Теорема о вычетах

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Комплексные числа
Реальное число Мнимое число Комплексная плоскость Комплексно сопряженный Единичное комплексное число
Комплексные функции
Комплекснозначная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши–Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюса Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Лорана Изолированная сингулярность Теорема о вычетах Принцип аргументации Конформная карта лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риман Карл Вейерштрасс
Математический портал
в т е

В комплексном анализе теорема о вычетах , иногда называемая теоремой о вычетах Коши , является мощным инструментом для вычисления линейных интегралов аналитических функций по замкнутым кривым; ее часто можно использовать для вычисления действительных интегралов и бесконечных рядов . Она обобщает интегральную теорему Коши и интегральную формулу Коши . Теорему о вычетах не следует путать с частными случаями обобщенной теоремы Стокса ; однако последняя может быть использована в качестве компонента ее доказательства.

Заявление выглядит следующим образом:

Пусть будет односвязным открытым подмножеством комплексной плоскости, содержащим конечный список точек и функцию, голоморфную на Пусть будет замкнутой спрямляемой кривой в и обозначим вычет в каждой точке через , а число оборотов вокруг через , интеграл по окружности вокруг равен умноженному на сумму вычетов, каждый из которых подсчитывается столько раз, сколько оборотов вокруг соответствующей точки:${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetминус \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}.}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle U_{0},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle а_{к}}$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle а_{к}}$${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k}),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle 2\пи i}$${\displaystyle \гамма}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

Если — положительно ориентированная простая замкнутая кривая , то это если находится внутри, а если нет, то${\displaystyle \гамма}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle а_{к}}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

с суммой по тем, что внутри ^[1]${\displaystyle а_{к}}$${\displaystyle \гамма .}$

Связь теоремы о вычетах с теоремой Стокса задается теоремой о жордановой кривой . Общая плоская кривая γ должна быть сначала сведена к набору простых замкнутых кривых , сумма которых эквивалентна для целей интегрирования; это сводит задачу к нахождению интеграла вдоль жордановой кривой с внутренней частью Требование голоморфности на эквивалентно утверждению, что внешняя производная на Таким образом, если две плоские области и охватывают одно и то же подмножество областей и целиком лежат в , то${\displaystyle \{\gamma _{i}\}}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle f\,dz}$${\displaystyle \гамма _{i}}$${\displaystyle В.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U_{0}=U\smallsetминус \{a_{k}\}}$ ${\displaystyle d(f\,dz)=0}$${\displaystyle U_{0}.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{a_{j}\}}$${\displaystyle \{a_{k}\},}$${\displaystyle V\smallsetminus W}$${\displaystyle W\smallsetminus V}$${\displaystyle U_{0},}$

$${\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)}$$

хорошо определен и равен нулю. Следовательно, контурный интеграл по равен сумме набора интегралов по путям, каждый из которых охватывает произвольно малую область вокруг одного — вычеты (с точностью до условного множителя при Суммируя по , мы получаем окончательное выражение контурного интеграла через числа витков${\displaystyle f\,dz}$${\displaystyle \gamma _{j} =\partial V}$${\displaystyle \гамма _{j},}$${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 2\пи i}$${\displaystyle \{a_{j}\}.}$${\displaystyle \{\gamma _{j}\},}$${\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.}$

Для оценки действительных интегралов теорема о вычетах используется следующим образом: подынтегральное выражение расширяется до комплексной плоскости и вычисляются его вычеты (что обычно легко), а часть действительной оси расширяется до замкнутой кривой путем присоединения полуокружности в верхней или нижней полуплоскости, образуя полуокружность. Интеграл по этой кривой затем может быть вычислен с помощью теоремы о вычетах. Часто полуокружная часть интеграла будет стремиться к нулю по мере увеличения радиуса полуокружности, оставляя только часть действительной оси интеграла, которая нас изначально интересовала.

Предположим, что задан проколотый диск D = { z  : 0 < | z − c | < R } в комплексной плоскости, а f — голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на D . Вычет Res( f , c ) функции f в точке c является коэффициентом a ₋₁ функции ( z − c ) ⁻¹ в разложении ряда Лорана функции f вокруг точки c . Существуют различные методы вычисления этого значения, и выбор метода зависит от рассматриваемой функции и характера сингулярности.

Согласно теореме о вычетах имеем:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

где γ описывает окружность вокруг c против часовой стрелки и не проходит через другие сингулярности или не содержит их внутри. Мы можем выбрать путь γ как окружность радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть сколь угодно малым, его можно сделать содержащим только сингулярность c из-за природы изолированных сингулярностей. Это может быть использовано для вычисления в случаях, когда интеграл может быть вычислен напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения вычисления интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функцию f можно продолжить до голоморфной функции на всем круге , то Res( f ,  c ) = 0. Обратное утверждение, как правило, неверно.${\displaystyle |yc|<R}$

Простые столбы

Если c — простой полюс f , то остаток f определяется по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(zc)f(z).}$

Если этот предел не существует, то f вместо этого имеет существенную особенность в c . Если предел равен 0, то f либо аналитична в c , либо имеет там устранимую особенность. Если предел равен бесконечности, то порядок полюса выше 1.

Возможно, что функция f может быть выражена как частное двух функций , где g и h являются голоморфными функциями в окрестности c , причем h ( c ) = 0 и  h( c ) ≠ 0. В таком случае можно использовать правило Лопиталя для упрощения приведенной выше формулы до:${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Предельная формула для полюсов высшего порядка

В более общем случае, если c — полюс порядка n , то вычет f относительно z = c можно найти по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Эта формула может быть очень полезна при определении остатков для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка вычисления могут стать неуправляемыми, и разложение в ряд обычно проще. Для существенных сингулярностей такой простой формулы не существует, и остатки обычно должны быть взяты непосредственно из разложений в ряд.

Остаток на бесконечности

В общем случае остаток на бесконечности определяется как:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Если выполняется следующее условие:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

тогда остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Если вместо этого

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

тогда остаток на бесконечности равен

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Для функций, мероморфных на всей комплексной плоскости с конечным числом особенностей, сумма вычетов в (обязательно) изолированных особенностях плюс вычет на бесконечности равна нулю, что дает:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

Методы серий

Если части или всю функцию можно разложить в ряд Тейлора или ряд Лорана , что может быть возможным, если части или всю функцию можно разложить в стандартный ряд, то вычисление остатка значительно проще, чем другими методами. Остаток функции просто задается коэффициентом в разложении функции в ряд Лорана .${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Интеграл$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

возникает в теории вероятностей при вычислении характеристической функции распределения Коши . Она не поддается методам элементарного исчисления , но может быть оценена путем выражения ее как предела контурных интегралов .

Предположим, что t > 0 , и определим контур C , который идет вдоль действительной линии от − a до a , а затем против часовой стрелки вдоль полуокружности с центром в 0 от a до − a . Возьмем a больше 1, так что мнимая единица i заключена внутри кривой. Теперь рассмотрим контурный интеграл$${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Поскольку e ^itz является целой функцией (не имеющей особенностей ни в одной точке комплексной плоскости), эта функция имеет особенности только там, где знаменатель z ² + 1 равен нулю. Поскольку z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , это происходит только там, где z = i или z = − i . Только одна из этих точек находится в области, ограниченной этим контуром. Поскольку f ( z ) является вычетом f ( z ) в точке z = i , то$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

Согласно теореме о вычетах, тогда мы имеем$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

Контур C можно разбить на прямую часть и криволинейную дугу, так что и, таким образом,$${\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}}$$$${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}$$

Используя некоторые оценки , мы имеем и$${\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},}$$$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}$$

Оценка числителя следует, поскольку t > 0 , а для комплексных чисел z вдоль дуги (которая лежит в верхней полуплоскости) аргумент φ числа z лежит между 0 и π . Таким образом,$${\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}$$

Поэтому,$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}$$

Если t < 0 , то аналогичное рассуждение с дугой C ′, которая обвивается вокруг − i, а не i, показывает, что

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},}$$

и наконец у нас есть$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$$

(Если t = 0 , то интеграл немедленно поддается элементарным методам исчисления и его значение равно π .)

Тот факт, что π cot( πz ) имеет простые полюса с вычетом 1 в каждом целом числе, можно использовать для вычисления суммы$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}$$

Рассмотрим, например, f ( z ) = z ⁻² . Пусть Γ _N будет прямоугольником, который является границей [− N − ⁠1/2⁠ , Н + ⁠1/2⁠ ] ² с положительной ориентацией, с целым числом N. По формуле вычета,

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}$$

Левая часть стремится к нулю при N → ∞ , поскольку равномерно ограничена на контуре благодаря использованию на левой и правой стороне контура, и поэтому подынтегральное выражение имеет порядок по всему контуру. С другой стороны, ^[2]${\displaystyle |\cot(\pi z)|}$${\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)}$${\displaystyle O(N^{-2})}$

$${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$$где число Бернулли ${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}.}$

(На самом деле, ⁠з/2⁠ детская кроватка( ⁠з/2⁠ ) ​​= ⁠из/1 − е ^{− из}⁠ − ⁠из/2⁠ .) Таким образом, остаток Res _{z =0} равен − ⁠π ²/3⁠ . Мы заключаем:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$что является доказательством Базельской проблемы .

Тот же аргумент работает для всех случаев, где — положительное целое число, что дает нам Этот трюк не работает, когда , поскольку в этом случае остаток в нуле обращается в нуль, и мы получаем бесполезное тождество .${\displaystyle f(x)=x^{-2n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}$$${\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}}$${\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}$

Тот же прием можно использовать для определения суммы ряда Эйзенштейна :$${\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}$$

• Остаток (комплексный анализ)
• Интегральная формула Коши
• Основная теорема Глассера
• Лемма Жордана
• Методы контурной интеграции
• Теорема Мореры
• Теорема Нахбина
• Остаток на бесконечности
• Логарифмическая форма

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
• Линделеф, Эрнст Л. (1905). Le Calcul des Résidus et ses Applications à la theorie des fonctions (на французском языке). Издания Жака Габе (опубликовано в 1989 г.). ISBN 2-87647-060-8.
• Митринович, Драгослав; Кечкич, Йован (1984). Метод остатков Коши: Теория и приложения . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1920). Курс современного анализа (3-е изд.). Cambridge University Press.

• «Интегральная теорема Коши», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Теорема вычета в MathWorld