$ $\varkappa =(0122)$ ${\mathcal {T}}_{\ast }^{2}(R)$ $\varkappa =(2122)$ $\sigma$ $\varkappa =(1122)$ $\tau (1)=(43)$

Исторический пример

Самый старый пример поиска конечной p -группы с помощью стратегии распознавания образов с помощью трансферов Артина относится к 1934 году, когда А. Шольц и О. Таусский ^[18] попытались определить группу Галуа башни поля Гильберта -класса , то есть максимальное неразветвленное про- расширение , комплексного квадратичного числового поля Им фактически удалось найти максимальный метабелев фактор , то есть группу Галуа второго поля -класса Гильберта . Однако потребовались годы, прежде чем М. Р. Буш и Д. К. Майер в 2012 году предоставили первое строгое доказательство ^[15] того, что (потенциально бесконечная) группа -башни совпадает с конечной -группой производной длины , и, таким образом, -башня имеет ровно три этапа, останавливаясь на третьем поле -класса Гильберта . $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)|K)$ $3$ $3$ $\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}}).$ $Q=G/G''=\mathrm {G} _{3}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{2}(K)|K)$ $G$ $3$ $\mathrm {F} _{3}^{2}(K)$ $K$ $78$ $3$ $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)$ $3$ $\mathrm {G} _{3}^{3}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{3}(K)|K)$ $\mathrm {dl} (G)=3$ $3$ $K$ $3$ $\mathrm {F} _{3}^{3}(K)$ $K$

Таблица 1: Возможные частные P _c группы G из 3 башен K ^[15]
с	порядок P _c	Идентификатор SmallGroups P _c	ТКТ П _с $\varkappa$	ТТТ из P _c $\tau$	ν	μ	числа потомков P _c
$1$	$9$	$\langle 9,2\rangle$	$(0000)$	$[(1)(1)(1)(1)]$	$3$	$3$	$3/2;3/3;1/1$
$2$	$27$	$\langle 27,3\rangle$	$(0000)$	$[(1^{2})(1^{2})(1^{2})(1^{2})]$	$2$	$4$	$4/1;7/5$
$3$	$243$	$\langle 243,8\rangle$	$(2034)$	$[(21)(21)(21)(21)]$	$1$	$3$	$4/4$
$4$	$729$	$\langle 729,54\rangle$	$(2034)$	$[(21)(2^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3$
$5$	$2187$	$\langle 2187,302\rangle$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,306\rangle$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,303\rangle$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$4$	$5/2$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;2$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;6$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$3$	$4/4$
$6$	$6561$	$\langle 2187,303\rangle -\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$1$	$4$	$7/3$
$6$	$19683$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3$

Поиск выполняется с помощью алгоритма генерации p -групп MF Newman ^[19] и EA O'Brien ^[20] . Для инициализации алгоритма необходимо определить два основных инварианта. Во-первых, ранг генератора p -групп , которые нужно построить. Здесь мы имеем и задается рангом -класса квадратичного поля . Во-вторых, инварианты абелева типа группы -класса . Эти два инварианта указывают корень дерева потомков, которое будет построено последовательно. Хотя алгоритм генерации p -групп разработан для использования определения родитель-потомок с помощью нижнего экспоненциального p центрального ряда, его можно подогнать под определение с помощью обычного нижнего центрального ряда. В случае элементарной абелевой p -группы в качестве корня разница не очень велика. Поэтому мы должны начать с элементарной абелевой -группы ранга два, которая имеет идентификатор SmallGroups , и построить дерево потомков . Мы делаем это, повторяя алгоритм генерации p -группы, выбирая подходящих способных потомков предыдущего корня в качестве следующего корня, всегда выполняя приращение класса нильпотентности на единицу. $d$ $p=3$ $d=r_{3}(K)=d(\mathrm {Cl} _{3}(K))$ $3$ $K$ $3$ $\mathrm {Cl} _{3}(K)\simeq (1^{2})$ $K$ $3$ $\langle 9,2\rangle$ ${\mathcal {T}}(\langle 9,2\rangle )$

Как объяснялось в начале раздела Распознавание образов , мы должны обрезать дерево потомков относительно инвариантов TKT и TTT группы -башни , которые определяются арифметикой поля как (ровно две неподвижные точки и нет транспонирования) и . Кроме того, любое частное от должно быть -группой, что обеспечивается требованиями теории чисел для квадратичного поля . $3$ $G$ $K$ $\varkappa \in \{(2334),(2434)\}$ $\tau =[(21)(32)(21)(21)]$ $G$ $\sigma$ $K$

Корень имеет только одного способного потомка типа . В терминах класса нильпотентности, является классом- частным и является классом- частным . Поскольку последний имеет ядерный ранг два, происходит бифуркация , где первый компонент может быть устранен критерием стабилизации для TKT всех -групп максимального класса. $\langle 9,2\rangle$ $\langle 27,3\rangle$ $(1^{2})$ $\langle 9,2\rangle$ $1$ $G/\gamma _{2}(G)$ $G$ $\langle 27,3\rangle$ $2$ $G/\gamma _{3}(G)$ $G$ ${\mathcal {T}}(\langle 27,3\rangle )={\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,3\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )$ $\varkappa =(\ast 000)$ $3$

Из-за наследуемого свойства TKT только единственный способный потомок квалифицируется как класс- частное . Существует только одна способная -группа среди потомков . Это класс- частное и имеет ядерный ранг два. $\langle 243,8\rangle$ $3$ $G/\gamma _{4}(G)$ $G$ $\sigma$ $\langle 729,54\rangle$ $\langle 243,8\rangle$ $4$ $G/\gamma _{5}(G)$ $G$

Это вызывает существенную бифуркацию в двух поддеревьях, принадлежащих разным графам коклассов и . Первое содержит метабелев фактор с двумя возможностями , которые не сбалансированы с рангом отношения, большим, чем ранг генератора. Последнее состоит полностью из неметабелевых групп и дает искомую группу -башни как одну из двух групп Шура и с . ${\mathcal {T}}(\langle 729,54\rangle )={\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,54\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,54\rangle )$ ${\mathcal {G}}(3,2)$ ${\mathcal {G}}(3,3)$ $Q=G/G''$ $G$ $Q\in \{\langle 2187,302\rangle ,\langle 2187,306\rangle \}$ $r=3>2=d$ $3$ $G$ $\sigma$ $\langle 729,54\rangle -\#2;2$ $\langle 729,54\rangle -\#2;6$ $r=2=d$

Наконец, критерий завершения достигается в способных вершинах и , поскольку TTT слишком велико и будет даже увеличиваться дальше, никогда не возвращаясь к . Полный процесс поиска визуализирован в Таблице 1, где для каждого из возможных последовательных p -частных группы -башни класс нильпотентности обозначен как , ядерный ранг как , а ранг p -мультипликатора как . $\langle 2187,303\rangle -\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,2)$ $\langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,3)$ $\tau =[(21)(3^{2})(21)(21)]>[(21)(32)(21)(21)]$ $[(21)(32)(21)(21)]$ $P_{c}=G/\gamma _{c+1}(G)$ $3$ $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}})$ $c=\mathrm {cl} (P_{c})$ $\nu =\nu (P_{c})$ $\mu =\mu (P_{c})$

Коммутаторное исчисление

В этом разделе наглядно показано, как можно использовать исчисление коммутаторов для явного определения ядер и целей трансферов Артина. В качестве конкретного примера мы возьмем метабелевы -группы с бициклическим центром, которые представлены большими полными дисками в качестве вершин диаграммы дерева коклассов на рисунке 4. Они образуют десять периодических бесконечных последовательностей , четыре, соответственно, шесть, для четного, соответственно, нечетного класса нильпотентности , и могут быть охарактеризованы с помощью параметризованного полициклического представления мощности коммутатора : $3$ $c$

1 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где — класс нильпотентности, — порядок, — параметры. $c\geq 5$ $3^{n}$ $n=c+2$ $0\leq w\leq 1,-1\leq z\leq 1$

Тип цели переноса (TTT) группы зависит только от класса нильпотентности , не зависит от параметров и равномерно задается . Это явление называется поляризацией , точнее униполяризацией , ^[11] на первом компоненте. $G=G^{c,n}(z,w)$ $c$ $w,z$ $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]$

Тип ядра переноса (TKT) группы не зависит от класса нильпотентности , но зависит от параметров и задается как c.18, , для (основной группы), H.4, , для (двух способных групп), E.6, , для (терминальной группы) и E.14, , для (двух терминальных групп). Для четного класса нильпотентности две группы типов H.4 и E.14, которые отличаются только знаком параметра , изоморфны. $G=G^{c,n}(z,w)$ $c$ $w,z$ $\varkappa =(0122)$ $w=z=0$ $\varkappa =(2122)$ $w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(1122)$ $w=1,z=0$ $\varkappa \in \{(4122),(3122)\}$ $w=1,z=\pm 1$ $z$

Эти утверждения можно вывести с помощью следующих соображений.

В качестве подготовки полезно составить список некоторых коммутаторных соотношений, начиная с тех, что даны в презентации, для и для , что показывает, что бициклический центр задается соотношением . С помощью правильного правила произведения и правильного правила мощности , мы получаем , , и , для . $[a,x]=1$ $a\in \{s_{c},t_{3}\}$ $[a,y]=1$ $a\in \{s_{3},\ldots ,s_{c},t_{3}\}$ $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$ $[a,xy]=[a,y]\cdot [a,x]\cdot [[a,x],y]$ $[a,y^{2}]=[a,y]^{1+y}$ $[s_{2},xy]=s_{3}t_{3}$ $[s_{2},xy^{2}]=s_{3}t_{3}^{2}$ $[s_{j},xy]=[s_{j},xy^{2}]=[s_{j},x]=s_{j+1}$ $j\geq 3$

Максимальные подгруппы берутся аналогично разделу о вычислительной реализации, а именно $G$

{\begin{aligned}H_{1}&=\langle y,G'\rangle \\H_{2}&=\langle x,G'\rangle \\H_{3}&=\langle xy,G'\rangle \\H_{4}&=\langle xy^{2},G'\rangle \\\end{aligned}}

Их производные подгруппы имеют решающее значение для поведения трансферов Артина. Используя общую формулу , где , и где мы знаем, что в настоящей ситуации следует, что $H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}$ $H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle$ $G'=\langle s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\rangle$

{\begin{aligned}H_{1}'&=\left\langle s_{2}^{y-1}\right\rangle =\left\langle t_{3}\right\rangle \\H_{2}'&=\left\langle s_{2}^{x-1},\ldots ,s_{c-1}^{x-1}\right\rangle =\left\langle s_{3},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{3}'&=\left\langle s_{2}^{xy-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{4}'&=\left\langle s_{2}^{xy^{2}-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy^{2}-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3}^{2},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \end{aligned}}

Обратите внимание, что не так уж и абелев, поскольку содержится в центре . $H_{1}$ $H_{1}'=\langle t_{3}\rangle$ $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$

В качестве первого основного результата мы теперь в состоянии определить инварианты абелева типа производных частных:

H_{1}/H_{1}'=\langle y,s_{2},\ldots ,s_{c}\rangle H_{1}'/H_{1}'\simeq A(3,c),

уникальное частное, которое растет с ростом класса нильпотентности , так как для четных и для нечетных , $c$ $\mathrm {ord} (y)=\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}$ $c=2m$ $\mathrm {ord} (y)=3^{m+1},\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}$ $c=2m+1$

{\begin{aligned}H_{2}/H_{2}'&=\langle x,s_{2},t_{3}\rangle H_{2}'/H_{2}'\simeq (3,3,3)\\H_{3}/H_{3}'&=\langle xy,s_{2},t_{3}\rangle H_{3}'/H_{3}'\simeq (9,3)\\H_{4}/H_{4}'&=\langle xy^{2},s_{2},t_{3}\rangle H_{4}'/H_{4}'\simeq (9,3)\end{aligned}}

так как в общем случае , но для , тогда как для и . $\mathrm {ord} (s_{2})=\mathrm {ord} (t_{3})=3$ $\mathrm {ord} (x)=3$ $H_{2}$ $\mathrm {ord} (xy)=\mathrm {ord} (xy^{2})=9$ $H_{3}$ $H_{4}$

Теперь перейдем к ядрам гомоморфизмов переноса Артина . Достаточно исследовать индуцированные переносы и начать с нахождения выражений для образов элементов , которые можно выразить в виде $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ ${\tilde {T}}_{i}:G/G'\to H_{i}/H_{i}'$ ${\tilde {T}}_{i}(gG')$ $gG'\in G/G'$

g\equiv x^{j}y^{\ell }{\pmod {G'}},\qquad j,\ell \in \{-1,0,1\}.

Во-первых, мы максимально используем внешние трансферы :

{\begin{aligned}x\notin H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(xG')=x^{3}H_{1}'=s_{c}^{w}H_{1}'\\y\notin H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(yG')=y^{3}H_{2}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{2}'=1\cdot H_{2}'\\x,y\notin H_{3},H_{4}&\Rightarrow {\begin{cases}{\tilde {T}}_{i}(xG')=x^{3}H_{i}'=s_{c}^{w}H_{i}'=1\cdot H_{i}'\\{\tilde {T}}_{i}(yG')=y^{3}H_{i}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{i}'=s_{3}^{2}H_{i}'\end{cases}}&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}

Далее мы рассмотрим неизбежные внутренние переносы , которые более сложны. Для этой цели мы используем полиномиальное тождество

X^{2}+X+1=(X-1)^{2}+3(X-1)+3

получить:

{\begin{aligned}y\in H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(yG')=y^{1+x+x^{2}}H_{1}'=y^{3+3(x-1)+(x-1)^{2}}H_{1}'=y^{3}\cdot [y,x]^{3}\cdot [[y,x],x]H_{1}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}s_{2}^{3}s_{3}H_{1}'=s_{2}^{3}s_{3}^{3}s_{4}s_{c}^{z}H_{1}'=s_{c}^{z}H_{1}'\\x\in H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(xG')=x^{1+y+y^{2}}H_{2}'=x^{3+3(y-1)+(y-1)^{2}}H_{2}'=x^{3}\cdot [x,y]^{3}\cdot [[x,y],y]H_{2}'=s_{c}^{w}s_{2}^{-3}t_{3}^{-1}H_{2}'=t_{3}^{-1}H_{2}'\end{aligned}}

Наконец, мы объединяем результаты: в целом

{\tilde {T}}_{i}(gG')={\tilde {T}}_{i}(xG')^{j}{\tilde {T}}_{i}(yG')^{\ell },

и в частности,

{\begin{aligned}{\tilde {T}}_{1}(gG')&=s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'\\{\tilde {T}}_{2}(gG')&=t_{3}^{-j}H_{2}'\\{\tilde {T}}_{i}(gG')&=s_{3}^{2\ell }H_{i}'&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}

Для определения ядер осталось решить уравнения:

{\begin{aligned}s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'=H_{1}'&\Rightarrow {\begin{cases}{\text{arbitrary }}j,\ell {\text{ and }}w=z=0\\\ell =0,{\text{arbitrary }}j{\text{ and }}w=0,z=\pm 1\\j=0,{\text{arbitrary }}\ell {\text{ and }}w=1,z=0\\j=\mp \ell ,w=1,z=\pm 1\end{cases}}\\t_{3}^{-j}H_{2}'=H_{2}'&\Rightarrow j=0{\text{ with arbitrary }}\ell \\s_{3}^{2\ell }H_{i}'=H_{i}'&\Rightarrow \ell =0{\text{ with arbitrary }}j&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}

Следующие эквивалентности для любого завершают обоснование утверждений: $1\leq i\leq 4$

$j,\ell$ оба произвольны . $\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,y,G'\rangle =G\Leftrightarrow \varkappa (i)=0$
$j=0$ с произвольным , $\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle y,G'\rangle =H_{1}\Leftrightarrow \varkappa (i)=1$
$\ell =0$ с произвольным , $j\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,G'\rangle =H_{2}\Leftrightarrow \varkappa (i)=2$
$j=\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy,G'\rangle =H_{3}\Leftrightarrow \varkappa (i)=3$ ,
$j=-\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy^{-1},G'\rangle =H_{4}\Leftrightarrow \varkappa (i)=4$

Следовательно, последние три компонента TKT не зависят от параметров , что означает, что и TTT, и TKT обнаруживают униполяризацию в первом компоненте. $w,z,$

Систематическая библиотека SDT

Целью этого раздела является представление коллекции структурированных деревьев коклассов (SCT) конечных p -групп с параметризованными представлениями и кратким обзором инвариантов. Базовый простой ограничен малыми значениями . Деревья упорядочены в соответствии с возрастающим коклассом и различными абелианизациями внутри каждого кокласса. Чтобы сохранить управляемость числами потомков, деревья обрезаются путем исключения вершин глубины больше единицы. Кроме того, мы опускаем деревья, где критерии стабилизации обеспечивают общий TKT всех вершин, поскольку мы больше не считаем такие деревья структурированными. Перечисленные инварианты включают $p$ $p\in \{2,3,5\}$ $r\geq 1$

продолжительность до и после менструации,
глубина и ширина ветвей,
униполяризация, ТТТ и ТКТ,
$\sigma$ -группы.

Мы воздерживаемся от обоснования инвариантов, поскольку способ вывода инвариантов из представлений был наглядно продемонстрирован в разделе, посвященном коммутаторному исчислению.

Coclass1Tree2Groups — Рисунок 5: Структурированное дерево потомков 2-групп с коклассом 1.

Кокласс 1

Для каждого простого числа уникальное дерево p -групп максимального класса снабжено информацией о TTT и TKT, то есть для для и для . В последнем случае дерево ограничено метабелевыми -группами. $p\in \{2,3,5\}$ ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 4,2\rangle )$ $p=2,{\mathcal {T}}^{1}(\langle 9,2\rangle )$ $p=3$ ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 25,2\rangle )$ $p=5$ $5$

Группы кокласса на рисунке 5 можно определить с помощью следующего параметризованного полициклического ПК-представления, которое существенно отличается от представления Блэкберна. ^[10] $2$ $1$

2 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{2}=s_{c}^{w},\ y^{2}=s_{c}^{z},\ s_{j}^{2}=s_{j+1}s_{j+2}{\text{ for }}2\leq j\leq c-2,\ s_{c-1}^{2}=s_{c},\\&s_{2}=[y,x],\ s_{j}=[s_{j-1},x]=[s_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности равен , порядок равен с , и являются параметрами. Ветви строго периодические с предпериодом и длиной периода , и имеют глубину и ширину . Поляризация происходит для третьего компонента и TTT равен , зависит только от и с циклическим . TKT зависит от параметров и равен для вершин главной линии диэдра с , для конечных обобщенных групп кватернионов с , и для конечных полудиэдральных групп с . Есть два исключения: абелев корень с и , и обычная группа кватернионов с и . $c\geq 3$ $2^{n}$ $n=c+1$ $w,z$ $1$ $1$ $1$ $3$ $\tau =[(1^{2}),(1^{2}),A(2,c)]$ $c$ $A(2,c)$ $\varkappa =(210)$ $w=z=0$ $\varkappa =(213)$ $w=z=1$ $\varkappa =(211)$ $w=1,z=0$ $\tau =[(1),(1),(1)]$ $\varkappa =(000)$ $\tau =[(2),(2),(2)]$ $\varkappa =(123)$

Coclass1Tree3Groups — Рисунок 6: Структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 1.

Группы кокласса на рисунке 6 можно определить с помощью следующего параметризованного полициклического ПК-представления, немного отличающегося от представления Блэкберна. ^[10] $3$ $1$

3 ${\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности равен , порядок равен с , и являются параметрами. Ветви строго периодические с предпериодом и длиной периода , и имеют глубину и ширину . Поляризация происходит для первого компонента и TTT равен , зависит только от и . TKT зависит от параметров и равен для вершин главной линии с для конечных вершин с для конечных вершин с , и для конечных вершин с . Существует три исключения: абелев корень с , дополнительная специальная группа экспоненты с и , и силовская -подгруппа знакопеременной группы с . Вершины главной линии и вершины на нечетных ветвях являются -группами. $c\geq 5$ $3^{n}$ $n=c+1$ $a,w,z$ $2$ $2$ $1$ $7$ $\tau =[A(3,c-a),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]$ $c$ $a$ $\varkappa =(0000)$ $a=w=z=0,\varkappa =(1000)$ $a=0,w=1,z=0,\varkappa =(2000)$ $a=w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(0000)$ $a=1,w\in \{-1,0,1\},z=0$ $\tau =[(1),(1),(1),(1)]$ $9$ $\tau =[(1^{2}),(2),(2),(2)]$ $\varkappa =(1111)$ $3$ $A_{9}$ $\tau =[(1^{3}),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]$ $\sigma$

Coclass1Tree5Groups — Рисунок 7: Структурированное дерево потомков метабелевых 5-групп с коклассом 1.

Метабелевы -группы кокласса на рисунке 7 могут быть определены следующим параметризованным полициклическим pc-представлением, немного отличающимся от представления Миха. [ ^21] $5$ $1$

4 ${\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{5}=s_{c}^{w},\ y^{5}=s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности равен , порядок равен с , и являются параметрами. (Метабелевы!) ветви строго периодические с предпериодом и длиной периода , и имеют глубину и ширину . (Ветви полного дерева, включая неметабелевы группы, являются только виртуально периодическими и имеют ограниченную ширину, но неограниченную глубину!) Поляризация происходит для первого компонента и TTT равен , зависит только от и дефекта коммутативности . TKT зависит от параметров и равен для основных вершин с для конечных вершин с для конечных вершин с и для вершин с . Существует три исключения: абелев корень с , дополнительная специальная группа экспоненты с и , и группа с . Основные вершины и вершины на нечетных ветвях являются -группами. $c\geq 3$ $5^{n}$ $n=c+1$ $a,w,z$ $3$ $4$ $3$ $67$ $\tau =[A(5,c-k),(1^{2})^{5}]$ $c$ $k$ $\varkappa =(0^{6})$ $a=w=z=0,\varkappa =(10^{5})$ $a=0,w=1,z=0,\varkappa =(20^{5})$ $a=w=0,z\neq 0$ $\varkappa =(0^{6})$ $a\neq 0$ $\tau =[(1)^{6}]$ $25$ $\tau =[(1^{2}),(2)^{5}]$ $\varkappa =(1^{6})$ $\langle 15625,631\rangle$ $\tau =[(1^{5}),(1^{2})^{5}]$ $\sigma$

Кокласс 2

Абелианизация типа (п,п)

Три дерева коклассов , и для , снабжены информацией о TTT и TKT. ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )$ $p=3$

Coclass2TreeQType33 — Рисунок 8: Первое структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве -группы кокласса с бициклическим центром на рисунке 8 могут быть определены следующим параметризованным полициклическим pc-представлением. ^[11] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ $3$ $2$

5 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности равен , порядок равен с , и являются параметрами. Ветви строго периодические с предпериодом и длиной периода , и имеют глубину и ширину . Поляризация происходит для первого компонента и TTT равен , зависит только от . TKT зависит от параметров и равен для вершин главной линии с , для способных вершин с , для конечных вершин с , и для конечных вершин с . Вершины главной линии и вершины на четных ветвях являются -группами. $c\geq 5$ $3^{n}$ $n=c+2$ $w,z$ $2$ $2$ $3$ $18$ $\tau =[A(3,c),(1^{3}),(21),(21)]$ $c$ $\varkappa =(0122)$ $w=z=0$ $\varkappa =(2122)$ $w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(1122)$ $w=1,z=0$ $\varkappa =(3122)$ $w=1,z=\pm 1$ $\sigma$

Coclass2TreeUType33 — Рисунок 9: Второе структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве -группы кокласса с бициклическим центром на рисунке 9 могут быть определены следующим параметризованным полициклическим pc-представлением. ^[11] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ $3$ $2$

6 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,t_{2},s_{3},t_{3},\ldots ,t_{c}\mid {}\\&y^{3}=s_{3}t_{c}^{w},\ x^{3}=t_{3}t_{4}^{2}t_{5}t_{c}^{z},\ t_{j}^{3}=t_{j+2}^{2}t_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ t_{c-2}^{3}=t_{c}^{2},\ s_{3}^{3}=1,\\&t_{2}=[y,x],\ s_{3}=[t_{2},x],\ t_{j}=[t_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности равен , порядок равен с , и являются параметрами. Ветви строго периодические с предпериодом и длиной периода , и имеют глубину и ширину . Поляризация происходит для второго компонента и TTT равен , зависит только от . TKT зависит от параметров и равен для вершин главной линии с , для способных вершин с , для конечных вершин с , и для конечных вершин с . Вершины главной линии и вершины на четных ветвях являются -группами. $c\geq 6$ $3^{n}$ $n=c+2$ $w,z$ $2$ $2$ $3$ $16$ $\tau =[(21),A(3,c),(21),(21)]$ $c$ $\varkappa =(2034)$ $w=z=0$ $\varkappa =(2134)$ $w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(2234)$ $w=1,z=0$ $\varkappa =(2334)$ $w=1,z=\pm 1$ $\sigma$

Абелианизация типа (п²,п)

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,3\rangle )$ и для , и для . ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,4\rangle )$ $p=2$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )$ $p=3$

Абелианизация типа (п,п,п)

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,11\rangle )$ для , и для . $p=2$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 81,12\rangle )$ $p=3$

Кокласс 3

Абелианизация типа (п²,п)

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,13\rangle )$ , и для . ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,18\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,21\rangle )$ $p=3$

Абелианизация типа (п,п,п)

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )$ и для , и для . ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,181\rangle )$ $p=2$ ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,38\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,41\rangle )$ $p=3$

MinDiscriminantsTreeQ — Рисунок 10: Минимальные дискриминанты для первого ASCT из 3 групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Арифметические приложения

В алгебраической теории чисел и теории полей классов структурированные деревья потомков (SDT) конечных p -групп предоставляют превосходный инструмент для

визуализация расположения различных неабелевых p -групп, связанных с полями алгебраических чисел , $G(K)$ $K$
отображение дополнительной информации о группах в метках, прикрепленных к соответствующим вершинам, и $G(K)$
подчеркивая периодичность появления групп на ветвях деревьев коклассов. $G(K)$

Например, пусть будет простым числом, и предположим, что обозначает второе поле Гильберта p -класса алгебраического числового поля , которое является максимальным метабелевым неразветвленным расширением степени степени . Тогда вторая группа p -класса для обычно является неабелевой p -группой производной длины и часто позволяет сделать выводы о всей башне полей p -класса для , то есть группе Галуа максимального неразветвленного про- p расширения для . $p$ $F_{p}^{2}(K)$ $K$ $K$ $p$ $G_{p}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)|K)$ $K$ $2$ $K$ $G_{p}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)|K)$ $F_{p}^{\infty }(K)$ $K$

Для заданной последовательности полей алгебраических чисел с фиксированной сигнатурой , упорядоченной по абсолютным значениям их дискриминантов , подходящего структурированного дерева коклассов (SCT) или также конечной спорадической части графа коклассов , вершины которого полностью или частично реализованы группами второго p -класса полей, наделяется дополнительной арифметической структурой, когда каждая реализованная вершина , соответственно , отображается на данные, касающиеся полей, такие, что . $K$ $(r_{1},r_{2})$ $d=d(K)$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {G}}_{0}(p,r)$ ${\mathcal {G}}(p,r)$ $G_{p}^{2}(K)$ $K$ $V\in {\mathcal {T}}$ $V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,r)$ $K$ $V=G_{p}^{2}(K)$

MinDiscriminantsTreeU — Рисунок 11: Минимальные дискриминанты для второго ASCT из 3 групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Пример

Для определенности пусть и рассмотрим комплексные квадратичные поля с фиксированной сигнатурой, имеющие группы -класса с инвариантами типа . См. OEIS A242863 [1]. Их группы второго -класса были определены DC Mayer ^[17] для диапазона , и совсем недавно N. Boston, MR Bush и F. Hajir ^[22] для расширенного диапазона . $p=3$ $K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ $(0,1)$ $3$ $(3,3)$ $3$ $G_{3}^{2}(K)$ $-10^{6}<d<0$ $-10^{8}<d<0$

Давайте сначала выберем два структурированных дерева коклассов (SCT) и , которые уже известны из рисунков 8 и 9, и наделим эти деревья дополнительной арифметической структурой , окружив реализованную вершину кругом и присоединив смежное подчеркнутое жирное целое число , которое дает минимальный абсолютный дискриминант, такой что реализуется группой второго класса . Затем мы получим арифметически структурированные деревья коклассов (ASCT) на рисунках 10 и 11, которые, в частности, дают представление о фактическом распределении групп второго класса. ^[11] См. OEIS A242878 [2]. ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ $V$ $\min\{|d|\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ $V$ $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$ $3$

Таблица 2: Минимальные абсолютные дискриминанты для состояний шести последовательностей
Состояние $\uparrow ^{n}$	ТКТ Э.14 $\varkappa =(3122)$	ТКТ Э.6 $\varkappa =(1122)$	ТКТ H.4 $\varkappa =(2122)$	ТКТ Э.9 $\varkappa =(2334)$	ТКТ Э.8 $\varkappa =(2234)$	ТКТ Г.16 $\varkappa =(2134)$
ГС $\uparrow ^{0}$	$16627$	$15544$	$21668$	$9748$	$34867$	$17131$
ES1 $\uparrow ^{1}$	$262744$	$268040$	$446788$	$297079$	$370740$	$819743$
ES2 $\uparrow ^{2}$	$4776071$	$1062708$	$3843907$	$1088808$	$4087295$	$2244399$
ES3 $\uparrow ^{3}$	$40059363$	$27629107$	$52505588$	$11091140$	$19027947$	$30224744$
ES4 $\uparrow ^{4}$				$94880548$

Что касается периодичности появления групп второго класса комплексных квадратичных полей, то было доказано ^[17] , что только каждая вторая ветвь деревьев на рисунках 10 и 11 может быть заполнена этими метабелевыми -группами и что распределение начинается с основного состояния (GS) на ветви и продолжается с более высокими возбужденными состояниями (ES) на ветвях с четными . Это явление периодичности подкреплено тремя последовательностями с фиксированными TKT ^[16] $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$ $3$ ${\mathcal {B}}(6)$ ${\mathcal {B}}(j)$ $j\geq 8$

E.14 , OEIS A247693 [3], $\varkappa =(3122)$
E.6 , OEIS A247692 [4], $\varkappa =(1122)$
H.4 , OEIS A247694 [5] $\varkappa =(2122)$

на ASCT и тремя последовательностями с фиксированными TKT ^[16] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$

E.9 , OEIS A247696 [6], $\varkappa =(2334)$
E.8 , OEIS A247695 [7], $\varkappa =(2234)$
Г.16 , OEIS A247697 [8] $\varkappa =(2134)$

на ASCT . До сих пор ^[22] основное состояние и три возбужденных состояния известны для каждой из шести последовательностей, а для TKT E.9 уже произошло даже четвертое возбужденное состояние . Минимальные абсолютные дискриминанты различных состояний каждой из шести периодических последовательностей представлены в Таблице 2. Данные для основных состояний (GS) и первых возбужденных состояний (ES1) были взяты из DC Mayer, ^[17] самая последняя информация о втором, третьем и четвертом возбужденных состояниях (ES2, ES3, ES4) принадлежит N. Boston, MR Bush и F. Hajir. ^[22] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ $\varkappa =(2334)$

ЧастотаCoclass2Тип33Спорадический — Рисунок 12: Частота спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Таблица 3: Абсолютные и относительные частоты четырех спорадических групп $3$
$\|d\|$ <	Общий $\#$	ТКТ Д.10 $\varkappa =(3144)$ $\tau =[(21)(1^{3})(21)(21)]$ $G=\langle 243,5\rangle$	ТКТ Д.5 $\varkappa =(1133)$ $\tau =[(21)(1^{3})(21)(1^{3})]$ $G=\langle 243,7\rangle$	ТКТ H.4 $\varkappa =(4111)$ $\tau =[(1^{3})(1^{3})(1^{3})(21)]$ $G=\langle 729,45\rangle$	ТКТ Г.19 $\varkappa =(2143)$ $\tau =[(21)(21)(21)(21)]$ $G=\langle 729,57\rangle$
$b=10^{6}$	$2020$	$667\ (33.0\%)$	$269\ (13.3\%)$	$297\ (14.7\%)$	$94\ (4.7\%)$
$b=10^{7}$	$24476$	$7622\ (31.14\%)$	$3625\ (14.81\%)$	$3619\ (14.79\%)$	$1019\ (4.163\%)$
$b=10^{8}$	$276375$	$83353\ (30.159\%)$	$41398\ (14.979\%)$	$40968\ (14.823\%)$	$10426\ (3.7724\%)$

Напротив, давайте во-вторых выберем спорадическую часть графа коклассов для демонстрации того, что другой способ присоединения дополнительной арифметической структуры к деревьям потомков заключается в отображении счетчика попаданий реализованной вершины группой второго класса полей с абсолютными дискриминантами ниже заданной верхней границы , например . Что касается общего счетчика всех комплексных квадратичных полей с группой -класса типа и дискриминанта , это дает относительную частоту как приближение к асимптотической плотности популяции на рисунке 12 и в таблице 3. Ровно четыре вершины конечной спорадической части заполнены группами второго класса : ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ ${\mathcal {G}}(3,2)$ $\#\{|d|<b\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ $V$ $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$ $b$ $b=10^{8}$ $276375$ $3$ $(3,3)$ $-b<d<0$ ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ ${\mathcal {G}}(3,2)$ $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$

$\langle 243,5\rangle$ , OEIS A247689 [9],
$\langle 243,7\rangle$ , OEIS A247690 [10],
$\langle 729,45\rangle$ , OEIS A242873 [11],
$\langle 729,57\rangle$ , OEIS A247688 [12].

МинДискриминантыКокласс2Тип33Спорадический — Рисунок 13: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

МинДискриминантыКокласс2Тип55Спорадический — Рисунок 14: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 5-групп с коклассом 2 и абелианизацией (5,5).

МинДискриминантыКокласс2Тип77Спорадический — Рисунок 15: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 7-групп с коклассом 2 и абелианизацией (7,7).

Сравнение различных простых чисел

Теперь пусть и рассмотрим комплексные квадратичные поля с фиксированной сигнатурой и p -группами классов типа . Доминирующая часть вторых p -групп классов этих полей заполняет верхние вершины порядка спорадической части графа коклассов , которые принадлежат стволу семейства изоклинизмов П. Холла , или их непосредственным потомкам порядка . Для простых чисел ствол состоит из регулярных p -групп и обнаруживает довольно однородное поведение относительно TKT и TTT, но семь -групп в стволе являются нерегулярными . Мы подчеркиваем, что также существует несколько ( для и для ) бесконечно способных вершин в стволе , которые частично являются корнями деревьев коклассов. Однако здесь мы сосредоточимся на спорадических вершинах, которые являются либо изолированными Шур -группами ( для и для ), либо корнями конечных деревьев внутри ( для каждого ). Для TKT групп Шура представляет собой перестановку, разложение цикла которой не содержит транспозиций, тогда как TKT корней конечных деревьев представляет собой композицию непересекающихся транспозиций, имеющих четное число ( или ) неподвижных точек. $p\in \{3,5,7\}$ $K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ $(0,1)$ $(p,p)$ $p^{5}$ ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ ${\mathcal {G}}(p,2)$ $\Phi _{6}$ $p^{6}$ $p>3$ $\Phi _{6}$ $p+7$ $3$ $\Phi _{6}$ $3$ $p=3$ $4$ $p>3$ $\Phi _{6}$ $\sigma$ $2$ $p=3$ $p+1$ $p>3$ ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ $2$ $p\geq 3$ $p>3$ $\sigma$ $0$ $2$

Мы наделяем лес (конечное объединение деревьев-потомков) дополнительной арифметической структурой , присоединяя минимальный абсолютный дискриминант к каждой реализованной вершине . Результирующий структурированный спорадический граф коклассов показан на рисунке 13 для , на рисунке 14 для и на рисунке 15 для . ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ $\min\{|d|\mid V=G_{p}^{2}(K(d))\}$ $V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ $p=3$ $p=5$ $p=7$

Ссылки

^ abcdefghi Юпперт, Б. (1979). Эндличе Группа I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 134, Springer-Verlag Берлин Гейдельберг Нью-Йорк.
^ abcde Schur, I. (1902). «Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen». Sitzungsb. Пройсс. Акад. Висс. : 1013–1019.
^ abcd Артин, Э. (1929). «Идеальный класс в Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz». Абх. Математика. Сем. унив. Гамбург . 7 : 46–51. дои : 10.1007/BF02941159. S2CID 121475651.
^ abcd Айзекс, IM (2008). Теория конечных групп . Аспирантура по математике, т. 92, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
^ abcd Горенштейн, Д. (2012). Конечные группы . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
^ Хассе, Х. (1930). «Bericht über neuere Untersuchungen und Issuee aus der Theorie der алгебраического Zahlkörper. Часть II: Reziprozitätsgesetz». Яресбер. немецкий. Математика. Verein., Ergänzungsband . 6 : 1–204.
^ abcd Холл М., мл. (1999). Теория групп . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
^ abc Aschbacher, M. (1986). Теория конечных групп . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 10, Cambridge University Press.
^ abc Смит, Г.; Табачникова, О. (2000). Темы по теории групп . Springer Undergraduate Mathematics Series (SUMS), Springer-Verlag, Лондон.
^ abc Blackburn, N. (1958). «О специальном классе p-групп». Acta Math . 100 (1–2): 45–92. doi : 10.1007/bf02559602 .
^ abcdef Mayer, DC (2013). «Распределение групп второго p -класса на графах коклассов». J. Théor. Nombres Bordeaux . 25 (2): 401–456. arXiv : 1403.3833 . doi : 10.5802/jtnb.842. S2CID 62897311.
^ Чанг, СМ; Фут, Р. (1980). «Капитуляция в расширениях полей классов типа (p,p)». Can. J. Math . 32 (5): 1229–1243. doi : 10.4153/cjm-1980-091-9 .
^ Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, EA (2005). Библиотека SmallGroups – библиотека групп малого порядка . Принятый и рецензируемый пакет GAP 4, также доступный в MAGMA.
^ Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, EA (2002). «Проект тысячелетия: построение малых групп». Int. J. Algebra Comput . 12 (5): 623–644. doi :10.1142/s0218196702001115.
^ abcd Буш, MR; Майер, DC (2015). "3-классовые полевые башни точной длины 3". J. Number Theory . 147 : 766–777 (препринт: arXiv:1312.0251 [math.NT], 2013). arXiv : 1312.0251 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.010. S2CID 119147524.
^ abcde Mayer, DC (2012). «Переносы метабелевых p -групп». Monatsh. Math . 166 (3–4): 467–495. arXiv : 1403.3896 . doi :10.1007/s00605-010-0277-x. S2CID 119167919.
^ abcdefg Mayer, DC (2012). «Вторая группа p -класса числового поля». Int. J. Number Theory . 8 (2): 471–505. arXiv : 1403.3899 . doi :10.1142/s179304211250025x. S2CID 119332361.
^ Шольц, А.; Таусский, О. (1934). «Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginär Squaretischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm». Дж. Рейн Анжью. Математика . 171 : 19–41.
^ Ньюман, МФ (1977). Определение групп порядка простого числа . стр. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Заметки лекций по математике, т. 573, Springer, Берлин.
^ О'Брайен, Э. А. (1990). «Алгоритм генерации p-групп». J. Symbolic Comput . 9 (5–6): 677–698. doi : 10.1016/s0747-7171(08)80082-x .
^ Miech, RJ (1970). «Метабелевы p-группы максимального класса». Trans. Amer. Math. Soc . 152 (2): 331–373. doi : 10.1090/s0002-9947-1970-0276343-7 .
^ abc Boston, N.; Bush, MR; Hajir, F. (2015). "Эвристика для башен p -класса мнимых квадратичных полей". Math. Ann . arXiv : 1111.4679 .

[Hp-1] Юпперт, Б. (1979). Эндличе Группа I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 134, Springer-Verlag Берлин Гейдельберг Нью-Йорк.

[Su-2] Schur, I. (1902). «Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen». Sitzungsb. Пройсс. Акад. Висс. : 1013–1019.

[Ar2-3] Артин, Э. (1929). «Идеальный класс в Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz». Абх. Математика. Сем. унив. Гамбург . 7 : 46–51. дои : 10.1007/BF02941159. S2CID 121475651.

[Is-4] Айзекс, IM (2008). Теория конечных групп . Аспирантура по математике, т. 92, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.

[Go-5] Горенштейн, Д. (2012). Конечные группы . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.

[Ha-6] Хассе, Х. (1930). «Bericht über neuere Untersuchungen und Issuee aus der Theorie der алгебраического Zahlkörper. Часть II: Reziprozitätsgesetz». Яресбер. немецкий. Математика. Verein., Ergänzungsband . 6 : 1–204.

[Hl-7] Холл М., мл. (1999). Теория групп . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.

[Ab-8] Aschbacher, M. (1986). Теория конечных групп . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 10, Cambridge University Press.

[SmTb-9] Смит, Г.; Табачникова, О. (2000). Темы по теории групп . Springer Undergraduate Mathematics Series (SUMS), Springer-Verlag, Лондон.

[Bl-10] Blackburn, N. (1958). «О специальном классе p-групп». Acta Math . 100 (1–2): 45–92. doi : 10.1007/bf02559602 .

[Ma-11] Mayer, DC (2013). «Распределение групп второго p -класса на графах коклассов». J. Théor. Nombres Bordeaux . 25 (2): 401–456. arXiv : 1403.3833 . doi : 10.5802/jtnb.842. S2CID 62897311.

[CgFt-12] Чанг, СМ; Фут, Р. (1980). «Капитуляция в расширениях полей классов типа (p,p)». Can. J. Math . 32 (5): 1229–1243. doi : 10.4153/cjm-1980-091-9 .

[BEO-13] Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, EA (2005). Библиотека SmallGroups – библиотека групп малого порядка . Принятый и рецензируемый пакет GAP 4, также доступный в MAGMA.

[BEO2-14] Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, EA (2002). «Проект тысячелетия: построение малых групп». Int. J. Algebra Comput . 12 (5): 623–644. doi :10.1142/s0218196702001115.

[BuMa-15] Буш, MR; Майер, DC (2015). "3-классовые полевые башни точной длины 3". J. Number Theory . 147 : 766–777 (препринт: arXiv:1312.0251 [math.NT], 2013). arXiv : 1312.0251 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.010. S2CID 119147524.

[Ma2-16] Mayer, DC (2012). «Переносы метабелевых p -групп». Monatsh. Math . 166 (3–4): 467–495. arXiv : 1403.3896 . doi :10.1007/s00605-010-0277-x. S2CID 119167919.

[Ma1-17] Mayer, DC (2012). «Вторая группа p -класса числового поля». Int. J. Number Theory . 8 (2): 471–505. arXiv : 1403.3899 . doi :10.1142/s179304211250025x. S2CID 119332361.

[SoTa-18] Шольц, А.; Таусский, О. (1934). «Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginär Squaretischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm». Дж. Рейн Анжью. Математика . 171 : 19–41.

[Nm2-19] Ньюман, МФ (1977). Определение групп порядка простого числа . стр. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Заметки лекций по математике, т. 573, Springer, Берлин.

[Ob-20] О'Брайен, Э. А. (1990). «Алгоритм генерации p-групп». J. Symbolic Comput . 9 (5–6): 677–698. doi : 10.1016/s0747-7171(08)80082-x .

[Mi-21] Miech, RJ (1970). «Метабелевы p-группы максимального класса». Trans. Amer. Math. Soc . 152 (2): 331–373. doi : 10.1090/s0002-9947-1970-0276343-7 .

[BBH-22] Boston, N.; Bush, MR; Hajir, F. (2015). "Эвристика для башен p -класса мнимых квадратичных полей". Math. Ann . arXiv : 1111.4679 .

Передача Артина (теория групп)

Трансверсали подгруппы

Представление перестановки

Перевод Артина

Независимость трансверсальной

Переводы Артина как гомоморфизмы

Сплетение продуктовЧАСиС(н)

Состав переводов Артина

Сплетение продуктовС(м) иС(н)

Разложение цикла

Перевод в обычную подгруппу

Вычислительная реализация

Абелианизация типа (п,п)

Абелианизация типа (п2,п)

Передача ядер и целей

Абелианизация типа (п,п)

Абелианизация типа (п2,п)

Первый слой

Второй слой

Тип ядра передачи

Связи между слоями

Наследование от частных

Прохождение через абелианизацию

ТТТ синглеты

ТКТ синглеты

Мультиплеты TTT и TKT

Унаследованные автоморфизмы

Критерии стабилизации

Структурированные деревья потомков (SDT)

Распознавание образов

Исторический пример

Коммутаторное исчисление

Систематическая библиотека SDT

Кокласс 1

Кокласс 2

Абелианизация типа (п,п)

Абелианизация типа (п2,п)

Абелианизация типа (п,п,п)

Кокласс 3

Абелианизация типа (п2,п)

Абелианизация типа (п,п,п)

Арифметические приложения

Пример

Сравнение различных простых чисел

Ссылки

Абелианизация типа (п²,п)

Абелианизация типа (п²,п)

Абелианизация типа (п²,п)

Абелианизация типа (п²,п)