Этальная фундаментальная группа

Этальная или алгебраическая фундаментальная группа является аналогом в алгебраической геометрии ( для схем ) обычной фундаментальной группы топологических пространств .

В алгебраической топологии фундаментальная группа топологического пространства с точкой определяется как группа гомотопических классов петель, основанных на . Это определение хорошо работает для таких пространств, как вещественные и комплексные многообразия , но дает нежелательные результаты для алгебраического многообразия с топологией Зарисского .${\displaystyle \пи _{1}(X,x)}$${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle x}$

В классификации накрывающих пространств показано, что фундаментальная группа — это в точности группа преобразований палуб универсального накрывающего пространства . Это более многообещающе: конечные этальные морфизмы алгебраических многообразий являются подходящим аналогом накрывающих пространств топологических пространств. К сожалению, алгебраическое многообразие часто не имеет «универсального покрытия», которое было бы конечным над , поэтому необходимо рассмотреть всю категорию конечных этальных покрытий . Затем можно определить этальную фундаментальную группу как обратный предел групп конечных автоморфизмов .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Пусть — связная и локально нётерова схема , пусть — геометрическая точка и пусть — категория пар таких, что — конечный этальный морфизм из схемы Морфизмы в этой категории — это морфизмы как схемы над Эта категория имеет естественный функтор в категорию множеств, а именно функтор:${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle С}$${\displaystyle (Y,f)}$${\displaystyle f\двоеточие Y\до X}$${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (Y,f)\to (Y',f')}$${\displaystyle Y\to Y'}$${\displaystyle X.}$

${\displaystyle F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);}$

геометрически это слой над и абстрактно это функтор Йонеды, представленный в категории схем над . Функтор обычно не представим в ; однако, он про-представим в , фактически накрытиями Галуа для . Это означает, что у нас есть проективная система в , индексированная направленным множеством , где являются накрытиями Галуа для , т.е. конечными этальными схемами над такими, что . ^[1] Это также означает, что мы задали изоморфизм функторов: ${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle С}$${\displaystyle С}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}}$${\displaystyle С}$ ${\displaystyle Я,}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)}$

${\displaystyle F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)}$.

В частности, мы имеем отмеченную точку проективной системы.${\displaystyle P\in \varprojlim _{i\in I}F(X_{i})}$

Для двух таких отображение индуцирует групповой гомоморфизм , который производит проективную систему групп автоморфизмов из проективной системы . Затем мы даем следующее определение: этальная фундаментальная группа at является обратным пределом:${\displaystyle X_{i},X_{j}}$${\displaystyle X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}),}$

с топологией обратного предела.

Функтор теперь является функтором из в категорию конечных и непрерывных -множеств и устанавливает эквивалентность категорий между и категорией конечных и непрерывных -множеств. ^[2]${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

Самый простой пример — это , этальная фундаментальная группа поля . По сути, по определению, фундаментальная группа изоморфна абсолютной группе Галуа . Точнее, выбор геометрической точки эквивалентен заданию сепарабельно замкнутого поля расширения , а этальная фундаментальная группа относительно этой базовой точки отождествляется с группой Галуа . Такая интерпретация группы Галуа известна как теория Галуа Гротендика .${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spec} k)}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

В более общем смысле, для любого геометрически связного многообразия над полем (т.е. такого, что является связным) существует точная последовательность проконечных групп :${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{sep}:=X\times _{k}k^{sep}}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(X^{sep},{\overline {x}})\to \pi _{1}(X,{\overline {x}})\to \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)\to 1.}$

Для схемы , которая имеет конечный тип над , комплексными числами, существует тесная связь между этальной фундаментальной группой и обычной, топологической, фундаментальной группой , комплексным аналитическим пространством , присоединенным к . Алгебраическая фундаментальная группа, как ее обычно называют в этом случае, является проконечным пополнением . Это является следствием теоремы о существовании Римана, которая гласит, что все конечные этальные покрытия вытекают из покрытий . В частности, поскольку фундаментальная группа гладких кривых над (т.е. открытых римановых поверхностей ) хорошо понятна; это определяет алгебраическую фундаментальную группу. В более общем смысле, фундаментальная группа собственной схемы над любым алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики известна, поскольку расширение алгебраически замкнутых полей индуцирует изоморфные фундаментальные группы.${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Для алгебраически замкнутого поля положительной характеристики результаты будут другими, поскольку в этой ситуации существуют покрытия Артина–Шрайера. Например, фундаментальная группа аффинной прямой не является топологически конечно порожденной . Ручная фундаментальная группа некоторой схемы U является фактором обычной фундаментальной группы , которая учитывает только покрытия, ручно разветвленные вдоль , где — некоторая компактификация, а — дополнение в . ^{[3] [4]} Например, ручная фундаментальная группа аффинной прямой равна нулю.${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

Оказывается, что каждая аффинная схема является -пространством в том смысле, что этальный гомотопический тип полностью определяется его этальной гомотопической группой. ^[5] Обратите внимание , где - геометрическая точка.${\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle K(\pi ,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}$${\displaystyle {\overline {x}}}$

С теоретико-категорной точки зрения фундаментальная группа является функтором:

{ Точечные алгебраические многообразия } → { Проконечные группы }.

Обратная задача Галуа спрашивает, какие группы могут возникнуть как фундаментальные группы (или группы Галуа расширений полей). Анабелева геометрия , например, гипотеза Гротендика о сечении , стремится идентифицировать классы многообразий, которые определяются их фундаментальными группами. ^[6]

Фридлендер (1982) изучает высшие этальные гомотопические группы с помощью этального гомотопического типа схемы.

Бхатт и Шольце (2015, §7) ввели вариант этальной фундаментальной группы, называемый проэтальной фундаментальной группой . Она строится путем рассмотрения вместо конечных этальных покрытий отображений, которые являются как этальными, так и удовлетворяют оценочному критерию правильности . Для геометрически одноветвистых схем (например, нормальных схем) оба подхода согласуются, но в целом проэтальная фундаментальная группа является более тонким инвариантом: ее проконечное пополнение является этальной фундаментальной группой.

• этальный морфизм
• Основная группа
• Фундаментальная групповая схема

• Бхатт, Бхаргав; Шольце, Питер (2015), «Проэтальная топология схем», Asterisque : 99–201 , arXiv : 1309.1198 , Bibcode : 2013arXiv1309.1198B, MR  3379634
• Фридлендер, Эрик М. (1982), Этальная гомотопия симплициальных схем , Annals of Mathematics Studies, т. 104, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08288-2
• Мурре, Дж. П. (1967), Лекции по введению в теорию фундаментальной группы Гротендика , Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR  0302650
• Тамагава, Акио (1997), «Гипотеза Гротендика для аффинных кривых», Compositio Mathematica , 109 (2): 135–194 , doi : 10.1023/A:1000114400142 , MR  1478817
• В данной статье использованы материалы группы étale fundamental на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .