Теорема обращения Фурье

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Теорема об обращении Фурье» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике теорема об обращении Фурье гласит, что для многих типов функций можно восстановить функцию из ее преобразования Фурье . Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем всю информацию о частоте и фазе волны, то мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция, удовлетворяющая определенным условиям, и мы используем соглашение для преобразования Фурье , что ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi):=\int _ {\mathbb {R}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\, ды,}$

затем

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi)\,d\ xi .}$

Другими словами, теорема гласит, что

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Это последнее уравнение называется интегральной теоремой Фурье .

Другой способ сформулировать теорему состоит в том, что если — оператор переворота , т.е. , то ${\displaystyle R}$${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

Теорема верна, если и ее преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега ) и непрерывно в точке . Однако даже при более общих условиях справедливы версии теоремы об обращении Фурье. В этих случаях интегралы выше могут не сходиться в обычном смысле.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

В этом разделе мы предполагаем, что является интегрируемой непрерывной функцией. Используйте соглашение для преобразования Фурье, что ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Наиболее распространенное утверждение теоремы обращения Фурье — это утверждение обратного преобразования как интеграла. Для любой интегрируемой функции и всех множеств${\displaystyle g}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Тогда, несмотря на все, что у нас есть,${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Теорему можно переформулировать так:

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Взяв действительную часть ^[1] каждой стороны вышеприведенного уравнения, получаем

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Для любой функции определим оператор переворота ^[2] следующим образом:${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Тогда мы можем вместо этого определить

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

Из определения преобразования Фурье и оператора переворота сразу следует, что и соответствуют интегральному определению и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют .${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

Так как у нас есть и${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f}$${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}$

Форма теоремы об обращении Фурье, изложенная выше, как это обычно бывает, такова:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Другими словами, является левым обратным для преобразования Фурье. Однако это также и правый обратный для преобразования Фурье, т.е.${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Поскольку очень похоже на , это очень легко следует из теоремы обращения Фурье (замена переменных ):${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \zeta :=-\xi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

С другой стороны, это можно увидеть из связи между оператором флипа и ассоциативностью композиции функций , поскольку${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

При использовании в физике и технике теорема об обращении Фурье часто применяется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы не допускаются, и теорема об обращении Фурье включает в себя явное указание того, какой класс функций допускается. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы об обращении Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Теорема обращения Фурье справедлива для всех функций Шварца (грубо говоря, гладких функций, которые быстро затухают и чьи производные все быстро затухают). Это условие имеет то преимущество, что оно является элементарным прямым утверждением о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье и его обратное, абсолютно интегрируемы. Эта версия теоремы используется в доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. ниже).

Теорема обращения Фурье справедлива для всех непрерывных функций, которые абсолютно интегрируемы (т.е. ) с абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье. Это включает все функции Шварца, поэтому является строго более сильной формой теоремы, чем предыдущая упомянутая. Это условие используется выше в разделе утверждений.${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Небольшой вариант — отказаться от условия непрерывности функции, но все же потребовать, чтобы она и ее преобразование Фурье были абсолютно интегрируемы. Тогда почти всюду, где g — непрерывная функция, и для любого .${\displaystyle f}$${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Кусочно-гладкий; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т.е. ) и является кусочно-гладкой, то имеет место версия теоремы об обращении Фурье. В этом случае мы определяем${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Тогда для всех${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

т.е. равно среднему значению левого и правого пределов при . В точках, где непрерывна, это просто равно .${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

Аналог этой формы теоремы для более высоких измерений также справедлив, но, по словам Фолланда (1992), он «довольно деликатен и не слишком полезен».

Кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т.е. ), но просто кусочно-непрерывна, то версия теоремы об обращении Фурье все еще верна. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не резкой функции обрезания; в частности, мы определяем${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

Заключение теоремы тогда такое же, как и для кусочно-гладкого случая, рассмотренного выше.

Непрерывный; любое количество измерений

Если непрерывна и абсолютно интегрируема на , то теорема об обращении Фурье остается верной до тех пор, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой функцией среза, т.е. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

Вывод теперь прост: для всех${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если мы отбросим все предположения о (кусочной) непрерывности и предположим только, что она абсолютно интегрируема, то версия теоремы все еще остается в силе. Обратное преобразование снова определяется с гладким отсечением, но с выводом, что ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

почти для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено непосредственно как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. статью о преобразовании Фурье ). Например, положив

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

мы можем установить, где предел берется в -норме. Обратное преобразование может быть определено плотностью таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворота. Тогда мы имеем${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

в среднеквадратической норме . В одном измерении (и только в одном измерении) можно также показать, что он сходится почти для всех x ∈ℝ — это теорема Карлесона , но доказать ее гораздо сложнее, чем сходимость в среднеквадратической норме.

Преобразование Фурье может быть определено на пространстве умеренных распределений с помощью двойственности преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. В частности, для и для всех тестовых функций мы устанавливаем${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

где определяется с помощью интегральной формулы. ^[3] Если то это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование либо по двойственности из обратного преобразования на функциях Шварца таким же образом, либо определив его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда мы имеем${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Теорема обращения Фурье аналогична сходимости рядов Фурье . В случае преобразования Фурье имеем

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

В случае ряда Фурье мы вместо этого имеем

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

В частности, в одном измерении сумма равна от до .${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

В приложениях преобразования Фурье теорема об обращении Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторой операции или упрощения, а затем применении обратного преобразования Фурье.

Более абстрактно, теорема об обращении Фурье — это утверждение о преобразовании Фурье как операторе (см. Преобразование Фурье на функциональных пространствах ). Например, теорема об обращении Фурье на показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на .${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

• Оснащенное гильбертово пространство
• Волновой пакет

• Фолланд, Джеральд Б. (1992). Анализ Фурье и его приложения . Пасифик Гроув, Калифорния: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-17094-3.
• Фолланд, ГБ (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-04361-6.