Кристофер Денингер

Кристофер Денингер
Денингер в Обервольфахе , 2005 г.
Рожденный	( 1958-04-08 )8 апреля 1958 г. (66 лет)
Альма-матер	Кельнский университет
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Мюнстера
научный руководитель	Курт Мейер
Докторанты	Аннетт Хубер-Клавиттер Аннетт Вернер [1]

Кристофер Денингер (родился 8 апреля 1958 года) — немецкий математик из Мюнстерского университета . Исследования Денингера сосредоточены на арифметической геометрии , включая приложения к L -функциям .

Денингер получил докторскую степень в Кельнском университете в 1982 году под руководством Курта Мейера . В 1992 году он разделил премию Готфрида Вильгельма Лейбница с Михаэлем Рапопортом , Петером Шнайдером и Томасом Цинком . В 1998 году он был пленарным докладчиком на Международном конгрессе математиков в Берлине в 1998 году. ^[2] В 2012 году он стал членом Американского математического общества . ^[3]

В серии статей между 1984 и 1987 годами Денингер изучал расширения двойственности Артина–Вердье . В общих чертах, двойственность Артина–Вердье, следствие теории полей классов , является арифметическим аналогом двойственности Пуанкаре , двойственности для когомологий пучков на компактном многообразии. В этой параллели ( спектр ) кольца целых чисел в числовом поле соответствует 3-многообразию . Следуя работе Мазура , Денингер (1984) распространил двойственность Артина–Вердье на поля функций . Затем Денингер распространил эти результаты в различных направлениях, таких как некрученые пучки (1986), арифметические поверхности (1987), а также локальные поля более высокой размерности (совместно с Вингбергом, 1986). Появление мотивных комплексов Блоха , рассмотренных в последних работах, повлияло на работы нескольких авторов, включая Гайссера (2010), который определил комплексы Блоха как дуализирующие комплексы над многомерными схемами.

Другая группа работ Денингера изучает L -функции и их специальные значения. Классическим примером L -функции является дзета-функция Римана ζ( s ), для которой справедливы такие формулы, как

ζ(2) = π ² / 6

известны со времен Эйлера. В знаковой статье Бейлинсон (1984) предложил набор далеко идущих гипотез, описывающих специальные значения L -функций, т. е. значения L -функций в целых числах. В очень грубых терминах гипотезы Бейлинсона утверждают, что для гладкого проективного алгебраического многообразия X над Q мотивные когомологии X должны быть тесно связаны с когомологиями Делиня X . Кроме того , связь между этими двумя теориями когомологий должна объяснять , согласно гипотезе Бейлинсона, порядки полюсов и значения

Л ( ч ^н ( X ), с )

при целых числах s . Блох и Бейлинсон доказали существенные части этой гипотезы для h ¹ ( X ) в случае, когда X является эллиптической кривой с комплексным умножением и s = 2. В 1988 году Денингер и Вингберг дали изложение этого результата. В 1989 и 1990 годах Денингер распространили этот результат на некоторые эллиптические кривые, рассмотренные Шимурой, при всех s ≥ 2. Денингер и Нарт (1995) выразили спаривание по высоте , ключевой ингредиент гипотезы Бейлинсона, как естественное спаривание Ext-групп в определенной категории мотивов. В 1995 году Денингер изучил произведения Масси в когомологиях Делиня и выдвинул на их основе гипотезу о формуле для специального значения для L -функции эллиптической кривой при s = 3, которая впоследствии была подтверждена Гончаровым (1996). По состоянию на 2018 год гипотеза Бейлинсона по-прежнему остается под вопросом, а работы Денингера остаются одними из немногих случаев, когда гипотеза Бейлинсона была успешно оспорена (опросы по этой теме включают Deninger & Scholl (1991), Nekovář (1994)).

ζ-функция Римана определяется с помощью произведения множителей Эйлера

${\displaystyle \zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

для каждого простого числа p . Чтобы получить функциональное уравнение для ζ( s ), нужно умножить их на дополнительный член, включающий гамма-функцию :

${\displaystyle \zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).}$

Более общие L -функции также определяются произведениями Эйлера, включающими в каждом конечном месте определитель эндоморфизма Фробениуса , действующего на l-адических когомологиях некоторого многообразия X / Q , в то время как множители Эйлера для бесконечного места являются, согласно Серру , произведениями гамма-функций, зависящих от структур Ходжа, присоединенных к X / Q . Денингер (1991) выразил эти Γ-множители в терминах регуляризованных определителей и перешел в 1992 году и в большей общности в 1994 году к унификации множителей Эйлера L -функций как в конечных, так и в бесконечных местах с использованием регуляризованных определителей. Например, для множителей Эйлера дзета-функции Римана это единообразное описание читается как

${\displaystyle \zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\ правильно)^{-1}.}$

Здесь p — простое число или бесконечность, соответствующие неархимедовым факторам Эйлера и архимедовым факторам Эйлера соответственно, а R _p — пространство конечных вещественных рядов Фурье на R /log( p ) Z для простого числа p , и R _∞ = R [exp(−2 y )]. Наконец, Θ — производная R -действия, заданного сдвигом таких функций. Денингер (1994) также продемонстрировал аналогичный объединяющий подход для ε-факторов (которые выражают отношение между завершенными L -функциями в s и в 1− s ).

Эти результаты привели к тому, что Денингер предложил программу , касающуюся существования «арифметического сайта» Y , связанного с компактификацией Spec Z. Среди прочих свойств, этот сайт будет снабжен действием R , и каждое простое число p будет соответствовать замкнутой орбите R -действия длины log( p ). Более того, аналогии между формулами в аналитической теории чисел и динамикой на расслоенных пространствах привели Денингера к предположению о существовании расслоения на этом сайте. Более того, этот сайт должен быть наделен бесконечномерной теорией когомологий, такой что L -функция мотива M задается как

${\displaystyle L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).}$

Здесь M — мотив , такой как мотивы h ⁿ ( X ), встречающиеся в гипотезе Бейлинсона, а F ( M ) понимается как пучок на Y , прикрепленный к мотиву M . Оператор Θ — это бесконечно малый генератор потока, заданного действием R. Гипотеза Римана была бы, согласно этой программе, следствием свойств, параллельных положительности пересечения пар в теории Ходжа . Версия формулы следа Лефшеца на этом сайте, которая была бы частью этой предполагаемой установки, была доказана другими способами Денингером (1993). В 2010 году Денингер доказал, что классические гипотезы Бейлинсона и Блоха относительно теории пересечений алгебраических циклов были бы дальнейшими следствиями его программы.

Эта программа была рассмотрена Денингером в его докладах на Европейском конгрессе математиков в 1992 году, на Международном конгрессе математиков в 1998 году, а также Лейхтнамом (2005). В 2002 году Денингер построил расслоенное пространство, которое соответствует эллиптической кривой над конечным полем , а Хессельхольт (2016) показал, что дзета-функция Хассе-Вейля гладкого собственного многообразия над F _p может быть выражена с помощью регуляризованных определителей, включающих топологические гомологии Хохшильда . Кроме того, аналогия между узлами и простыми числами плодотворно изучалась в арифметической топологии . Однако по состоянию на 2018 год построение расслоенного пространства, соответствующего Spec Z, остается неуловимым.

Серия совместных работ с Аннет Вернер рассматривает векторные расслоения на p -адических кривых. Классический результат, мотивирующий это исследование, — теорема Нарасимхана–Сешадри , краеугольный камень соответствия Симпсона . Она утверждает, что векторное расслоение на компактной римановой поверхности X является стабильным , если оно возникает из унитарного представления фундаментальной группы π ₁ ( X ).

В работе Денингера и Вернера (2005) был установлен его p -адический аналог: для гладкой проективной алгебраической кривой над C _p , полученной заменой базы из , они построили действие этальной фундаментальной группы π _{1 (X) на волокнах на} некоторых векторных расслоениях, включая те, что имеют степень 0 и имеют потенциально сильно полустабильную редукцию. В другой статье 2005 года они связали полученные представления фундаментальной группы кривой X с представлениями модуля Тейта якобиева многообразия X . В 2007 и 2010 годах они продолжили эту работу, показав, что такие векторные расслоения образуют таннакианскую категорию , которая равносильна идентификации этого класса векторных расслоений как категории представлений определенной группы.${\displaystyle X/{\overline {\mathbf {Q} }}_{p}}$

В нескольких совместных работах Денингер и Вильгельм Зингхоф изучали факторы n -мерной группы Гейзенберга H по стандартной решетке, состоящей из целочисленных матриц,

Х = Н / Г,

с разных точек зрения. В 1984 году они вычислили e-инвариант X в терминах ζ(− n ), что привело к построению элементов в стабильных гомотопических группах сфер произвольно большого порядка. В 1988 году они использовали методы аналитической теории чисел , чтобы дать оценки размерности когомологий нильпотентных алгебр Ли .

Классический факт из теории Ходжа , что любой класс когомологий на кэлеровом многообразии допускает единственную гармонику, был обобщен Альваресом Лопесом и Кордюковым (2001) на римановы слоения . Денингер и Зингхоф (2001) показывают, что слоения на указанном выше пространстве X , которые удовлетворяют лишь немного более слабым условиям, не допускают таких свойств теории Ходжа. В другой совместной статье 2001 года они установили динамическую формулу следа Лефшеца: она связывает след оператора на гармонических формах с локальными следами, появляющимися на замкнутых орбитах (на определенных расслоенных пространствах с R - действием). Этот результат служит подтверждением программы Денингера, упомянутой выше, в том смысле, что он проверяет предсказание, сделанное этой программой с аналитической стороны, т. е. относительно динамики на расслоенных пространствах.

Другая группа статей Денингера посвящена космосу

${\displaystyle X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\,}$

где Γ — дискретная группа, f — элемент ее группового кольца Z Γ, а шляпа обозначает двойственное по Понтрягину . Для Γ = Z ⁿ и Линд, Шмидт и Уорд (1990) показали, что энтропия Γ-действия на X _f задается мерой Малера${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\dots ,x_{n}^{\pm n}]}$

${\displaystyle m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _ {\mathbb {R} ^{n}/\Gamma}\log |f(z_{1},\dots, z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.}$

Более того, было известно, что меры Малера некоторых многочленов, как известно, выражаются в терминах специальных значений определенных L-функций. В 1997 году Денингер заметил, что подынтегральное выражение в определении меры Малера имеет естественное объяснение в терминах когомологий Делиня. Используя известные случаи гипотезы Бейлинсона, он вывел, что m ( f ) является образом символа { f , t ₁ , ..., t _n } под регулятором Бейлинсона, где многообразие является дополнением в n -мерном торе нулевого множества f . Это привело к концептуальному объяснению вышеупомянутых формул для мер Малера. Бессер и Денингер (1999), а затем и Денингер в 2009 году перенесли эти идеи в p -адический мир, заменив отображение регулятора Бейлинсона в когомологии Делиня отображением регулятора в синтомические когомологии , а логарифм, появляющийся в определении энтропии, p -адическим логарифмом .

В 2006 и 2007 годах Денингер и Клаус Шмидт выдвинули параллель между энтропией и мерами Малера за пределы абелевых групп, а именно, конечных аппроксимируемых, счетных дискретных аменабельных групп Γ. Они показали, что Γ-действие на X _f является экспансивным тогда и только тогда, когда f обратимо в L ¹ -сверточной алгебре Γ. Более того, логарифм определителя Фугледе-Кадисона на алгебре фон Неймана NΓ, связанной с Γ (которая заменяет меру Малера для Z ⁿ ), согласуется с энтропией вышеуказанного действия.

Йоахим Кунц и Денингер работали вместе над векторами Витта . В двух работах около 2014 года они упростили теорию, дав представление кольца векторов Витта в терминах пополнения моноидной алгебры Z R . Этот подход позволяет избежать универсальных многочленов, используемых в классическом определении сложения векторов Витта.

• Денингер, Кристофер (1984), «О двойственности Артина-Вердье для функциональных полей», Mathematische Zeitschrift , 188 (1): 91–100 , doi : 10.1007/BF01163876, MR  0767366, S2CID  123090400
• Deninger, Christopher (1986), "Расширение двойственности Артина–Вердье на некрученые пучки", J. Reine Angew. Math. , 1986 (366): 18– 31, doi :10.1515/crll.1986.366.18, MR  0833011, S2CID  116275426
• Денингер, Кристофер; Вингберг, Кей (1986), «Двойственность Артина–Вердье для n -мерных локальных полей, включающих высшие алгебраические K -пучки», Журнал чистой и прикладной алгебры , 43 (3): 243– 255, doi : 10.1016/0022-4049(86)90066-6 , MR  0868985
• Денингер, Кристофер (1987), «Двойственность в этальных когомологиях одномерных собственных схем и обобщений», Mathematische Annalen , 277 (3): 529– 541, doi :10.1007/BF01458330, MR  0891590, S2CID  120941469

• Денингер, Кристофер; Вингберг, Кей (1988), «О гипотезах Бейлинсона для эллиптических кривых с комплексным умножением», Гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L -функций , Perspect. Math., т. 4, Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR  0944996
• Денингер, Кристофер (1989), «Высшие регуляторы и ряды Гекке L мнимых квадратичных полей. I», Inventiones Mathematicae , 96 (1): 1– 69, Bibcode : 1989InMat..96....1D, doi : 10.1007/BF01393970, MR  0981737, S2CID  122586535
• Денингер, Кристофер (1990), «Высшие регуляторы и ряды Гекке L мнимых квадратичных полей. II», Annals of Mathematics , вторая серия, 132 (1): 131– 158, doi :10.2307/1971502, JSTOR  1971502, MR  1059937
• Денингер, Кристофер; Шолл, Энтони Дж. (1991), «Гипотезы Бейлинсона»,L -функции и арифметика (Дарем, 1989) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., т. 153, Cambridge Univ. Press, стр.  173–209 , doi :10.1017/CBO9780511526053.007, ISBN 9780521386197, МР  1110393

• Денингер, Кристофер (1991), «О Γ-факторах, связанных с мотивами», Inventiones Mathematicae , 104 (2): 245– 261, Bibcode : 1991InMat.104..245D, doi : 10.1007/BF01245075, MR  1098609, S2CID  123206613
• Денингер, Кристофер (1992), «Локальные L -факторы мотивов и регуляризованных детерминант», Inventiones Mathematicae , 107 (1): 135– 150, Bibcode : 1992InMat.107..135D, doi : 10.1007/BF01231885, MR  1135468, S2CID  120740473
• Денингер, Кристофер (1993), «Формулы следов Лефшеца и явные формулы в аналитической теории чисел», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1993 (441): 1–15 , doi : 10.1515/crll.1993.441.1, S2CID  116031228, Збл  0782.11034
• Денингер, Кристофер (1994a), «Мотивные ε-факторы на бесконечности и регуляризованные измерения», Indag. Math. , New Series, 5 (4): 403– 409, doi : 10.1016/0019-3577(94)90015-9 , MR  1307961
• Денингер, Кристофер (1994b), "Мотивные L -функции и регуляризованные определители", Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Sympos. Pure Math., т. 55, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., MR  1265547
• Денингер, Кристофер (1994c), «Доказательства когомологического подхода к аналитической теории чисел», Первый европейский математический конгресс, т. I (Париж, 1992) , Progr. Math., т. 119, Birkhäuser, Базель, стр.  491–510 , MR  1341834
• Денингер, Кристофер; Нарт, Энрик (1995), «О Ext ² мотивов над арифметическими кривыми», Amer. J. Math. , 117 (3): 601– 625, doi :10.2307/2375082, JSTOR  2375082, MR  1333938
• Deninger, Christopher (1995), "Операции высшего порядка в когомологиях Делиня", Invent. Math. , 120 (2): 289– 315, Bibcode : 1995InMat.120..289D, doi : 10.1007/BF01241130, MR  1329043, S2CID  121481341
• Денингер, Кристофер (1998), «Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами на расслоенных пространствах», Труды Международного конгресса математиков, т. I (Берлин, 1998) , Documenta Mathematica (Extra Vol. I), стр.  163–186 , MR  1648030
• Денингер, Кристофер (2002), «О природе «явных формул» в аналитической теории чисел — простой пример», Методы теории чисел (Иидзука, 2001) , Dev. Math., т. 8, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., стр.  97–118 , arXiv : math/0204194 , doi :10.1007/978-1-4757-3675-5_7, ISBN 978-1-4419-5239-4, MR  1974137, S2CID  17829739
• Денингер, Кристофер (2010), «Стратегия Гильберта-Полья и пары высот», Сила Казимира, Операторы Казимира и гипотеза Римана , Вальтер де Грюйтер, Берлин, стр.  275–283 , MR  2777722

• Денингер, Кристофер; Вернер, Аннет (2005), «Векторные расслоения на p-адических кривых и параллельный транспорт», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Quatrième Série, 38 (4): 553–597 , arXiv : math/0403516 , doi :10.1016/j.ansens.2005.05.002, MR  2172951, S2CID  8884837
• Денингер, Кристофер; Вернер, Аннет (2005), «Линейные расслоения и p -адические характеры», Числовые поля и функциональные поля–два параллельных мира , Progr. Math., т. 239, стр.  101–131 , arXiv : math/0407511 , doi :10.1007/0-8176-4447-4_7, ISBN 978-0-8176-4397-3, MR  2176589, S2CID  119669442
• Денингер, Кристофер; Вернер, Аннет (2007), "О двойственности Таннаки для векторных расслоений на p -адических кривых", Алгебраические циклы и мотивы. Том 2 , London Math. Soc. Lecture Note Ser., том 344, стр.  94–111 , MR  2187151
• Deninger, Christopher; Werner, Annette (2010), "Vector bundles on p -adic curves and parallel transport II", Algebraic and arithmetic structures of moduli spaces (Sapporo 2007) , Adv. Stud. Pure Math., т. 58, стр.  1–26 , doi : 10.2969/aspm/05810001 , ISBN 978-4-86497-008-2, г-н  2676155

• Денингер, Кристофер; Зингхоф, Вильгельм (1984), " E -инвариант и спектр лапласиана для компактных нильмногообразий, покрытых группами Гейзенберга", Inventiones Mathematicae , 78 (1): 101– 112, Bibcode : 1984InMat..78..101D, doi : 10.1007/BF01388716, MR  0762355, S2CID  119465585
• Денингер, Кристофер; Зингхоф, Вильгельм (1988), «О когомологиях нильпотентных алгебр Ли», Bull. Soc. Math. France , 116 (1): 3– 14, doi : 10.24033/bsmf.2087 , MR  0946276
• Денингер, Кристофер; Зингхоф, Вильгельм (2001), «Контрпример к сглаженному послойному разложению Ходжа для общих слоений и к типу динамических формул следа», Ann. Inst. Fourier (Гренобль) , 51 (1): 209– 219, doi : 10.5802/aif.1821 , MR  1821074
• Денингер, Кристофер; Сингхоф, Вильгельм (2001b), «Заметки о динамических формулах следов», Динамические, спектральные и арифметические дзета-функции (Сан-Антонио, Техас, 1999) , Contemp. Матем., вып. 290, AMS, стр.  41–55 , doi : 10.1090/conm/290/04572 , ISBN. 9780821820797, г-н  1868467

• Денингер, Кристофер (1997), «Периоды Делиня смешанных мотивов, K -теория и энтропия некоторых Z ⁿ -действий», Журнал Американского математического общества , 10 (2): 259– 281, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00228-2 , MR  1415320
• Денингер, Кристофер (2006), «Определители Фугледе-Кадисона и энтропия для действий дискретных аменабельных групп», Журнал Американского математического общества , 19 (3): 737– 758, arXiv : math/0502233 , doi : 10.1090/S0894-0347-06-00519-4, MR  2220105, S2CID  7741105

• Денингер, Кристофер; Шмидт, Клаус (2007), «Расширяющиеся алгебраические действия дискретных аппроксимируемо конечных аменабельных групп и их энтропия», Эргодическая теория и динамические системы , 27 (3): 769– 786, arXiv : math/0605723 , doi :10.1017/S0143385706000939, MR  2322178, S2CID  12803685

• Бессер, Амнон; Денингер, Кристофер (1999), « p -адические меры Малера», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1999 (517): 19–50 , doi : 10.1515/crll.1999.093, MR  1728549
• Deninger, Christopher (2009), " p -адическая энтропия и p -адический определитель Фугледе-Кадисона", Алгебра, арифметика и геометрия: в честь Ю. И. Манина. Т. I , Progr. Math., т. 269, Birkhäuser, стр.  423–442 , arXiv : math/0608539 , doi :10.1007/978-0-8176-4745-2_10, ISBN 978-0-8176-4744-5, MR  2641178, S2CID  6186513

• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2015), «Векторные кольца Витта и относительный комплекс де Рама-Витта», Журнал алгебры , 440 : 545–593 , arXiv : 1410.5249 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.05.029, MR  3373405, S2CID  119171724
• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2014), «Альтернатива векторам Витта», Münster Journal of Mathematics , 7 (1): 105– 114, arXiv : 1311.2774 , Bibcode : 2013arXiv1311.2774C, doi : 10.1080/18756891.2013.858905, MR  3271241

• Альварес Лопес, Хесус; Кордюков, Юрий А. (2001), «Длительное поведение листового теплового потока для римановых слоений», Compositio Mathematica , 125 (2): 129–153 , doi : 10.1023/A:1002492700960 , MR  1815391
• Бейлинсон А.А. (1984), "Высшие регуляторы и значения L -функций", Современные проблемы математики, Vol. 24 , Итоги науки и техники, Москва: Акад. Наук СССР, Всесоюз. Инст. Научн. и Техн. Информ., МР  0760999
• Гейссер, Томас (2010), «Двойственность через циклические комплексы», Annals of Mathematics , вторая серия, 172 (2): 1095–1127 , arXiv : math/0608456 , doi : 10.4007/annals.2010.172.1095 , MR  2680487
• Гончаров, AB (1996), "Гипотеза Денингера о L -функциях эллиптических кривых при s =3", Журнал математических наук , 81 (3): 2631– 2656, doi : 10.1007/BF02362333 , MR  1420221, S2CID  15570808
• Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля , Современная математика, том. 708, стр.  157–180 , arXiv : 1602.01980 , Bibcode : 2016arXiv160201980H, doi : 10.1090/conm/708/14264, ISBN 9781470429119, S2CID  119145574
• Лейхтнам, Эрик (2005), «Приглашение к работе Денингера по арифметическим дзета-функциям», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика , Contemp. Math., т. 387, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., стр.  201–236 , doi :10.1090/conm/387/07243, ISBN 9780821837108, МР  2180209
• Линд, Дуглас; Шмидт, Клаус; Уорд, Том (1990), «Мера Малера и энтропия для коммутирующих автоморфизмов компактных групп» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 593– 629, Bibcode :1990InMat.101..593L, doi :10.1007/BF01231517, MR  1062797, S2CID  17077751
• Нековарж, Ян (1994), "Предположения Бейлинсона", Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Sympos. Pure Math., т. 55, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., MR  1265544

• Сайт Мюнстерского университета