Когомологии алгебры Ли

В математике когомология алгебры Ли — это теория когомологий для алгебр Ли . Впервые она была введена в 1929 году Эли Картаном для изучения топологии групп Ли и однородных пространств ^[1] путем связывания когомологических методов Жоржа де Рама со свойствами алгебры Ли. Позднее она была расширена Клодом Шевалле и Сэмюэлем Эйленбергом  (1948) на коэффициенты в произвольном модуле Ли . ^[2]

Если — компактная односвязная группа Ли, то она определяется своей алгеброй Ли, поэтому должно быть возможно вычислить ее когомологии из алгебры Ли. Это можно сделать следующим образом. Ее когомологии — это когомологии де Рама комплекса дифференциальных форм на . Используя процесс усреднения, этот комплекс можно заменить комплексом левоинвариантных дифференциальных форм . Между тем левоинвариантные формы определяются своими значениями в единице, так что пространство левоинвариантных дифференциальных форм можно отождествить с внешней алгеброй алгебры Ли с подходящим дифференциалом.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Построение этого дифференциала на внешней алгебре имеет смысл для любой алгебры Ли, поэтому оно используется для определения когомологий алгебры Ли для всех алгебр Ли. В более общем случае используется подобная конструкция для определения когомологий алгебры Ли с коэффициентами в модуле.

Если — односвязная некомпактная группа Ли, то когомологии алгебры Ли ассоциированной алгебры Ли не обязательно воспроизводят когомологии де Рама . Причина этого в том, что переход от комплекса всех дифференциальных форм к комплексу левоинвариантных дифференциальных форм использует процесс усреднения, который имеет смысл только для компактных групп.${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

Пусть — алгебра Ли над коммутативным кольцом R с универсальной обертывающей алгеброй , и пусть M — представление ( эквивалентно, -модуль). Рассматривая R как тривиальное представление , определяем группы когомологий${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M) }$

(см. функтор Ext для определения Ext). Эквивалентно, это правые производные функторы левого точного инвариантного подмодуля функтора

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ для всех }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

Аналогично можно определить гомологию алгебры Ли как

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M) }$

(см. функтор Tor для определения Tor), который эквивалентен левым производным функторам правого точного коинварианта функтора

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

Некоторые важные основные результаты о когомологиях алгебр Ли включают леммы Уайтхеда , теорему Вейля и теорему разложения Леви .

Пусть — алгебра Ли над полем с левым действием на -модуле . Элементы комплекса Шевалле–Эйленберга${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle М}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)}$

называются коцепями от до . Однородная -коцепь от до является, таким образом, знакопеременной -мультилинейная функция . Когда конечно порождено как векторное пространство, комплекс Шевалле–Эйленберга канонически изоморфен тензорному произведению , где обозначает двойственное векторное пространство для .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle к}$${\displaystyle f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Скобка Ли на индуцирует транспонированное применение по двойственности. Последнего достаточно, чтобы определить вывод комплекса коцепей из в путем расширения согласно градуированному правилу Лейбница. Это следует из тождества Якоби, которое удовлетворяет и фактически является дифференциалом. В этой настройке рассматривается как тривиальный -модуль, в то время как может рассматриваться как константы.${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\двоеточие \Лямбда ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle d_ {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$${\displaystyle d_ {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{2}=0}$${\displaystyle к}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_ {\mathfrak {g}})}$

В общем случае пусть обозначает левое действие на и рассматривается как приложение . Дифференциал Шевалле–Эйленберга тогда является единственным выводом, расширяющим и согласно градуированному правилу Лейбница , условию нильпотентности, вытекающему из гомоморфизма алгебры Ли из в и тождеству Якоби в .${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle д}$${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}}$${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$${\displaystyle d^{2}=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathrm {Конец} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В явном виде дифференциал -коцепи — это -коцепь , заданная формулой: ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle df}$

${\displaystyle {\begin{align}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{align}}}$

где знак «каретка» означает пропуск этого аргумента.

Когда — действительная группа Ли с алгеброй Ли , комплекс Шевалле–Эйленберга также может быть канонически отождествлен с пространством левоинвариантных форм со значениями в , обозначаемым как . Дифференциал Шевалле–Эйленберга тогда можно рассматривать как ограничение ковариантной производной на тривиальном расслоении , снабженном эквивариантной связностью , связанной с левым действием на . В частном случае, когда снабжено тривиальным действием , дифференциал Шевалле–Эйленберга совпадает с ограничением дифференциала де Рама на на подпространство левоинвариантных дифференциальных форм.${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}}$ ${\displaystyle G\times M\rightarrow G}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))}$${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=k=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G)}$

Нулевая группа когомологий — это (по определению) инварианты алгебры Ли, действующие на модуль:

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

Первая группа когомологий — это пространство Der выводов по модулю пространства Ider внутренних выводов.

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}$,

где вывод — это отображение из алгебры Ли в такое, что${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$

и называется внутренним, если он задан

${\displaystyle dx=xa~}$

для некоторых в .${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$

Вторая группа когомологий

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

— пространство классов эквивалентности расширений алгебры Ли

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

алгебры Ли по модулю .${\displaystyle M}$

Аналогично, любой элемент группы когомологий задаёт класс эквивалентности способов расширения алгебры Ли до «Ли -алгебры» с нулевой степенью и степенью . ^[4] Ли -алгебра — это гомотопическая алгебра Ли с ненулевыми членами только в степенях от 0 до .${\displaystyle H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Когда , как упоминалось ранее, комплекс Шевалле–Эйленберга совпадает с комплексом де Рама для соответствующей компактной группы Ли. В этом случае несет тривиальное действие , поэтому для любого .${\displaystyle M=\mathbb {R} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle xa=0}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},a\in M}$

• Нулевая группа когомологий — это .${\displaystyle M}$
• Первая когомология: задан вывод для всех и , поэтому вывод удовлетворяет для всех коммутаторов, поэтому идеал содержится в ядре .${\displaystyle D}$${\displaystyle xDy=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle D([x,y])=0}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle D}$
  • Если , как в случае простых алгебр Ли , то , поэтому пространство дериваций тривиально, поэтому первые когомологии тривиальны.${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D\equiv 0}$
  • Если абелева, то есть , то любой линейный функционал на самом деле является выводом, а набор внутренних выводов тривиален, поскольку они удовлетворяют для любого . Тогда первая группа когомологий в этом случае равна . В свете соответствия де-Рама это показывает важность предположения о компактности, поскольку это первая группа когомологий -тора, рассматриваемого как абелева группа, и ее также можно рассматривать как абелеву группу размерности , но имеющую тривиальные когомологии.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=0}$${\displaystyle D:{\mathfrak {g}}\rightarrow M}$${\displaystyle Dx=xa=0}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle M^{{\text{dim}}{\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Вторая когомология: Вторая группа когомологий — это пространство классов эквивалентности центральных расширений.

$${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0.}$$Конечномерные простые алгебры Ли имеют только тривиальные центральные расширения: доказательство приведено здесь .

Когда , действие является присоединенным действием , .${\displaystyle M={\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\cdot y=[x,y]={\text{ad}}(x)y}$

• Нулевая группа когомологий — это центр ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$
• Первая когомология: внутренние деривации задаются как , поэтому они являются в точности образом Первая группа когомологий — это пространство внешних дериваций .${\displaystyle Dx=xy=[x,y]=-{\text{ad}}(y)x}$${\displaystyle {\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}({\mathfrak {g}}).}$

• БРСТ-формализм в теоретической физике.
• Когомологии Гельфанда–Фукса