Поле класса луча

В математике поле класса лучей — это абелево расширение глобального поля, связанного с группой классов лучей идеальных классов или классов иделей . Каждое конечное абелево расширение числового поля содержится в одном из его полей классов лучей.

Термин "ray class group" является переводом немецкого термина "Strahlklassengruppe". Здесь "Strahl" по-немецки означает луч и часто означает положительную вещественную прямую, которая появляется в условиях положительности, определяющих группы классов лучей. Хассе (1926, стр. 6) использует "Strahl" для обозначения определенной группы идеалов, определенных с использованием условий положительности, и использует "Strahlklasse" для обозначения смежного класса этой группы.

Существуют два немного разных представления о том, что такое поле классов лучей, поскольку авторы по-разному трактуют бесконечные простые числа.

Вебер ввел группы классов лучей в 1897 году. Такаги доказал существование соответствующих полей классов лучей примерно в 1920 году. Шевалле переформулировал определение групп классов лучей в терминах иделей в 1933 году.

Если m — идеал кольца целых чисел числового поля K , а S — подмножество действительных мест, то группа классов лучей m и S является факторгруппой

${\displaystyle I^{м}/P^{м}\,}$

где I ^m — группа дробных идеалов, взаимно простых с m , а «луч» P ^m — группа главных идеалов, порожденных элементами a с a  ≡ 1 mod  m , которые положительны в местах S . Когда S состоит из всех действительных мест, так что a ограничено быть полностью положительным, группа называется узкой лучевой группой класса m . Некоторые авторы используют термин «группа лучевых классов» для обозначения «узкой лучевой группы класса».

Поле класса лучей K — это абелево расширение K, связанное с группой классов лучей теорией полей классов, и его группа Галуа изоморфна соответствующей группе классов лучей. Доказательство существования поля классов лучей данной группы классов лучей является длинным и косвенным, и в общем случае не существует известного простого способа его построения (хотя явные конструкции известны в некоторых особых случаях, таких как мнимые квадратичные поля).

Шевалле переопределил группу классов лучей идеала m и множества S действительных мест как факторгруппы классов иделей по образу группы

${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

где U _p определяется по формуле:

• Ненулевые комплексные числа для комплексного места p
• Положительные действительные числа для действительной позиции p в S и все ненулевые действительные числа для позиции p вне S
• Единицы K _p для конечного числа p, не делящего m
• Единицы измерения числа K _p сравнимы с 1 по модулю p ^{n ,} если p ⁿ — максимальная степень числа p, делящая m .

Некоторые авторы используют более общее определение, в котором группе U _p разрешено быть всеми ненулевыми действительными числами для определенных действительных позиций  p .

Группы классов лучей, определенные с помощью иделей, естественно изоморфны группам, определенным с помощью идеалов. Иногда их легче обрабатывать теоретически, поскольку они все являются факторами одной группы, и, таким образом, их легче сравнивать.

Поле классов лучей группы классов лучей — это (единственное) абелево расширение L группы K , такое что норма группы классов иделей C _L группы L является образом в группе классов иделей группы K.${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

Если K — поле рациональных чисел , m — ненулевое рациональное целое число, а S содержит архимедово место K , то группа классов лучей ( m ) и S изоморфна группе единиц Z / m Z , а поле классов лучей — это поле, порожденное корнями степени m из единицы . Поле классов лучей для ( m ) и пустое множество мест — это его максимальное вполне вещественное подполе — поле .${\displaystyle \mathbb {Q} (\cos({\frac {2\pi }{m}}))}$

Поле классов Гильберта — это поле классов лучей, соответствующее единичному идеалу и пустому множеству действительных мест, поэтому это наименьшее поле классов лучей. Узкое поле классов Гильберта — это поле классов лучей, соответствующее единичному идеалу и множеству всех действительных мест, поэтому это наименьшее узкое поле классов лучей.

• Хассе, Гельмут (1926), «Bericht über neuere Unterschungen und Issuee aus der Theorie der алгебраического Zahlkörper.», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 35 , Геттинген: Тойбнер
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.