Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа

В математике взаимодействие между группой Галуа G расширения Галуа L числового поля K и способом, которым простые идеалы P кольца целых чисел O _K факторизуются как произведения простых идеалов O _L , обеспечивает одну из самых богатых частей алгебраической теории чисел . Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа иногда приписывают Дэвиду Гильберту , называя это теорией Гильберта . Существует геометрический аналог для разветвленных накрытий римановых поверхностей , который проще в том смысле, что нужно рассматривать только один вид подгруппы G , а не два. Это, безусловно, было известно до Гильберта.

Пусть L / K — конечное расширение числовых полей, а O K _и O L _— соответствующие кольца целых чисел K и L соответственно, которые определяются как целое замыкание целых чисел Z в рассматриваемом поле.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}}$

Наконец, пусть _{p — ненулевой простой идеал в OK} или , что эквивалентно, максимальный идеал , такой, что вычет OK _/ p является полем .

Из базовой теории одномерных колец следует существование единственного разложения

${\displaystyle pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}}$

идеала pO _{L ,} порожденного в O _L элементом p , в произведение различных максимальных идеалов P _j , с кратностями e _j .

Поле F = O _K / p естественным образом вкладывается в F _j = O _L / P _j для каждого j , степень f _j = [ O _L / P _j  : O _K / p _] этого расширения поля вычетов называется степенью инерции P j над p .

Кратность e _j называется индексом ветвления поля P _j над p . Если она больше 1 для некоторого j , расширение поля L / K называется разветвленным в точке p (или мы говорим, что p разветвляется в L , или что оно разветвлено в L ). В противном случае L / K называется неразветвленным в точке p . Если это так, то по китайской теореме об остатках частное O _L / pO _L является произведением полей F _j . Расширение L / K разветвлено ровно в тех простых числах, которые делят относительный дискриминант , следовательно, расширение неразветвлено во всех, кроме конечного числа простых идеалов.

Мультипликативность идеальной нормы подразумевает

${\displaystyle [L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}$

Если f _j = e _j = 1 для каждого j (и, таким образом, g = [ L  : K ]), мы говорим, что p полностью разветвляется в L . Если g = 1 и f ₁ = 1 (и, таким образом, e ₁ = [ L  : K ]), мы говорим, что p полностью разветвляется в L . Наконец, если g = 1 и e ₁ = 1 (и, таким образом, f ₁ = [ L  : K ]), мы говорим, что p инертен в L .

В дальнейшем предполагается, что расширение L / K является расширением Галуа . Тогда лемма об избегании простых чисел может быть использована для того, чтобы показать, что группа Галуа действует транзитивно на P _j . То есть, простые идеальные множители p в L образуют одну орбиту относительно автоморфизмов L над K . Из этого и теоремы об уникальной факторизации следует, что f = f _j и e = e _j независимы от j ; что , безусловно, не обязательно должно быть так для расширений, которые не являются расширениями Галуа. Тогда основные соотношения читаются как${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$.

и

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

Соотношение выше показывает, что [ L  : K ]/ ef равно числу g простых множителей p в O _L . По формуле стабилизатора орбиты это число также равно | G |/| D _{P j} | для каждого j , где D _{P j} , группа разложения P _j , является подгруппой элементов G, переводящей заданный P _j в себя. Поскольку степень L / K и порядок G равны по базовой теории Галуа, отсюда следует, что порядок группы разложения D _{P j} равен ef для каждого j .

Эта группа разложения содержит подгруппу I _{P j} , называемую группой инерции P _j , состоящую из автоморфизмов L / K , которые индуцируют тождественный автоморфизм на F _j . Другими словами, I _{P j} является ядром отображения редукции . Можно показать, что это отображение сюръективно, и отсюда следует, что оно изоморфно D _{P j} / I _{P j} , а порядок группы инерции I _{P j} равен e .${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы определить элемент D _{P j} / I _{P j} для заданного j , который соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля F _j / F . В неразветвленном случае порядок D _{P j} равен f и I _{P j} тривиален, поэтому элемент Фробениуса в этом случае является элементом D _{P j} , а значит, и элементом G . Для переменного j группы D _{P j} являются сопряженными подгруппами внутри G : Вспоминая, что G действует транзитивно на P _j , можно проверить, что если отображает P _j в P _j' , . Следовательно, если G — абелева группа, элемент Фробениуса неразветвленного простого числа P не зависит от того, какой P _j мы возьмем. Более того, в абелевом случае сопоставление неразветвленного простого числа K его фробениусу и мультипликативное расширение определяет гомоморфизм из группы неразветвленных идеалов K в G. Это отображение, известное как отображение Артина , является важнейшим компонентом теории полей классов , которая изучает конечные абелевы расширения заданного числового поля K. [ ^1]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}}$

В геометрическом аналоге для комплексных многообразий или алгебраической геометрии над алгебраически замкнутым полем понятия группы разложения и группы инерции совпадают. Там, если задано разветвленное покрытие Галуа, все, кроме конечного числа точек, имеют одинаковое число прообразов .

Расщепление простых чисел в расширениях, которые не являются Галуа, можно изучать, используя изначально поле расщепления , т. е. расширение Галуа, которое несколько больше. Например, кубические поля обычно «регулируются» полем степени 6, содержащим их.

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля Q (i)/ Q . То есть, мы берем K = Q и L = Q (i), так что O _K — это просто Z , а O _L = Z [i] — это кольцо гауссовых целых чисел . Хотя этот случай далек от репрезентативного — в конце концов, Z [i] имеет уникальную факторизацию , а квадратичных полей с уникальной факторизацией не так уж много — он демонстрирует многие черты теории.

Обозначим через G группу Галуа Q (i)/ Q и через σ — автоморфизм комплексного сопряжения в G. Рассмотрим три случая.

Простое число 2 из Z разветвляется в Z [i]:

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

Индекс ветвления здесь, следовательно, равен e = 2. Поле остатков равно

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}$

что является конечным полем с двумя элементами. Группа разложения должна быть равна всему G , поскольку существует только одно простое число Z [i] выше 2. Группа инерции также является всем G , поскольку

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

для любых целых чисел a и b , как .${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

Фактически, 2 — единственное простое число, которое разветвляется в Z [ i], поскольку каждое разветвляющееся простое число должно делить дискриминант Z [i], который равен −4.

Любое простое число p ≡ 1 mod 4 распадается на два различных простых идеала в Z [i]; это проявление теоремы Ферма о суммах двух квадратов . Например:

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

Группы разложения в этом случае являются обеими тривиальными группами {1}; действительно, автоморфизм σ переключает два простых числа (2 + 3i) и (2 − 3i), поэтому он не может быть в группе разложения ни одного из простых чисел. Группа инерции, будучи подгруппой группы разложения, также является тривиальной группой. Существует два поля вычетов, по одному для каждого простого числа,

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

которые оба изоморфны конечному полю с 13 элементами. Элемент Фробениуса — это тривиальный автоморфизм; это означает, что

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}$

для любых целых чисел a и b .

Любое простое число p ≡ 3 mod 4 остается инертным в Z [ ]; то есть оно не расщепляется. Например, (7) остается простым числом в Z [ ]. В этой ситуации группа разложения — это все G , снова потому что есть только один простой множитель. Однако эта ситуация отличается от случая p = 2, потому что теперь σ не действует тривиально на поле вычетов${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\ ,}$

которое является конечным полем с 7 ² = 49 элементами. Например, разность между и равна , что, безусловно, не делится на 7. Следовательно, группа инерции является тривиальной группой {1}. Группа Галуа этого поля вычетов над подполем Z /7 Z имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Элемент Фробениуса есть не что иное, как σ; это означает, что${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle \sigma (1+i)=1-i}$${\displaystyle 2i}$

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

для любых целых чисел a и b .

Предположим, что мы хотим определить факторизацию простого идеала P из O _K на простые числа из O _L . Следующая процедура (Нойкирх, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия заключается в выборе целого числа θ из O _L так, чтобы L порождалось над K с помощью θ (такое θ гарантированно существует по теореме о примитивном элементе ), а затем в исследовании минимального многочлена H ( X ) от θ над K ; это монический многочлен с коэффициентами в O _K . Уменьшая коэффициенты H ( X ) по модулю P , мы получаем монический многочлен h ( X ) с коэффициентами в F , (конечном) поле вычетов O _K / P . Предположим, что h ( X ) факторизуется в кольце многочленов F [ X ] как

${\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},}$

где h _j — различные монические неприводимые многочлены в F [ X ]. Тогда, пока P не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), факторизация P имеет следующий вид:

${\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},}$

где Q _j — различные простые идеалы O _L. Более того, степень инерции каждого Q _j равна степени соответствующего многочлена h _j , и существует явная формула для Q _j :

${\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},}$

где h _j обозначает здесь поднятие многочлена h _j до K [ X ].

В случае Галуа все степени инерции равны, и все индексы ветвления e ₁ = ... = e _n равны.

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не обязательно выполняется, — это те, которые не являются взаимно простыми с проводником кольца O _K [θ]. Проводник определяется как идеал

${\displaystyle \{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};}$

он измеряет, насколько далек порядок O _K [θ] от того, чтобы быть всем кольцом целых чисел (максимальным порядком) O _L .

Существенным предостережением является то, что существуют примеры L / K и P, для которых нет доступного θ, удовлетворяющего вышеуказанным гипотезам (см., например, ^[2] ). Поэтому приведенный выше алгоритм не может быть использован для факторизации таких P , и должны использоваться более сложные подходы, такие как описанный в ^{[3] .}

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы берем θ в качестве мнимой единицы с минимальным многочленом H ( X ) = X ² + 1. Поскольку Z [ ] — это все кольцо целых чисел Q ( ), то проводник — это единичный идеал, поэтому исключительных простых чисел не существует.${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

Для P = (2) нам необходимо работать в поле Z /(2) Z , что равносильно факторизации многочлена X ² + 1 по модулю 2:

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 1 и индексом разветвления 2, и он определяется выражением

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].}$

Следующий случай — для P = ( p ) для простого числа p ≡ 3 mod 4. Для конкретности возьмем P = (7). Многочлен X ² + 1 неприводим по модулю 7. Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 2 и индексом ветвления 1, и он задается как

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].}$

Последний случай — P = ( p ) для простого числа p ≡ 1 mod 4; мы снова возьмем P = (13). На этот раз у нас есть факторизация

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

Таким образом, существует два простых множителя, оба со степенью инерции и индексом разветвления 1. Они задаются формулой

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}$

и

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].}$

• Теорема плотности Чеботарева

• «Разделение и ветвление в числовых полях и расширения Галуа». PlanetMath .
• Стайн, Уильям (2004), Краткое введение в классическую и адельную алгебраическую теорию чисел
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.