Модуль Тейта

В математике модуль Тейта абелевой группы, названный в честь Джона Тейта , — это модуль , построенный из абелевой группы A. Часто эта конструкция выполняется в следующей ситуации: G — коммутативная групповая схема над полем K , K ^s — сепарабельное замыкание K , и A  =  G ( K ^s ) ( точки G со значениями K ^s ). В этом случае модуль Тейта группы A снабжен действием абсолютной группы Галуа группы K , и он называется модулем Тейта группы G.

Для абелевой группы A и простого числа p p -адический модуль Тейта группы A равен

${\displaystyle T_{p}(A)={\underset {\longleftarrow }{\lim }}A[p^{n}]}$

где A [ p ⁿ ] — это кручение p ⁿ матрицы A (т. е. ядро ​​отображения умножения на p ⁿ ), а обратный предел — по положительным целым числам n с морфизмами перехода, заданными отображением умножения на p A [ p n ^{+1 ]} → A [ p ⁿ ]. Таким образом, модуль Тейта кодирует все кручение p -степени матрицы A . Он снабжен структурой Z _p -модуля посредством

${\displaystyle z(a_{n})_{n}=((z{\text{ mod }}p^{n})a_{n})_{n}.}$

Когда абелева группа A является группой корней из единицы в сепарабельном замыкании K ^s группы K , p -адический модуль Тейта группы A иногда называют модулем Тейта (где выбор p и K подразумевается). Это свободный модуль ранга один над Z _p с линейным действием абсолютной группы Галуа G _K группы K . Таким образом, это представление Галуа, также называемое p -адическим циклотомическим характером группы K . Его также можно рассматривать как модуль Тейта мультипликативной групповой схемы G _{m , K} над K .

Для данного абелево многообразия G над полем K точки G со значениями ^K являются абелевой группой. P -адический модуль Тейта T _p ( G ) группы G является представлением Галуа (абсолютной группы Галуа, G _K , группы K ).

Классические результаты об абелевых многообразиях показывают, что если K имеет характеристику ноль или характеристику ℓ, где простое число p ≠ ℓ, то T _p ( G ) является свободным модулем над Z _p ранга 2 d , где d — размерность G . ^[1] В противном случае он по-прежнему свободен, но ранг может принимать любое значение от 0 до d (см., например, матрицу Хассе–Витта ).

В случае, когда p не равно характеристике K , p -адический модуль Тейта группы G является двойственным к этальным когомологиям .${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(G\times _{K}K^{s},\mathbf {Z} _{p})}$

Частный случай гипотезы Тейта можно сформулировать в терминах модулей Тейта. ^[2] Предположим, что K конечно порождено над своим простым полем (например, конечным полем , полем алгебраических чисел , полем глобальных функций ), характеристика которого отлична от p , а A и B — два абелевых многообразия над K. Тогда гипотеза Тейта предсказывает, что

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,B)\otimes \mathbf {Z} _{p}\cong \mathrm {Hom} _{G_{K}}(T_{p}(A) ,T_{p}(B))}$

где Hom _K ( A , B ) — группа морфизмов абелевых многообразий из A в B , а правая часть — группа G _K -линейных отображений из T _p ( A ) в T _p ( B ). Случай, когда K — конечное поле, был доказан самим Тейтом в 1960-х годах. ^[3] Герд Фалтингс доказал случай, когда K — числовое поле, в своей знаменитой «работе Морделла». ^[4]

В случае якобиана над кривой C над конечным полем k характеристики, простой с p , модуль Тейта можно отождествить с группой Галуа составного расширения

${\displaystyle k(C)\subset {\hat {k}}(C)\subset A^{(p)}\ }$

где — расширение k , содержащее все корни степени p из единицы, а A ^{( p )} — максимальное неразветвленное абелево p -расширение . ^[5]${\displaystyle {\hat {k}}}$${\displaystyle {\hat {k}}(C)}$

Описание модуля Тейта для поля функций кривой над конечным полем предполагает определение модуля Тейта для поля алгебраических чисел , другого класса глобальных полей , введенного Кенкичи Ивасавой . Для числового поля K мы обозначим K _m расширение корнями степени p ^m из единицы, объединение K _m и A ^{( p )} — максимальное неразветвленное абелево p -расширение . Пусть${\displaystyle {\hat {К}}}$${\displaystyle {\hat {К}}}$

${\displaystyle T_{p}(K)=\mathrm {Гал} (A^{(p)}/{\hat {K}})\ .}$

Тогда T _p ( K ) является про- p -группой и, следовательно, Z _p -модулем. Используя теорию полей классов, можно описать T _p ( K ) как изоморфную обратному пределу групп классов C _m K _m по норме. ^[5]

Ивасава представил T _p ( K ) как модуль над пополнением Z _p [[ T ]] и это подразумевает формулу для показателя степени p в порядке групп классов C _m вида

${\displaystyle \лямбда м+\мю р^{м}+\каппа \ .}$

Теорема Ферреро–Вашингтона утверждает, что μ равно нулю. ^[6]

• гипотеза Тейта
• Тейт твист
• Теория Ивасавы

• Фальтингс, Герд (1983), «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern», Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349–366 , Бибкод : 1983InMat..73..349F, doi : 10.1007/BF01388432, S2CID  121049418
• «Модуль Тейта», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Манин, Ю. И.; Панчишкин, А. А. (2007), Введение в современную теорию чисел , Энциклопедия математических наук, т. 49 (Второе изд.), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Збл  1079.11002
• Мёрти, В. Кумар (2000), Введение в абелевы многообразия , CRM Monograph Series, т. 3, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1179-5
• Раздел 13 книги Рорлиха, Дэвида (1994), «Эллиптические кривые и группа Вейля–Делиня», в книге Кисилевского, Херши; Мёрти, М. Рам (ред.), Эллиптические кривые и смежные темы , Труды и лекции CRM, том 4, Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-6994-9
• Тейт, Джон (1966), «Эндоморфизмы абелевых многообразий над конечными полями», Inventiones Mathematicae , 2 (2): 134– 144, Bibcode : 1966InMat...2..134T, doi : 10.1007/bf01404549, MR  0206004, S2CID  245902