Жидкость Гершеля-Балкли

Жидкость Гершеля -Балкли представляет собой обобщенную модель неньютоновской жидкости , в которой деформация , испытываемая жидкостью, связана с напряжением сложным нелинейным образом. Эту связь характеризуют три параметра: консистенция k , индекс текучести n и предел текучести при сдвиге . Консистенция является простой константой пропорциональности, в то время как индекс текучести измеряет степень, в которой жидкость истончается или загустевает при сдвиге. Обычная краска является одним из примеров жидкости, истончающейся при сдвиге, в то время как oobleck обеспечивает одну реализацию жидкости, загустевающей при сдвиге. Наконец, предел текучести количественно определяет величину напряжения, которое может испытывать жидкость, прежде чем она потечет и начнет течь. τ 0 {\displaystyle \тау _{0}}

Эта модель неньютоновской жидкости была введена Уинслоу Гершелем и Рональдом Балкли в 1926 году. [1] [2]

Определение

В одном измерении основное уравнение модели Гершеля-Балкли после достижения предела текучести можно записать в виде: [3] [4]

γ ˙ = 0 , я ф   τ < τ 0 {\displaystyle {\dot {\gamma }}=0,\qquad \qquad \mathrm {if} \ \tau <\tau _{0}}
τ = τ 0 + к γ ˙ н , я ф   τ ≥ τ 0 {\displaystyle \tau =\tau _{0}+k{\dot {\gamma }}^{n},\qquad \mathrm {if} \ \tau \geq \tau _{0}}

где — напряжение сдвига [Па], предел текучести [Па], индекс консистенции [Па с ], скорость сдвига [с ] и индекс течения [безразмерный]. Если жидкость Гершеля-Балкли ведет себя как жесткое (недеформируемое) твердое тело, в противном случае она ведет себя как жидкость. Для жидкость является разжижающейся при сдвиге, тогда как для жидкость является загустевающей при сдвиге. Если и , эта модель сводится к модели ньютоновской жидкости . τ {\displaystyle \тау} τ 0 {\displaystyle \тау _{0}} к {\displaystyle к} ⋅ {\displaystyle \cdot} н {\displaystyle ^{н}} γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}} − 1 {\displaystyle ^{-1}} н {\displaystyle n} τ < τ 0 {\displaystyle \тау <\тау _{0}} н < 1 {\displaystyle n<1} н > 1 {\displaystyle n>1} н = 1 {\displaystyle n=1} τ 0 = 0 {\displaystyle \тау _{0}=0}

Переформулировав это как тензор, мы можем вместо этого записать:

γ ˙ _ _ = 0 , я ф   | τ _ _ | < τ 0 {\displaystyle {\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}=0,\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {если} \ |{\underline {\underline {\tau }}}|<\tau _{0}}
τ _ _ = ( τ 0 | γ ˙ _ _ | + к | γ ˙ _ _ | н − 1 ) γ ˙ _ _ , я ф   | τ _ _ | ≥ τ 0 {\displaystyle {\underline {\underline {\tau }}}=\left({\frac {\tau _{0}}{|{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|}}+k|{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|^{n-1}\right){\underline {\underline {\dot {\gamma }}}},\qquad \qquad \mathrm {если} \ |{\underline {\underline {\tau }}}|\geq \tau _{0}}

где обозначает второй инвариант тензора скорости деформации . Обратите внимание, что двойное подчеркивание указывает на тензорную величину. | γ ˙ _ _ | = 1 2 ∑ я ∑ дж γ ˙ я дж γ ˙ я дж {\displaystyle |{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|={\sqrt {{\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}{\ точка {\gamma }}_{ij}{\dot {\gamma }}_{ij}}}} γ ˙ _ _ {\displaystyle {\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}}

Моделирование жидкостей Гершеля-Балкли с использованием регуляризации

Вязкость, связанная с напряжением Гершеля-Балкли, расходится до бесконечности, когда скорость деформации приближается к нулю. Это расхождение затрудняет реализацию модели в численном моделировании, поэтому обычно реализуют регуляризованные модели с верхней предельной вязкостью. Например, жидкость Гершеля-Балкли можно аппроксимировать как обобщенную модель ньютоновской жидкости с эффективной (или кажущейся) вязкостью, заданной как [5]

μ эфф = { μ 0 , | γ ˙ | ≤ γ ˙ 0 τ 0 | γ ˙ | − 1 + к | γ ˙ | н − 1 , | γ ˙ | ≥ γ ˙ 0 {\displaystyle \mu _{\operatorname {eff} }={\begin{cases}\mu _{0},&|{\dot {\gamma }}|\leq {\dot {\gamma }}_{ 0}\\\tau _{0}|{\dot {\gamma }}|^{-1}+k|{\dot {\gamma }}|^{n-1},&|{\dot { \gamma }}|\geq {\dot {\gamma }}_{0}\end{cases}}}

Здесь предельная вязкость заменяет расхождение при низких скоростях деформации. Ее значение выбирается таким образом, чтобы гарантировать, что вязкость является непрерывной функцией скорости деформации. Большая предельная вязкость означает, что жидкость будет течь только в ответ на большую приложенную силу. Эта особенность отражает поведение жидкости типа Бингама . Невозможно полностью охватить жесткое поведение, описываемое конститутивным уравнением модели Гершеля-Балкли, с помощью регуляризованной модели. Это связано с тем, что конечная эффективная вязкость всегда будет приводить к небольшой степени текучести под воздействием внешних сил (например, гравитации). Таким образом, характерный временной масштаб изучаемого явления является важным соображением при выборе порога регуляризации. μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} μ 0 = k γ ˙ 0 n − 1 + τ 0 γ ˙ 0 − 1 {\displaystyle \mu _{0}=k{\dot {\gamma }}_{0}^{n-1}+\tau _{0}{\dot {\gamma }}_{0}^{-1}}

В несжимаемом потоке тензор вязких напряжений задается как вязкость, умноженная на тензор скорости деформации

τ i j = 2 μ eff ( | γ ˙ | ) E i j = μ eff ( | γ ˙ | ) ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) , {\displaystyle \tau _{ij}=2\mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)E_{ij}=\mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right),}

(Обратите внимание, что это указывает на то, что эффективная вязкость является функцией скорости сдвига.) Кроме того, величина скорости сдвига определяется выражением μ eff ( | γ ˙ | ) {\displaystyle \mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)}

| γ ˙ | = 2 E i j E i j {\displaystyle |{\dot {\gamma }}|={\sqrt {2E_{ij}E^{ij}}}} .

Величина скорости сдвига является изотропным приближением и связана со вторым инвариантом тензора скорости деформации

I I E = t r ( E i j E j k ) = E i j E i j {\displaystyle II_{E}=tr(E_{ij}E^{jk})=E_{ij}E^{ij}} .

Поток канала

Схематическая диаграмма горизонтального потока, управляемого давлением. Поток однонаправлен в направлении градиента давления.

Часто встречающаяся в экспериментах ситуация - это поток в канале, управляемый давлением [6] (см. диаграмму). Эта ситуация демонстрирует равновесие, при котором поток существует только в горизонтальном направлении (вдоль направления градиента давления), а градиент давления и вязкостные эффекты находятся в равновесии. Тогда уравнения Навье-Стокса вместе с реологической моделью сводятся к одному уравнению:

Профиль скорости жидкости Гершеля–Балкли для различных индексов потока n . В каждом случае безразмерное давление равно . Сплошная кривая соответствует обычной ньютоновской жидкости ( течение Пуазейля ), пунктирная кривая соответствует загустевающей при сдвиге жидкости, а пунктирная кривая соответствует разжижающейся при сдвиге жидкости. π 0 = − 10 {\displaystyle \pi _{0}=-10}
∂ p ∂ x = ∂ ∂ z ( μ ∂ u ∂ z ) = { μ 0 ∂ 2 u ∂ z 2 , | ∂ u ∂ z | < γ 0 ∂ ∂ z [ ( k | ∂ u ∂ z | n − 1 + τ 0 | ∂ u ∂ z | − 1 ) ∂ u ∂ z ] , | ∂ u ∂ z | ≥ γ 0 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\,\,\,={\begin{cases}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial {z}^{2}}},&\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|<\gamma _{0}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\left(k\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|^{n-1}+\tau _{0}\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|^{-1}\right){\frac {\partial u}{\partial z}}\right],&\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|\geq \gamma _{0}\end{cases}}}

Для решения этого уравнения необходимо обезразмерить вовлеченные величины. Глубина канала H выбрана в качестве масштаба длины, средняя скорость V взята в качестве масштаба скорости, а масштаб давления взят равным . Этот анализ вводит безразмерный градиент давления P 0 = k ( V / H ) n {\displaystyle P_{0}=k\left(V/H\right)^{n}}

π 0 = H P 0 ∂ p ∂ x , {\displaystyle \pi _{0}={\frac {H}{P_{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}},}

что отрицательно для потока слева направо, а число Бингама:

B n = τ 0 k ( H V ) n . {\displaystyle Bn={\frac {\tau _{0}}{k}}\left({\frac {H}{V}}\right)^{n}.}

Далее область решения разбивается на три части, справедливые для отрицательного градиента давления:

  • Область вблизи нижней стенки, где ; ∂ u / ∂ z > γ 0 {\displaystyle \partial u/\partial z>\gamma _{0}}
  • Область в жидком ядре, где ; | ∂ u / ∂ z | < γ 0 {\displaystyle |\partial u/\partial z|<\gamma _{0}}
  • Область, близкая к верхней стенке, где , ∂ u / ∂ z < − γ 0 {\displaystyle \partial u/\partial z<-\gamma _{0}}

Решение этого уравнения дает профиль скорости:

u ( z ) = { n n + 1 1 π 0 [ ( π 0 ( z − z 1 ) + γ 0 n ) 1 + ( 1 / n ) − ( − π 0 z 1 + γ 0 n ) 1 + ( 1 / n ) ] , z ∈ [ 0 , z 1 ] π 0 2 μ 0 ( z 2 − z ) + k , z ∈ [ z 1 , z 2 ] , n n + 1 1 π 0 [ ( − π 0 ( z − z 2 ) + γ 0 n ) 1 + ( 1 / n ) − ( − π 0 ( 1 − z 2 ) + γ 0 n ) 1 + ( 1 / n ) ] , z ∈ [ z 2 , 1 ] {\displaystyle u\left(z\right)={\begin{cases}{\frac {n}{n+1}}{\frac {1}{\pi _{0}}}\left[\left(\pi _{0}\left(z-z_{1}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}-\left(-\pi _{0}z_{1}+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}\right],&z\in \left[0,z_{1}\right]\\{\frac {\pi _{0}}{2\mu _{0}}}\left(z^{2}-z\right)+k,&z\in \left[z_{1},z_{2}\right],\\{\frac {n}{n+1}}{\frac {1}{\pi _{0}}}\left[\left(-\pi _{0}\left(z-z_{2}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}-\left(-\pi _{0}\left(1-z_{2}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}\right],&z\in \left[z_{2},1\right]\\\end{cases}}}

Здесь k — константа согласования, такая, что является непрерывной. Профиль соблюдает условия отсутствия проскальзывания на границах канала, u ( z 1 ) {\displaystyle u\left(z_{1}\right)}

u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 , {\displaystyle u(0)=u(1)=0,}

Используя те же аргументы непрерывности, показано, что , где z 1 , 2 = 1 2 ± δ {\displaystyle z_{1,2}={\tfrac {1}{2}}\pm \delta }

δ = γ 0 μ 0 | π 0 | ≤ 1 2 . {\displaystyle \delta ={\frac {\gamma _{0}\mu _{0}}{|\pi _{0}|}}\leq {\tfrac {1}{2}}.}

Так как для данной пары существует критический градиент давления μ 0 = γ 0 n − 1 + B n / γ 0 {\displaystyle \mu _{0}=\gamma _{0}^{n-1}+Bn/\gamma _{0}} ( γ 0 , B n ) {\displaystyle \left(\gamma _{0},Bn\right)}

| π 0 , c | = 2 ( γ 0 + B n ) . {\displaystyle |\pi _{0,\mathrm {c} }|=2\left(\gamma _{0}+Bn\right).}

Примените любой градиент давления, меньший по величине, чем это критическое значение, и жидкость не будет течь; таким образом, ее бингамовская природа очевидна. Любой градиент давления, больший по величине, чем это критическое значение, приведет к потоку. Поток, связанный с загустевающей при сдвиге жидкостью, замедляется относительно потока, связанного с разжижающейся при сдвиге жидкостью.

Поток в трубе

Для ламинарного потока Чилтон и Стейнсби [7] предлагают следующее уравнение для расчета падения давления. Уравнение требует итеративного решения для извлечения падения давления, поскольку оно присутствует с обеих сторон уравнения.

Δ P L = 4 K D ( 8 V D ) n ( 3 n + 1 4 n ) n 1 1 − X ( 1 1 − a X − b X 2 − c X 3 ) n {\displaystyle {\frac {\Delta P}{L}}={\frac {4K}{D}}\left({\frac {8V}{D}}\right)^{n}\left({\frac {3n+1}{4n}}\right)^{n}{\frac {1}{1-X}}\left({\frac {1}{1-aX-bX^{2}-cX^{3}}}\right)^{n}}
X = 4 L τ y D Δ P {\displaystyle X={\frac {4L\tau _{y}}{D\Delta P}}}
a = 1 2 n + 1 {\displaystyle a={\frac {1}{2n+1}}}
b = 2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle b={\frac {2n}{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}}}
c = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle c={\frac {2n^{2}}{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}}}
Для турбулентного потока авторы предлагают метод, требующий знания касательного напряжения стенки, но не предоставляют метод расчета касательного напряжения стенки. Их процедура расширена в Hathoot [8]
R = 4 n ρ V D ( 1 − a X − b X 2 − c X 3 ) μ W a l l ( 3 n + 1 ) {\displaystyle R={\frac {4n\rho VD\left(1-aX-bX^{2}-cX^{3}\right)}{\mu _{Wall}\left(3n+1\right)}}}
μ W a l l = τ W a l l 1 − 1 / n ( K 1 − X ) 1 / n {\displaystyle \mu _{Wall}=\tau _{Wall}^{1-1/n}\left({\frac {K}{1-X}}\right)^{1/n}}
τ W a l l = D Δ P 4 L {\displaystyle \tau _{Wall}={\frac {D\Delta P}{4L}}}
Все единицы указаны в системе СИ.
Δ P {\displaystyle \Delta P} Перепад давления, Па.
L {\displaystyle L} Длина трубы, м
D {\displaystyle D} Диаметр трубы, м
V {\displaystyle V} Средняя скорость жидкости, m / s {\displaystyle m/s}
Чилтон и Стейнсби утверждают, что определение числа Рейнольдса как
R e = R n 2 ( 1 − X ) 4 {\displaystyle Re={\frac {R}{n^{2}\left(1-X\right)^{4}}}}

позволяет использовать стандартные ньютоновские корреляции коэффициента трения .

Затем можно рассчитать падение давления, учитывая подходящую корреляцию коэффициента трения. Требуется итеративная процедура, поскольку падение давления требуется для инициирования расчетов, а также для их результата.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Гершель, WH; Балкли, Р. (1926), «Konsistenzmessungen von Gummi-Benzollosungen», Kolloid Zeitschrift , 39 (4): 291–300, doi : 10.1007/BF01432034, S2CID  97549389
  2. ^ Тан, Хансонг С.; Калион, Дилхан М. (2004), «Оценка параметров жидкости Гершеля–Балкли при скольжении по стенке с использованием комбинации капиллярных и вискозиметров сжимающего потока», Rheologica Acta , 43 (1): 80–88, doi :10.1007/s00397-003-0322-y, S2CID  98243895
  3. ^ Шамбон, Г., Геммур, А. и Наайм, М., 2014, «Экспериментальное исследование вязкопластических течений со свободной поверхностью в установившемся однородном режиме», Журнал механики жидкости, 754, 332–364.
  4. ^ Бейтс, Б. и Энси, К. 2017, «Проблема прорыва плотины для эродирующих вязкопластичных жидкостей», Журнал неньютоновской механики жидкостей 243 64--78.
  5. ^ KC Sahu, P. Valluri, PDM Spelt и OK Matar (2007) «Линейная неустойчивость потока в канале, управляемого давлением, для ньютоновской жидкости и жидкости Гершеля-Балкли» Phys. Fluids 19, 122101
  6. ^ DJ Acheson «Элементарная механика жидкости» (1990), Оксфорд, стр. 51
  7. ^ Чилтон, Р. А. и Р. Стейнсби, 1998, «Уравнения потери давления для ламинарного и турбулентного неньютоновского течения в трубе», Журнал гидравлической инженерии 124 (5) стр. 522 и далее.
  8. ^ Хатхут, Х.М., 2004, «Проектирование трубопроводов с минимальной стоимостью для транспортировки неньютоновских жидкостей», Alexandrian Engineering Journal , 43 (3) 375 - 382
  • Описание жидкости Гершеля-Балкли; графическое сравнение реологических моделей. Архивировано 31.05.2012 на Wayback Machine.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Herschel–Bulkley_fluid&oldid=1251426710"