ряд Фурье

Ряд Фурье ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) представляет собой разложение периодической функции в сумму тригонометрических функций . Ряд Фурье является примером тригонометрического ряда . ^[2] Выражая функцию в виде суммы синусов и косинусов, многие проблемы, связанные с функцией, становятся проще для анализа, поскольку тригонометрические функции хорошо поняты. Например, ряды Фурье были впервые использованы Жозефом Фурье для нахождения решений уравнения теплопроводности . Это применение возможно, поскольку производные тригонометрических функций укладываются в простые закономерности. Ряды Фурье нельзя использовать для аппроксимации произвольных функций, поскольку большинство функций имеют бесконечно много членов в своих рядах Фурье, и ряды не всегда сходятся . Хорошо ведущие себя функции, например гладкие функции, имеют ряды Фурье, которые сходятся к исходной функции. Коэффициенты ряда Фурье определяются интегралами функции, умноженными на тригонометрические функции, описанными в разделе Ряды Фурье§Определение.

Изучение сходимости рядов Фурье фокусируется на поведении частичных сумм , что означает изучение поведения суммы по мере суммирования все большего числа членов ряда. Рисунки ниже иллюстрируют некоторые результаты частичных рядов Фурье для компонентов прямоугольной волны .

• 
  Прямоугольная волна (представленная синей точкой) аппроксимируется ее шестой частичной суммой (представленной фиолетовой точкой), образованной путем суммирования первых шести членов (представленных стрелками) ряда Фурье прямоугольной волны. Каждая стрелка начинается с вертикальной суммы всех стрелок слева от нее (т. е. предыдущей частичной суммы).
• 
  Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . По мере добавления большего количества гармоник частичные суммы сходятся (становятся все более и более похожими) на прямоугольную волну.
• 
  Функция (красного цвета) представляет собой сумму ряда Фурье 6 гармонически связанных синусоид (синего цвета). Ее преобразование Фурье представляет собой представление в частотной области, которое показывает амплитуды суммированных синусоид.${\displaystyle s_{6}(x)}$${\displaystyle S(ф)}$

Ряды Фурье тесно связаны с преобразованием Фурье , более общим инструментом, который может даже найти информацию о частоте для функций, которые не являются периодическими. Периодические функции можно отождествить с функциями на окружности; по этой причине ряды Фурье являются предметом анализа Фурье на группе окружности , обозначаемой или . Преобразование Фурье также является частью анализа Фурье , но определено для функций на .${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Со времен Фурье было обнаружено много различных подходов к определению и пониманию концепции ряда Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из которых подчеркивает различные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которые не были доступны во времена Фурье. Первоначально Фурье определил ряд Фурье для действительных функций действительных аргументов и использовал функции синуса и косинуса в разложении. С тех пор были определены многие другие преобразования, связанные с Фурье , что расширило его первоначальную идею на многие приложения и породило область математики, называемую анализом Фурье .

Ряд Фурье назван в честь Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830), который внес важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана Лерона Д'Аламбера и Даниила Бернулли . ^[A] Фурье ввел ряд для решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первоначальные результаты в своем труде 1807 года Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Трактат о распространении тепла в твердых телах ) и опубликовав свой труд Théorie analytique de la chaleur ( Аналитическая теория тепла ) в 1822 году. Mémoire ввел анализ Фурье, в частности ряды Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт, что произвольная (вначале непрерывная ^[3] , а затем обобщенная на любую кусочно -гладкую ^[4] ) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией . ^[5] Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций восходят к 3 веку до н. э., когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и ​​эпициклах .

Уравнение теплопроводности является частным дифференциальным уравнением . До работы Фурье решение уравнения теплопроводности в общем случае было известно, хотя были известны частные решения, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была синусоидальная или косинусоидальная волна . Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями . Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений . Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны, ввиду отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежен Дирихле ^[6] и Бернхард Риман ^{[7] [8] [9]} выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя изначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, и особенно к тем, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами . Ряд Фурье имеет много таких приложений в электротехнике , анализе вибрации , акустике , оптике , обработке сигналов , обработке изображений , квантовой механике , эконометрике , ^[10] теории оболочек , ^[11] и т. д.

Жозеф Фурье писал ^[12]

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{ 2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Умножая обе части на , а затем интегрируя от до , получаем:${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle у=-1}$${\displaystyle у=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

-  Жозеф Фурье, «Мемуар о пропаганде шале в твердых телах» (1807).

Это немедленно дает любой коэффициент a _k тригонометрического ряда для φ( y ) для любой функции, которая имеет такое расширение. Это работает, потому что если φ имеет такое расширение, то (при подходящих предположениях о сходимости) интеграл можно вычислять почленно. Но все члены, включающие для j ≠ k , исчезают при интегрировании от −1 до 1, оставляя только член, который равен 1 .$${\displaystyle {\begin{align}&\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{align}}}$$${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

В этих нескольких строках, которые близки к современному формализму, используемому в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлером , Д'Аламбером , Даниилом Бернулли и Гауссом , Фурье считал, что такие тригонометрические ряды могут представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это на самом деле верно — довольно тонкий вопрос, и попытки на протяжении многих лет прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях сходимости , функциональных пространств и гармонического анализа .

Когда Фурье представил позднее конкурсное эссе в 1811 году, комитет (в который входили Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр , среди прочих) пришел к выводу: ...способ, которым автор приходит к этим уравнениям, не свободен от трудностей, и ...его анализ для их интегрирования все еще оставляет желать лучшего с точки зрения общности и даже строгости . ^[13]

Разложение в ряд Фурье пилообразной функции (ниже) выглядит сложнее, чем простая формула , поэтому не сразу становится ясно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество приложений, мотивацией Фурье было решение уравнения теплопроводности . Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата, стороны которого измеряются метрами, с координатами . Если внутри пластины нет источника тепла, и если три из четырех сторон поддерживаются при 0 градусах Цельсия, в то время как четвертая сторона, заданная , поддерживается при градиенте температуры градусов Цельсия, для в , то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла по истечении длительного времени) определяется выражением${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle y=\пи}$${\displaystyle T(x,\пи)=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (0,\пи)}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\ sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Здесь sinh — гиперболическая синусоидальная функция. Это решение уравнения теплопроводности получается путем умножения каждого члена уравнения из Анализ § Пример на . Хотя наша функция-пример, по-видимому, имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла нетривиально. Функцию нельзя записать в виде замкнутого выражения . Этот метод решения тепловой задачи стал возможным благодаря работе Фурье.${\ Displaystyle \ Син (Нью-Йорк) / \ Син (п \ пи)}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle T(x,y)}$${\displaystyle Т}$

Другое применение — решение Базельской проблемы с использованием теоремы Парсеваля . Пример обобщается, и можно вычислить ζ (2 n ), для любого положительного целого числа n .

Ряд Фурье комплекснозначной P -периодической функции , интегрируемой по интервалу на действительной прямой, определяется как тригонометрический ряд вида , такой, что коэффициенты Фурье являются комплексными числами, определяемыми интегралом ^{[14] [15]} Ряд не обязательно сходится (в поточечном смысле), и даже если сходится, он не обязательно равен . Только при выполнении определенных условий (например, если непрерывно дифференцируемо) ряд Фурье сходится к , т. е. Для функций, удовлетворяющих условиям достаточности Дирихле , имеет место поточечная сходимость. ^[16] Однако это не необходимые условия , и существует много теорем о различных типах сходимости рядов Фурье (например, равномерная сходимость или средняя сходимость ). ^[17] Определение естественным образом распространяется на ряд Фурье (периодического) распределения ( также называемый рядом Фурье-Шварца ). ^[18] Тогда ряд Фурье сходится к в распределительном смысле. ^[19]${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [0,P]}$$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{n}}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$$ ${\displaystyle c_{_{n}}}$$${\displaystyle c_{_{n}}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s(x)\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx.}$$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(x)}$$${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{n}}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$$ ${\displaystyle с}$${\displaystyle s(x)}$

Процесс определения коэффициентов Фурье заданной функции или сигнала называется анализом , а построение соответствующего тригонометрического ряда (или его различных приближений) называется синтезом .

Ряд Фурье можно записать в нескольких эквивалентных формах, показанных здесь как частичные суммы ряда Фурье : ^[20]${\displaystyle N^{\text{й}}}$ ${\displaystyle s_{_{N}}(x)}$${\displaystyle s(x)}$

Синусно-косинусная форма

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=a_{_{0}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{_{n}}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+b_{_{n}}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)}$

Ур.1

Экспоненциальная форма

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{n}}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P} }х}}$

Ур.2

Гармоники индексируются целым числом, которое также является числом циклов, которые соответствующие синусоиды делают в интервале . Таким образом, синусоиды имеют :${\displaystyle n,}$${\displaystyle P}$

• длина волны равна в тех же единицах, что и .${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$${\displaystyle x}$
• частота равна в обратных единицах .${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle x}$

Эти ряды могут представлять функции, которые являются просто суммой одной или нескольких частот в гармоническом спектре . В пределе тригонометрический ряд может также представлять промежуточные частоты и/или несинусоидальные функции из-за бесконечного числа членов.${\displaystyle N\to \infty }$

Коэффициенты могут быть заданы/предполагаемы, например, музыкальный синтезатор или временные выборки формы волны. В последнем случае экспоненциальная форма ряда Фурье синтезирует дискретное по времени преобразование Фурье , где переменная представляет частоту вместо времени. В общем случае коэффициенты определяются путем анализа заданной функции, область определения которой представляет собой интервал длины . ^{[B] [21]}${\displaystyle x}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle P}$

Коэффициенты Фурье

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{_{0}}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx&\\&a_{_{n}}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\textrm {for}}~n\geq 1\\&b_{_{n}}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx,\ &{\text{for}}~n\geq 1\\\end{aligned}}}$

Ур.3

Масштабный коэффициент следует из подстановки уравнения 1 в уравнение 3 и использования ортогональности тригонометрической системы . ^[22] Эквивалентность уравнения 1 и уравнения 2 следует из формулы Эйлера, что приводит к:${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}$$

где является средним значением на интервале . ^[23] Обратно:${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle P}$

Рассмотрим пилообразную функцию: В этом случае коэффициенты Фурье определяются как Можно показать, что ряд Фурье сходится к в каждой точке , где дифференцируемо, и, следовательно: Когда , ряд Фурье сходится к 0, который является полусуммой левого и правого предела при . Это частный случай теоремы Дирихле для рядов Фурье.$${\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,{\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}&=0.\\a_{_{n}}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{_{n}}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{_{0}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{_{n}}\cos \left(nx\right)+b_{_{n}}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$$${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle x=\pi }$

Этот пример приводит к решению Базельской проблемы .

Если функция имеет вещественные значения, то ряд Фурье можно также представить в виде ^[24]${\displaystyle s(x)}$

Амплитудно-фазовая форма

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}$

Ур.4

где — амплитуда , а — фазовый сдвиг гармоники .${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle n^{th}}$

Эквивалентность ур.4 и ур.1 следует из тригонометрического тождества : которое подразумевает ^[25]$${\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)=\cos(\varphi _{n})\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right),}$$$${\displaystyle a_{_{n}}=A_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad b_{_{n}}=A_{n}\sin(\varphi _{n})}$$

— прямоугольные координаты вектора с полярными координатами , заданные выражением , где — аргумент .${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$$${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{_{n}}^{2}+b_{_{n}}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\operatorname {Arg} (c_{n})=\operatorname {atan2} (b_{_{n}},a_{_{n}})}$$${\displaystyle \operatorname {Arg} (c_{n})}$${\displaystyle c_{n}}$

Пример определения параметра для одного значения показан на рисунке 2. Это значение при максимальной корреляции между и шаблоном косинуса . Синий график — это функция взаимной корреляции , также известная как согласованный фильтр :${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi ).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}$

К счастью, нет необходимости оценивать всю эту функцию, поскольку ее производная равна нулю в максимуме: Следовательно$${\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}.}$$$${\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(b_{_{n}}/a_{_{n}})=\arctan(X(\pi /2)/X(0)).}$$

Эта нотация неадекватна для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому ее обычно заменяют модифицированной формой функции ( в данном случае), например, или , а функциональная нотация часто заменяет подстрочную :${\displaystyle c_{_{n}}}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$${\displaystyle S[n],}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

В инженерии, особенно когда переменная представляет время, последовательность коэффициентов называется представлением частотной области . Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что область этой функции представляет собой дискретный набор частот.${\displaystyle x}$

Другое часто используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции гребенки Дирака :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

где представляет собой непрерывную частотную область. Когда переменная имеет единицы измерения секунд, имеет единицы измерения герц . «Зубья» гребня расположены на расстоянии, кратном (т.е. гармоникам ) от , что называется основной частотой . может быть восстановлена ​​из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье :${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}}$

Поэтому построенную функцию обычно называют преобразованием Фурье , даже несмотря на то, что интеграл Фурье периодической функции не сходится на гармонических частотах. ^[C]${\displaystyle S(f)}$

Некоторые распространённые пары периодических функций и их коэффициенты ряда Фурье показаны в таблице ниже.

• ${\displaystyle s(x)}$обозначает периодическую функцию с периодом${\displaystyle P.}$
• ${\displaystyle a_{_{0}},a_{_{n}},b_{_{n}}}$обозначим коэффициенты ряда Фурье (синусно-косинусная форма) периодической функции${\displaystyle s(x).}$

Временная область ${\displaystyle s(x)}$	Сюжет	Частотная область (синусно-косинусная форма) ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{_{0}}\\&a_{_{n}}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{_{n}}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	Замечания	Ссылка
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{_{n}}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{_{n}}=&0\\\end{aligned}}}$	Двухполупериодный выпрямленный синус	[26] : стр. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}=&{\frac {A}{\pi }}\\a_{_{n}}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{_{n}}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	Однополупериодный выпрямленный синус	[26] : стр.193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}=&AD\\a_{_{n}}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{_{n}}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}=&{\frac {A}{2}}\\a_{_{n}}=&0\\b_{_{n}}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[26] : стр.192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}=&{\frac {A}{2}}\\a_{_{n}}=&0\\b_{_{n}}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[26] : стр.192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{_{0}}=&{\frac {A}{3}}\\a_{_{n}}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{_{n}}=&0\\\end{aligned}}}$		[26] : стр.193

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:

• Комплексное сопряжение обозначается звездочкой.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$обозначают -периодические функции или функции, определенные только для${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$обозначим коэффициенты ряда Фурье (показательная форма) и${\displaystyle s}$${\displaystyle r.}$

Свойство	Временная область	Частотная область (экспоненциальная форма)	Замечания	Ссылка
Линейность	${\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
Обращение времени / Обращение частоты	${\displaystyle s(-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$		[27] : стр. 610
Спряжение времени	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$		[27] : стр. 610
Обращение времени и спряжение	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
Реальная часть во времени	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}$
Мнимая часть во времени	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
Действительная часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
Мнимая часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	${\displaystyle s(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$	[27] : стр.610
Сдвиг по частоте / Модуляция по времени	${\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$	[27] : стр. 610

Когда действительная и мнимая части комплексной функции разлагаются на четную и нечетную части , есть четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. И есть взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной временной функции и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования: ^{[28] [29]}

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&i\ s_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {i\ S_{\text{IO}}\,} &+&i\ S_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Из этого очевидны различные соотношения, например :

• Преобразование действительной функции — это сопряженная симметричная функция. Наоборот, сопряженное симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• Преобразование мнимозначной функции является сопряженной антисимметричной функцией , и обратное утверждение верно.${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• Преобразование сопряженной симметричной функции является действительной функцией , и обратное утверждение верно.${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• Преобразование сопряженной антисимметричной функции является мнимозначной функцией , и обратное утверждение верно.${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

Если интегрируемо , и​​${\displaystyle S}$${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Если принадлежит (периодическому на интервале длины ), то:${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$$

Если — коэффициенты и тогда существует единственная функция такая, что для каждого .${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$${\displaystyle S[n]=c_{n}}$${\displaystyle n}$

Даны -периодические функции, и с коэффициентами ряда Фурье и${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{_{P}}}$${\displaystyle r_{_{P}}}$${\displaystyle S[n]}$${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• Точечное произведение : также является -периодическим, а его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной сверткой последовательностей и :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• Периодическая свертка : также является -периодической, с коэффициентами ряда Фурье :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Дважды бесконечная последовательность в является последовательностью коэффициентов Фурье функции в тогда и только тогда , когда она является сверткой двух последовательностей в . См. ^[30]${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

Если — 2 π -периодическая функция, на которой дифференцируема по разу, а ее производная непрерывна, то принадлежит функциональному пространству .${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$

• Если , то коэффициенты Фурье производной можно выразить через коэффициенты Фурье , с помощью формулы В частности, поскольку для любого фиксированного имеем при , то следует, что стремится к нулю, т.е. коэффициенты Фурье стремятся к нулю быстрее, чем степень .${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n].}$$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle |n|}$

Одно из интересных свойств преобразования Фурье, о котором мы упомянули, заключается в том, что оно переносит свертки в поточечные произведения. Если это свойство мы стремимся сохранить, то можно производить ряды Фурье на любой компактной группе . Типичные примеры включают те классические группы , которые являются компактными. Это обобщает преобразование Фурье на все пространства вида L ² ( G ), где G — компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье переносит свертки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично случаю [− π , π ] .

Альтернативным расширением для компактных групп является теорема Петера–Вейля , которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные результатам о конечных группах.

Если область не является группой, то нет внутренне определенной свертки. Однако, если — компактное риманово многообразие , оно имеет оператор Лапласа–Бельтрами . Оператор Лапласа–Бельтрами — это дифференциальный оператор, который соответствует оператору Лапласа для риманова многообразия . Тогда, по аналогии, можно рассмотреть уравнения теплопроводности на . Поскольку Фурье пришел к своему базису, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование собственных решений оператора Лапласа–Бельтрами в качестве базиса. Это обобщает ряд Фурье на пространства типа , где — риманово многообразие. Ряд Фурье сходится способами, аналогичными случаю . Типичным примером является взятие сферы с обычной метрикой, в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle X}$

Обобщение на компактные группы, обсуждавшееся выше, не распространяется на некомпактные, неабелевы группы . Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы группы (LCA) .

Это обобщает преобразование Фурье до или , где — группа LCA. Если компактно, то также получается ряд Фурье, который сходится аналогично случаю , но если некомпактно, то вместо этого получается интеграл Фурье . Это обобщение дает обычное преобразование Фурье , когда базовая локально компактная абелева группа — .${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Пусть — функция ограниченной вариации, определенная на замкнутом инвервале . Ряд Фурье, коэффициенты которого задаются формулой ^[31], называется рядом Фурье-Стилтьеса . Пространство функций ограниченной вариации является подпространством . Поскольку любое определяет меру Радона (т.е. локально конечную меру Бореля на ), это определение можно расширить следующим образом.${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle [0,P]\subseteq \mathbb {R} }$$${\displaystyle c_{_{n}}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dF(x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle BV}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle F\in BV}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Рассмотрим пространство всех конечных мер Бореля на вещественной прямой; как таковое . ^[32] Если существует мера такая, что коэффициенты Фурье-Стилтьеса задаются как , то ряд называется рядом Фурье-Стилтьеса. Аналогично, функция , где , называется преобразованием Фурье-Стилтьеса . ^[33]${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{1}\subset M}$${\displaystyle \mu \in M}$$${\displaystyle c_{n}={\hat {\mu }}(n)={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,d\mu (x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle {\hat {\mu }}(n)}$${\displaystyle \mu \in M}$

Вопрос о том, существует ли для данной последовательности , лежит в основе тригонометрической проблемы моментов . ^[34]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c_{n}}$

Кроме того, является строгим подпространством пространства (умеренных) распределений , т.е. . Если коэффициенты Фурье определяются распределением , то ряд описывается как ряд Фурье-Шварца . В отличие от ряда Фурье-Стилтьеса, решение о том, является ли данный ряд рядом Фурье или рядом Фурье-Шварца, относительно тривиально из-за характеристик его двойственного пространства; пространства Шварца . ^[35]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle M\subset {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных и в квадрате :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Помимо того, что ряды Фурье на квадрате полезны для решения уравнений с частными производными, таких как уравнение теплопроводности, одно из заметных применений рядов Фурье на квадрате — сжатие изображений . В частности, стандарт сжатия изображений JPEG использует двумерное дискретное косинусное преобразование , дискретную форму косинусного преобразования Фурье , которая использует только косинус в качестве базисной функции.

Для двумерных массивов с шахматным расположением половина коэффициентов ряда Фурье исчезает из-за дополнительной симметрии. ^[36]

Трехмерная решетка Бравэ определяется как набор векторов вида: где — целые числа, а — три линейно независимых вектора. Предполагая, что у нас есть некоторая функция, , такая, что она подчиняется условию периодичности для любого вектора решетки Бравэ , , мы могли бы составить ряд Фурье для нее. Такого рода функцией может быть, например, эффективный потенциал, который один электрон «чувствует» внутри периодического кристалла. Полезно составить ряд Фурье для потенциала при применении теоремы Блоха . Во-первых, мы можем записать любой произвольный вектор положения в системе координат решетки: где значение , которое определяется как величина , поэтому единичный вектор направлен вдоль .$${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

Таким образом, мы можем определить новую функцию,$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Эта новая функция, , теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность , , и соответственно:${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{3}}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

Это позволяет нам построить набор коэффициентов Фурье, каждый из которых индексируется тремя независимыми целыми числами . В дальнейшем мы используем нотацию функций для обозначения этих коэффициентов, тогда как ранее мы использовали индексы. Если мы запишем ряд для на интервале для , мы можем определить следующее:${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

И тогда мы можем написать:$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

Дальнейшее определение:$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$