Число Струхаля

В размерном анализе число Струхаля ( St или иногда Sr , чтобы избежать конфликта с числом Стэнтона ) — это безразмерное число, описывающее механизмы колебательного потока. Параметр назван в честь Винценца Струхаля , чешского физика, который в 1878 году экспериментировал с проводами, испытывающими вихревое нисхождение и пение на ветру. ^{[1] [2]} Число Струхаля является неотъемлемой частью основ механики жидкости .

Число Струхаля часто выражается как

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {fL}{U}},}$

где f — частота вихреобразования в Герцах , ^[3] L — характерная длина (например, гидравлический диаметр или толщина аэродинамического профиля ), а U — скорость потока . В некоторых случаях, например, при ныряющем полете, эта характерная длина представляет собой амплитуду колебаний. Этот выбор характерной длины можно использовать для представления различия между числом Струхаля и приведенной частотой:

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {kA}{\pi c}},}$

где k — приведенная частота , а A — амплитуда колебания качки.

При больших числах Струхаля (порядка 1) вязкость доминирует над потоком жидкости, что приводит к коллективному колебательному движению жидкой «пробки». При малых числах Струхаля (порядка 10−4 ^и ниже) высокоскоростная, квазистационарная часть движения доминирует над колебанием. Колебание при промежуточных числах Струхаля характеризуется накоплением и быстрым последующим сбрасыванием вихрей. ^[4]

Для сфер в однородном потоке в диапазоне чисел Рейнольдса 8×10 ² < Re < 2×10 ⁵ сосуществуют два значения числа Струхаля. Более низкая частота обусловлена ​​крупномасштабной неустойчивостью следа, не зависит от числа Рейнольдса Re и приблизительно равна 0,2. Более высокочастотное число Струхаля вызвано мелкомасштабной неустойчивостью из-за разделения сдвигового слоя. ^{[5] [6]}

Зная Второй закон Ньютона, гласящий, что сила эквивалентна массе, умноженной на ускорение, или , и что ускорение является производной скорости, или (характерная скорость/время) в случае механики жидкости, мы видим${\displaystyle F=ма}$${\displaystyle {\tfrac {U}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU}{t}}}$,

Поскольку характерную скорость можно представить как длину за единицу времени, то получаем${\displaystyle {\tfrac {L}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU^{2}}{L}}}$,

где,

м = масса,

U = характеристическая скорость,

L = характерная длина.

Разделив обе части на , получим${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{L}}}$

${\displaystyle {\tfrac {FL}{mU^{2}}}=1={\text{константа}}}$⇒ ,${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}=1={\text{константа}}}$

где,

м = масса,

U = характеристическая скорость,

F = чистые внешние силы,

L = характерная длина.

Это обеспечивает безразмерную основу для соотношения между массой, характеристической скоростью, чистыми внешними силами и длиной (размером), которую можно использовать для анализа воздействия механики жидкости на тело, обладающее массой.

Если суммарные внешние силы преимущественно упругие, мы можем использовать закон Гука, чтобы увидеть

${\displaystyle F=k\Delta L}$,

где,

k = жесткость пружины (жесткость упругого элемента),

ΔL = деформация (изменение длины).

Полагая , тогда . При собственной резонансной частоте упругой системы , равной , получаем${\displaystyle \Delta L\propto L}$${\displaystyle F\приблизительно кл}$${\displaystyle \omega _{0}^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {k}{m}}}$

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}={\dfrac {mU^{2}}{kL^{2}}}={\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}}$,

где,

м = масса,

U = характеристическая скорость,

${\displaystyle \omega _{0}}$= собственная резонансная частота,

ΔL = деформация (изменение длины).

Учитывая, что циклическую частоту движения можно представить как, получаем,${\displaystyle f={\tfrac {\omega _{0}^{2}L}{U}}}$

${\displaystyle {\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}={\dfrac {U}{fL}}={\text{constant}} ={\dfrac {fL}{U}}={\text{St (число Струхаля)}}}$,

где,

f = частота,

L = характерная длина,

U = характеристическая скорость.

В области микро- и наноробототехники число Струхаля используется наряду с числом Рейнольдса при анализе воздействия внешнего колебательного потока жидкости на корпус микроробота. При рассмотрении микроробота с циклическим движением число Струхаля можно оценить как

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fL}{U}}}$,

где,

f = частота циклического движения,

L = характерная длина робота,

U = характеристическая скорость.

Анализ микроробота с использованием числа Струхаля позволяет оценить влияние движения жидкости, в которой он находится, на его движение по отношению к инерционным силам, действующим на робота, — независимо от того, являются ли доминирующие силы упругими или нет. ^[7]

В области медицины микророботы, использующие плавательные движения для передвижения, могут совершать микроманипуляции в недоступных средах.

Уравнение, используемое для кровеносного сосуда: ^[8]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fD}{V}}}$,

где,

f = частота колебаний плавательного движения микробота

D = диаметр кровеносного сосуда

V = нестационарный вязкоупругий поток

Число Струхаля используется как отношение числа Деборы (De) и числа Вайсенберга (Wi): ^[8]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}$.

Число Струхаля также может быть использовано для получения числа Вомерсли (Wo). Случай кровотока можно отнести к категории нестационарного вязкоупругого течения, поэтому число Вомерсли равно ^[8]

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}*{\text{Re}}*{\text{St}}}}}$,

Или, учитывая оба уравнения,

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}*{\text{Re}}*{\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}}}$.

В метрологии , в частности, в турбинных расходомерах с осевым потоком , число Струхаля используется в сочетании с числом Рошко для установления корреляции между расходом и частотой. Преимущество этого метода по сравнению с методом частоты/вязкости и К-фактора заключается в том, что он учитывает температурные эффекты на расходомере.

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}C^{3},}$

где,

f = частота метра,

U = скорость потока,

C = линейный коэффициент расширения материала корпуса счетчика.

Это соотношение оставляет Струхаля безразмерным, хотя для C ³ часто используется безразмерное приближение , приводящее к единицам импульсов/объем (то же самое, что и К-фактор).

Эта связь между потоком и частотой может быть найдена также в области аэронавтики. Рассматривая пульсирующие диффузионные пламени струи метана-воздуха, получаем

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {aw_{j}}{U_{j}}}}$,

где,

а = радиус топливной струи

w = частота модуляции

U = скорость истечения струи топлива

При малом числе Струхаля (St=0,1) модуляция формирует отклонение в потоке, которое распространяется очень далеко вниз по течению. По мере роста числа Струхаля безразмерная частота приближается к собственной частоте мерцающего пламени и в конечном итоге будет иметь большую пульсацию, чем пламя. ^[9]

У плавающих или летающих животных число Струхаля определяется как

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}A,}$

где,

f = частота колебаний (взмахи хвоста, хлопанье крыльев и т. д.),

U = скорость потока,

A = амплитуда колебаний от пика до пика.

В полете или плавании животных эффективность тяги высока в узком диапазоне констант Струхаля, обычно достигая пика в диапазоне 0,2 < St < 0,4. ^[10] Этот диапазон используется в плавании дельфинов, акул и костистых рыб, а также в крейсерском полете птиц, летучих мышей и насекомых. ^[10] Однако в других формах полета встречаются другие значения. ^[10] Интуитивно отношение измеряет крутизну гребков, рассматриваемых сбоку (например, предполагая движение через неподвижную жидкость) – f – это частота гребков, A – амплитуда, поэтому числитель fA равен половине вертикальной скорости кончика крыла, а знаменатель V – это горизонтальная скорость. Таким образом, график кончика крыла образует приближенную синусоиду с аспектом (максимальным наклоном), вдвое превышающим постоянную Струхаля. ^[11]

Число Струхаля чаще всего используется для оценки колебательного потока в результате движения объекта через жидкость. Число Струхаля отражает сложность для животных эффективно перемещаться через жидкость с их циклическими поступательными движениями. Число относится к пропульсивной эффективности, которая достигает пика между70%–80% в пределах оптимального диапазона чисел Струхаля0,2–0,4 . Благодаря использованию таких факторов, как частота гребков, амплитуда каждого гребка и скорость, число Струхаля позволяет анализировать эффективность и воздействие движущих сил животного через жидкость, например, при плавании или полете. Например, значение представляет собой ограничения для достижения большей движущей эффективности, которая влияет на движение при крейсерском полете и аэродинамические силы при зависании. ^[12]

Большие реактивные силы и свойства, которые действуют против объекта, такие как вязкость и плотность, снижают способность движения животного попадать в идеальный диапазон числа Струхаля при плавании. Благодаря оценке различных видов, которые летают или плавают, было обнаружено, что движение многих видов птиц и рыб попадают в оптимальный диапазон Струхаля. ^[12] Однако число Струхаля варьируется больше в пределах одного вида, чем у других видов, в зависимости от метода, которым они движутся ограниченным образом в ответ на аэродинамические силы. ^[12]

Число Струхаля имеет важное значение при анализе полета животных, поскольку оно основано на линиях тока и скорости животного при движении в жидкости. Его значение демонстрируется на примере движения чистиковых птиц при прохождении через различные среды (от воздуха до воды). Оценка чистиковых птиц определила особенность способности летать в диапазоне эффективного числа Струхаля в воздухе и воде, несмотря на большую массу относительно площади их крыльев. ^[13] Эффективное двухсредовое движение чистиковых птиц развилось в результате естественного отбора, где окружающая среда сыграла роль в эволюции животных с течением времени, чтобы попасть в определенный эффективный диапазон. Двухсредовое движение демонстрирует, как чистиковые имели два различных типа полета, основанных на скоростях гребков при движении через каждую жидкость. ^[13] Однако, поскольку птица движется через другую среду, ей приходится сталкиваться с влиянием плотности и вязкости жидкости. Кроме того, чистиковые птицы также должны противостоять действующей вверх плавучести при горизонтальном движении.

Чтобы определить значимость числа Струхаля в различных масштабах, можно выполнить масштабный анализ – метод упрощения для анализа влияния факторов по мере их изменения относительно некоторого масштаба. При рассмотрении в контексте микроробототехники и наноробототехники размер является фактором, представляющим интерес при выполнении масштабного анализа.

Масштабный анализ числа Струхаля позволяет проанализировать соотношение между массой и инерционными силами, поскольку обе они изменяются в зависимости от размера. Принимая его исходную производную форму, , мы можем затем связать каждый член с размером и увидеть, как соотношение меняется при изменении размера.${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}}$

Учитывая, что m — масса, V — объем, а — плотность, мы можем видеть, что масса напрямую связана с размером, как объем масштабируется с длиной (L). Принимая объем равным , мы можем напрямую связать массу и размер как ${\displaystyle m=V\rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle m\approx L^{3}}$.

Характерная скорость ( U ) выражается через , а относительное расстояние масштабируется с размером, поэтому${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{\text{time}}}}$

${\displaystyle U^{2}\approx L^{2}}$.

Чистые внешние силы ( F ) масштабируются относительно массы и ускорения, определяемого выражением . Ускорение выражается через , поэтому . Было установлено, что соотношение массы и размера равно , поэтому, учитывая все три соотношения, мы получаем${\displaystyle F=m\cdot a}$${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{{\text{time}}^{2}}}}$${\displaystyle a\approx L}$${\displaystyle m\approx L^{3}}$

${\displaystyle F\approx L^{4}}$.

Длина ( L ) уже обозначает размер и остается L.

Собрав все это вместе, мы получаем

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}\approx {\dfrac {L^{3}L^{2}}{L^{4}L}}\approx {\dfrac {L^{5}}{L^{5}}}\approx L^{0}=1}$.

Принимая во внимание число Струхаля, связывающее массу с инерционными силами, этого можно ожидать, поскольку эти два фактора будут масштабироваться пропорционально размеру и не будут ни увеличиваться, ни уменьшаться по значимости относительно их вклада в поведение тела в циклическом движении жидкости.

Масштабное соотношение между числом Ричардсона и числом Струхаля представлено уравнением: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{l}=b{\text{Ri}}_{l}^{a}}$,

где a и b — константы, зависящие от условия.

Для круглых гелиевых плавучих струй и струй: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{D}\sim {\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$.

Когда ,${\displaystyle {\text{Ri}}<100}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=0.8{\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$.

Когда ,${\displaystyle 100<{\text{Ri}}<500}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=2.1{\text{Ri}}_{D}^{0.28}}$.

Для плоских плавучих струй и струй: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{W}=0.55{\text{Ri}}_{W}^{0.45}}$.

Для масштабирования, независимого от формы: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{Rh}=e^{-1}{\text{Ri}}_{Rh}^{\tfrac {2}{5}}}$

Число Струхаля и число Рейнольдса должны учитываться при рассмотрении идеального метода разработки тела, движущегося через жидкость. Кроме того, соотношение этих значений выражается через теорию удлиненного тела Лайтхилла, которая связывает реактивные силы, испытываемые телом, движущимся через жидкость, с его инерционными силами. ^[15] Было установлено, что число Струхаля зависит от безразмерного числа Лайтхилла, которое, в свою очередь, связано с числом Рейнольдса. Затем можно увидеть, что значение числа Струхаля уменьшается с увеличением числа Рейнольдса и увеличивается с увеличением числа Лайтхилла. ^[15]

• Аэроупругий флаттер  – взаимодействие инерционных, упругих и аэродинамических сил.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Число Фруда  – безразмерное число; отношение инерции потока жидкости к внешнему полю
• Вихревая улица Кармана  – повторяющийся узор из закрученных вихрей.
• Число Маха  – отношение скорости объекта, движущегося в жидкости, к локальной скорости звука.
• Число Рейнольдса  – отношение инерционных сил к силам вязкости, действующим на жидкость.
• Число Россби  – отношение силы инерции к силе Кориолиса
• Число Вебера  – безразмерное число в механике жидкости
• Число Вомерсли  – безразмерное выражение частоты пульсационного потока в зависимости от вязкостных эффектов.
• Число Вайссенберга  – произведение скорости деформации сдвига и времени релаксации в вязкоупругих теченияхPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Число Дебора  – отношение времени релаксации к времени наблюдения вязкоупругих жидкостейPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Число Ричардсона  – характеристическое число падающего тела, пропорциональное отношению потенциальной и кинетической энергииPages displaying wikidata descriptions as a fallback

• Винсент Струхаль, Ueber eine besondere Art der Tonerregung ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}