определитель Фугледе-Кадисона

Эта статья требует внимания эксперта по математике . Конкретная проблема: просмотрите статью. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Октябрь 2018 )

В математике определитель Фугледе -Кадисона обратимого оператора в конечном множителе — это положительное действительное число, связанное с ним. Он определяет мультипликативный гомоморфизм из множества обратимых операторов в множество положительных действительных чисел. Определитель Фугледе-Кадисона оператора часто обозначается как .${\displaystyle A}$${\displaystyle \Delta (A)}$

Для матрицы в , которая является нормализованной формой абсолютного значения определителя .${\displaystyle A}$${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \Delta (A)=\left|\det(A)\right|^{1/n}}$${\displaystyle A}$

Пусть будет конечным множителем с каноническим нормализованным следом и пусть будет обратимым оператором в . Тогда определитель Фугледе-Кадисона определяется как${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta (X):=\exp \tau (\log(X^{*}X)^{1/2}),}$

(ср. Связь между определителем и следом через собственные значения ). Число хорошо определяется непрерывным функциональным исчислением .${\displaystyle \Delta (X)}$

• ${\displaystyle \Delta (XY)=\Delta (X)\Delta (Y)}$для обратимых операторов ,${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {M}}}$
• ${\displaystyle \Delta (\exp A)=\left|\exp \tau (A)\right|=\exp \Re \tau (A)}$для${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}.}$
• ${\displaystyle \Delta }$является непрерывным по норме на , множество обратимых операторов в${\displaystyle GL_{1}({\mathcal {M}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}},}$
• ${\displaystyle \Delta (X)}$не превышает спектральный радиус .${\displaystyle X}$

Существует множество возможных расширений определителя Фугледе-Кадисона на сингулярные операторы в . Все они должны присваивать значение 0 операторам с нетривиальным нулевым пространством. Никакое расширение определителя с обратимых операторов на все операторы в , не является непрерывным в равномерной топологии.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Алгебраическое расширение присваивает значение 0 сингулярному оператору в .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Для оператора в аналитическое расширение использует спектральное разложение для определения с пониманием того, что если . Это расширение удовлетворяет свойству непрерывности${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle |A|=\int \lambda \;dE_{\lambda }}$${\displaystyle \Delta (A):=\exp \left(\int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })\right)}$${\displaystyle \Delta (A)=0}$${\displaystyle \int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\Delta (H+\varepsilon I)=\Delta (H)}$для${\displaystyle H\geq 0.}$

Хотя первоначально определитель Фугледе-Кадисона был определен для операторов в конечных множителях, он переносится на случай операторов в алгебрах фон Неймана со следовым состоянием ( ), в этом случае он обозначается как .${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Delta _{\tau }(\cdot )}$

• Фугледе, Бент; Кадисон, Ричард (1952), «Теория детерминантов в конечных факторах», Ann. Math. , Серия 2, 55 (3): 520– 530, doi :10.2307/1969645, JSTOR  1969645.

• де ла Арп, Пьер (2013), «Определитель Фугледе−Кадисона: тема и вариации», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 110 (40): 15864– 15877, doi : 10.1073/pnas.1202059110 , PMC  3791716 , PMID  24082099.