Безразмерные числа в механике жидкости

Безразмерные числа (или характеристические числа ) играют важную роль в анализе поведения жидкостей и их потока, а также в других явлениях переноса . ^[1] Они включают числа Рейнольдса и, которые описывают как отношения относительную величину характеристик жидкости и физической системы, таких как плотность , вязкость , скорость звука и скорость потока . Чтобы сравнить реальную ситуацию (например, самолет ) с маломасштабной моделью, необходимо сохранить важные характеристические числа теми же. Названия и формулировка этих чисел были стандартизированы в ISO 31-12 и в ISO 80000-11 .

В качестве общего примера того, как безразмерные числа возникают в механике жидкости, классические числа в явлениях переноса массы , импульса и энергии в основном анализируются с помощью отношения эффективных коэффициентов диффузии в каждом механизме переноса. Шесть безразмерных чисел дают относительные силы различных явлений инерции , вязкости , кондуктивного переноса тепла и диффузионного переноса массы . (В таблице диагонали дают общие символы для величин, а данное безразмерное число является отношением величины левого столбца к величине верхней строки; например, Re = инерционная сила/вязкая сила = vd / ν .) Эти же величины могут быть альтернативно выражены как отношения характерных масштабов времени, длины или энергии. Такие формы реже используются на практике, но могут дать представление о конкретных приложениях.

Формирование капель в основном зависит от импульса, вязкости и поверхностного натяжения. ^[2] Например, при струйной печати чернила со слишком высоким числом Онезорге не будут выбрасываться должным образом, а чернила со слишком низким числом Онезорге будут выбрасываться со множеством сопутствующих капель. ^[3] Не все количественные соотношения явно названы, хотя каждое из неназванных соотношений может быть выражено как произведение двух других названных безразмерных чисел.

Все числа являются безразмерными величинами . См. другую статью для получения обширного списка безразмерных величин . Некоторые безразмерные величины , имеющие некоторое значение для механики жидкости, приведены ниже:

Имя	Стандартный символ	Определение	Область применения
число Архимеда	Ар	${\displaystyle \mathrm {Ar} = {\frac {gL^{3}\rho _ {\ell }(\rho -\rho _{\ell })}{\mu ^{2}}}}$	механика жидкости (движение жидкостей из-за разницы плотностей )
Число Этвуда	А	${\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}+\rho _{2}}}}$	механика жидкости (возникновение неустойчивости в смесях жидкостей из-за разницы в плотности )
Число Беяна ( механика жидкости )	Быть	${\displaystyle \mathrm {Be} = {\frac {\Delta PL^{2}}{\mu \alpha }}}$	механика жидкости (безразмерный перепад давления вдоль канала ) [4]
число Бингама	Бм	${\ displaystyle \ mathrm {Bm} = {\ frac {\ tau _ {y} L {\ mu V}}}$	механика жидкости , реология (отношение предела текучести к вязкому напряжению) [5]
Число Биота	Би	${\ displaystyle \ mathrm {Bi} = {\ frac {hL_ {C}} {k_ {b}}}}$	теплопередача (поверхностная и объемная теплопроводность твердых тел)
Число Блейка	Бл или Б	${\displaystyle \mathrm {B} = {\frac {u\rho {\mu (1-\epsilon)D}}}$	геология , механика жидкости , пористые среды (силы инерции над силами вязкости при течении жидкости через пористые среды)
Номер облигации	Бо	${\displaystyle \mathrm {Bo} = {\frac {\rho aL^{2}}{\gamma }}}$	геология , механика жидкости , пористые среды ( выталкивающие и капиллярные силы, аналогично числу Этвеша ) [6]
Число Бринкмана	Бр	${\displaystyle \mathrm {Br} = {\frac {\mu U^{2}}{\kappa (T_{w}-T_{0})}}}$	теплопередача , механика жидкости ( передача тепла от стенки к вязкой жидкости )
Номер бургера	Бу	${\displaystyle \mathrm {Bu} =\left({\dfrac {\mathrm {Ro} {\mathrm {Fr} }}\right)^{2}}$	метеорология , океанография (стратификация плотности в зависимости от вращения Земли )
Число Браунелла–Каца	Н БК	${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathrm {BK} }={\frac {u\mu }{k_ {\mathrm {rw} }\sigma }}}$	механика жидкости (комбинация капиллярного числа и числа Бонда ) [7]
Капиллярное число	Ca	${\displaystyle \mathrm {Ca} = {\frac {\mu V}{\gamma }}}$	пористые среды , механика жидкости ( вязкие силы против поверхностного натяжения )
Число Коши	Ca	${\displaystyle \mathrm {Ca} = {\frac {\rho u^{2}}{K}}}$	сжимаемые потоки ( силы инерции против силы сжимаемости)
Число кавитации	Ca	${\displaystyle \mathrm {Ca} = {\frac {p-p_{\mathrm {v} }}{{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}}}$	многофазный поток ( гидродинамическая кавитация , давление над динамическим давлением )
Число Чандрасекара	С	${\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {B^{2}L^{2}}{\mu _{o}\mu D_{M}}}}$	гидромагнетизм ( сила Лоренца против вязкости )
Факторы Колберна J	Дж М , Дж Х , Дж Д		турбулентность ; перенос тепла , массы и импульса (безразмерные коэффициенты переноса)
число Дамкёлера	Да	${\displaystyle \mathrm {Da} =k\tau }$	химия (масштабы времени реакции в зависимости от времени пребывания)
Коэффициент трения Дарси	C ф или ф D		механика жидкости (доля потерь давления из-за трения в трубе ; четырехкратный коэффициент трения Фэннинга )
Номер декана	Д	${\displaystyle \mathrm {D} ={\frac {\rho Vd}{\mu }}\left({\frac {d}{2R}}\right)^{1/2}}$	турбулентный поток ( вихри в изогнутых каналах)
Число Деборы	Де	${\displaystyle \mathrm {De} ={\frac {t_{\mathrm {c} }}{t_{\mathrm {p} }}}}$	реология ( вязкоупругие жидкости)
Коэффициент лобового сопротивления	в д	${\displaystyle c_{\mathrm {d} }={\dfrac {2F_{\mathrm {d} }}{\rho v^{2}A}}\,,}$	аэронавтика , гидродинамика (сопротивление движению жидкости)
Число Экерта	Ес	${\displaystyle \mathrm {Ec} ={\frac {V^{2}}{c_{p}\Delta T}}}$	конвективный теплообмен ( характеризует рассеивание энергии ; отношение кинетической энергии к энтальпии )
Число Этвеша	Эо	${\displaystyle \mathrm {Eo} ={\frac {\Delta \rho \,g\,L^{2}}{\sigma }}}$	механика жидкости (форма пузырьков или капель )
Число Эриксена	Э-э	${\displaystyle \mathrm {Er} ={\frac {\mu vL}{K}}}$	динамика жидкости ( поведение потока жидких кристаллов ; вязкостные силы над упругими )
Число Эйлера	Евросоюз	${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta {}p}{\rho V^{2}}}}$	гидродинамика ( давление потока против сил инерции )
Коэффициент превышения температуры	${\displaystyle \Theta _{r}}$	${\displaystyle \Theta _{r}={\frac {c_{p}(T-T_{e})}{U_{e}^{2}/2}}}$	теплопередача , динамика жидкости (изменение внутренней энергии по сравнению с кинетической энергией ) [8]
Коэффициент трения Фэннинга	ф		механика жидкости (доля потерь давления из- за трения в трубе ; 1/4 коэффициента трения Дарси ) [9]
Число Фруда	Пт	${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g\ell }}}}$	механика жидкости ( волновое и поверхностное поведение; отношение инерции тела к силам гравитации )
число Галилея	Га	${\displaystyle \mathrm {Ga} ={\frac {g\,L^{3}}{\nu ^{2}}}}$	механика жидкости ( гравитационные силы над силами вязкости )
Число Гертлера	Г	${\displaystyle \mathrm {G} ={\frac {U_{e}\theta }{\nu }}\left({\frac {\theta }{R}}\right)^{1/2}}$	динамика жидкости ( течение в пограничном слое вдоль вогнутой стенки)
Номер Гарсиа-Атанса	Г А	${\displaystyle \mathrm {G_{A}} ={\frac {p-p_{v}}{\rho aL}}}$	фазовый переход ( начало ультразвуковой кавитации , отношение давлений к давлению из-за ускорения)
число Гретца	Гз	${\displaystyle \mathrm {Gz} ={D_{H} \over L}\mathrm {Re} \,\mathrm {Pr} }$	теплопередача , механика жидкости ( ламинарный поток через трубопровод; также используется в массопереносе )
Число Грасгофа	Гр	${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}}$	теплопередача , естественная конвекция (отношение силы плавучести к силе вязкости )
Число Хартмана	Ха	${\displaystyle \mathrm {Ha} =BL\left({\frac {\sigma }{\rho \nu }}\right)^{\frac {1}{2}}}$	магнитогидродинамика (отношение сил Лоренца к силам вязкости )
Число Хагена	рт.ст.	${\displaystyle \mathrm {Hg} =-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}{\frac {L^{3}}{\nu ^{2}}}}$	теплопередача (отношение плавучести к силе вязкости при вынужденной конвекции )
Число Ирибаррена	Ир	${\displaystyle \mathrm {Ir} ={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {H/L_{0}}}}}$	волновая механика (обрушение поверхностных гравитационных волн на склоне)
Число Якоба	Да	${\displaystyle \mathrm {Ja} ={\frac {c_{p,f}(T_{w}-T_{sat})}{h_{fg}}}}$	теплопередача (отношение явного тепла к скрытому теплу во время фазовых переходов )
Число Карловица	Ка	${\displaystyle \mathrm {Ka} =kt_{c}}$	турбулентное горение (характерное время потока, умноженное на скорость распространения пламени)
Число Капицы	Ка	${\displaystyle \mathrm {Ka} ={\frac {\sigma }{\rho (g\sin \beta )^{1/3}\nu ^{4/3}}}}$	механика жидкости (тонкая пленка жидкости стекает по наклонным поверхностям)
Число Кейлегана–Карпентера	К С	${\displaystyle \mathrm {K_{C}} ={\frac {V\,T}{L}}}$	гидродинамика (отношение силы сопротивления к инерции для плохо обтекаемого объекта в колебательном потоке жидкости)
Число Кнудсена	Кн	${\displaystyle \mathrm {Kn} ={\frac {\lambda }{L}}}$	газодинамика (отношение средней длины свободного пробега молекул к репрезентативной физической шкале длины)
Число Кутателадзе	Ку	${\displaystyle \mathrm {Ku} ={\frac {U_{h}\rho _{g}^{1/2}}{\left({\sigma g(\rho _{l}-\rho _{g})}\right)^{1/4}}}}$	механика жидкости (противоточное двухфазное течение ) [10]
число Лапласа	Ла	${\displaystyle \mathrm {La} ={\frac {\sigma \rho L}{\mu ^{2}}}}$	динамика жидкости ( свободная конвекция в несмешивающихся жидкостях; отношение поверхностного натяжения к импульсу - перенос)
Число Льюиса	Ле	${\displaystyle \mathrm {Le} ={\frac {\alpha }{D}}={\frac {\mathrm {Sc} }{\mathrm {Pr} }}}$	тепло- и массоперенос (отношение температуропроводности к массопроводности )
Коэффициент подъемной силы	С Л	${\displaystyle C_{\mathrm {L} }={\frac {L}{q\,S}}}$	аэродинамика ( подъемная сила , создаваемая аэродинамическим профилем при заданном угле атаки )
Параметр Локхарта–Мартинелли	${\displaystyle \chi }$	${\displaystyle \chi ={\frac {m_{\ell }}{m_{g}}}{\sqrt {\frac {\rho _{g}}{\rho _{\ell }}}}}$	двухфазный поток (поток влажных газов ; жидкая фракция) [11]
число Маха	М или Ма	${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {v}{v_{\mathrm {sound} }}}}$	газовая динамика ( сжимаемый поток ; безразмерная скорость )
Число Марангони	Мг	${\displaystyle \mathrm {Mg} =-{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} T}}{\frac {L\Delta T}{\eta \alpha }}}$	механика жидкости ( течение Марангони ; тепловые силы поверхностного натяжения над силами вязкости )
Число Маркштейна	Ма	${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {L_{b}}{l_{f}}}}$	турбулентность , горение (длина Маркштейна к толщине ламинарного пламени)
Число Мортона	Мо	${\displaystyle \mathrm {Mo} ={\frac {g\mu _{c}^{4}\,\Delta \rho }{\rho _{c}^{2}\sigma ^{3}}}}$	динамика жидкости (определение формы пузырька / капли )
Число Нуссельта	Ню	${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hd}{k}}}$	теплопередача (принудительная конвекция ; отношение конвективной теплопередачи к кондуктивной )
Число Онезорге	Ой	${\displaystyle \mathrm {Oh} ={\frac {\mu }{\sqrt {\rho \sigma L}}}={\frac {\sqrt {\mathrm {We} }}{\mathrm {Re} }}}$	гидродинамика (распыление жидкостей, течение Марангони )
Число Пекле	Пе	${\displaystyle \mathrm {Pe} ={\frac {Lu}{D}}}$или${\displaystyle \mathrm {Pe} ={\frac {Lu}{\alpha }}}$	механика жидкости (отношение скорости адвективного переноса к скорости молекулярно-диффузионного переноса), теплопередача (отношение скорости адвективного переноса к скорости термодиффузионного переноса)
Число Прандтля	Пр	${\displaystyle \mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {c_{p}\mu }{k}}}$	теплопередача (отношение скорости вязкой диффузии к скорости термодиффузии )
Коэффициент давления	С П	${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}$	аэродинамика , гидродинамика ( давление, испытываемое в точке на аэродинамическом профиле ; безразмерная переменная давления)
Число Рэлея	Ра	${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}}$	теплопередача ( выталкивающая сила против сил вязкости при свободной конвекции )
Число Рейнольдса	Повторно	${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {UL\rho }{\mu }}={\frac {UL}{\nu }}}$	механика жидкости (соотношение сил инерции и вязкости жидкости ) [5]
Число Ричардсона	Ри	${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {gh}{U^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}}$	динамика жидкости (влияние плавучести на устойчивость потока; отношение потенциальной энергии к кинетической ) [12]
Число Рошко	Ро	${\displaystyle \mathrm {Ro} ={fL^{2} \over \nu }=\mathrm {St} \,\mathrm {Re} }$	гидродинамика ( колебательный поток, вихреобразование )
Номер Россби	Ро	${\displaystyle {\text{Ro}}={\frac {U}{Lf}},}$	поток жидкости ( геофизика , отношение силы инерции к силе Кориолиса )
Число Шмидта	Сц	${\displaystyle \mathrm {Sc} ={\frac {\nu }{D}}}$	массоперенос ( вязкостная скорость диффузии по молекулярной ) [13]
Фактор формы	ЧАС	${\displaystyle H={\frac {\delta ^{*}}{\theta }}}$	течение в пограничном слое (отношение толщины вытеснения к толщине импульса)
Число Шервуда	Ш.	${\displaystyle \mathrm {Sh} ={\frac {KL}{D}}}$	массоперенос ( вынужденная конвекция ; отношение конвективного к диффузионному переносу массы)
Число Зоммерфельда	С	${\displaystyle \mathrm {S} =\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}{\frac {\mu N}{P}}}$	гидродинамическая смазка (граничная смазка ) [14]
Число Стэнтона	Св.	${\displaystyle \mathrm {St} ={\frac {h}{c_{p}\rho V}}={\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Re} \,\mathrm {Pr} }}}$	теплопередача и гидродинамика (вынужденная конвекция )
Число Стокса	Сток или Ск	${\displaystyle \mathrm {Stk} ={\frac {\tau U_{o}}{d_{c}}}}$	суспензии частиц (отношение характерного времени частицы ко времени течения)
Число Струхаля	Св.	${\displaystyle \mathrm {St} ={\frac {fL}{U}}}$	Образование вихрей (отношение характерной колебательной скорости к скорости окружающего потока)
Число Стюарта	Н	${\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {B^{2}L_{c}\sigma }{\rho U}}={\frac {\mathrm {Ha} ^{2}}{\mathrm {Re} }}}$	магнитогидродинамика (соотношение электромагнитных сил и сил инерции)
Число Тейлора	Та	${\displaystyle \mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega ^{2}R^{4}}{\nu ^{2}}}}$	гидродинамика (вращающиеся потоки жидкости; инерционные силы, возникающие из-за вращения жидкости , по сравнению с силами вязкости )
Число Урселла	У	${\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}}$	волновая механика (нелинейность поверхностных гравитационных волн на мелком слое жидкости)
Параметр Уоллиса	дж ∗	${\displaystyle j^{*}=R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}}$	многофазные потоки (безразмерная поверхностная скорость ) [15]
Число Вебера	Мы	${\displaystyle \mathrm {We} ={\frac {\rho v^{2}l}{\sigma }}}$	многофазный поток (сильно искривленные поверхности; отношение инерции к поверхностному натяжению )
Число Вайссенберга	Вай	${\displaystyle \mathrm {Wi} ={\dot {\gamma }}\lambda }$	вязкоупругие потоки ( скорость сдвига , умноженная на время релаксации) [16]
Число Вомерсли	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}}$	Механика биожидкости (непрерывные и пульсирующие потоки; отношение частоты пульсирующего потока к вязким эффектам ) [17]
Число Зельдовича	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \beta ={\frac {E}{RT_{f}}}{\frac {T_{f}-T_{o}}{T_{f}}}}$	гидродинамика , горение (мера энергии активации )

• Tropea, C.; Yarin, AL; Foss, JF (2007). Springer Handbook of Experimental Fluid Mechanics . Springer-Verlag.