Податливая группа

В математике аменабельная группа — это локально компактная топологическая группа G, выполняющая своего рода операцию усреднения на ограниченных функциях , которая инвариантна относительно переноса элементами группы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной меры (или среднего) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («measurable» на английском языке) в ответ на парадокс Банаха–Тарского . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «amenable», по-видимому, как каламбур на « mean ». ^[a]

Критический шаг в построении парадокса Банаха–Тарского — найти внутри группы вращений SO(3) свободную подгруппу с двумя образующими. Аменабельные группы не могут содержать такие группы и не допускают такого рода парадоксальных построений.

Аменабельность имеет много эквивалентных определений. В области анализа определение дается в терминах линейных функционалов . Интуитивный способ понять эту версию состоит в том, что носителем регулярного представления является все пространство неприводимых представлений .

В дискретной теории групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этой обстановке группа является поддающейся, если можно сказать, какую долю G занимает любое заданное подмножество. Например, любая подгруппа группы целых чисел порождается некоторым целым числом . Если то подгруппа занимает 0 долю. В противном случае она занимает всю группу. Несмотря на то, что и группа, и подгруппа имеют бесконечно много элементов, существует четко определенное чувство пропорции.${\displaystyle (\mathbb {Z},+)}$${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle 1/п}$

Если группа имеет последовательность Фёльнера , то она автоматически аменабельна.

Пусть G — локально компактная группа Хаусдорфа . Тогда хорошо известно, что она обладает единственной, вплоть до масштаба левой (или правой) трансляционно-инвариантной нетривиальной кольцевой мерой, мерой Хаара . (Это регулярная по Борелю мера , когда G является второй счетной ; существуют как левые, так и правые меры, когда G компактна.) Рассмотрим банахово пространство L ^∞ ( G ) существенно ограниченных измеримых функций в этом пространстве мер (которое, очевидно, не зависит от масштаба меры Хаара).

Определение 1. Линейный функционал Λ из Hom( L ^∞ ( G ), R ) называется средним, если Λ имеет норму 1 и является неотрицательным, т.е. f ≥ 0 п.в. влечет Λ( f ) ≥ 0.

Определение 2. Среднее Λ в Hom( L ^∞ ( G ), R ) называется левоинвариантным (соответственно правоинвариантным ), если Λ( g · f ) = Λ( f ) для всех g в G и f в L ^∞ ( G ) относительно действия левого (соответственно правого) сдвига g · f (x) = f ( g ⁻¹ x ) (соответственно f · g (x) = f ( xg ⁻¹ )).

Определение 3. Локально компактная группа Хаусдорфа называется аменабельной, если она допускает лево- (или право-)инвариантное среднее.

Отождествляя Hom( L ^∞ ( G ), R ) с пространством конечно-аддитивных борелевских мер, которые абсолютно непрерывны относительно меры Хаара на G ( ba-пространство ), терминология становится более естественной: среднее в Hom( L ^∞ ( G ), R ) индуцирует левоинвариантную конечно-аддитивную борелевскую меру на G , которая дает всей группе вес 1.

В качестве примера компактных групп рассмотрим группу окружностей. График типичной функции f ≥ 0 выглядит как зубчатая кривая над окружностью, которую можно сделать, оторвав конец бумажной трубки. Линейный функционал затем усреднит кривую, отрезав немного бумаги в одном месте и приклеив ее в другом месте, снова создав плоскую вершину. Это инвариантное среднее, т.е. среднее значение, где — мера Лебега.${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }f\ d\lambda }$${\displaystyle \лямбда}$

Левая инвариантность будет означать, что вращение трубки не изменяет высоту плоской вершины на конце. То есть, имеет значение только форма трубки. В сочетании с линейностью, положительностью и нормой-1 этого достаточно, чтобы доказать, что построенное нами инвариантное среднее является уникальным.

В качестве примера локально компактных групп рассмотрим группу целых чисел. Ограниченная функция f — это просто ограниченная функция типа , а ее среднее значение — это скользящее среднее .${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=-n}^{n}f(k)}$

В работе Пьера (1984) содержится исчерпывающий отчет об условиях локально компактной группы G, удовлетворяющей второй аксиоме счетности , которые эквивалентны аменабельности: ^[2]

• Существование левого (или правого) инвариантного среднего на L ^∞ ( G ). Исходное определение, которое зависит от аксиомы выбора .
• Существование левоинвариантных состояний. На любой сепарабельной левоинвариантной унитальной C*-подалгебре ограниченных непрерывных функций на G существует левоинвариантное состояние .
• Свойство неподвижной точки. Любое действие группы непрерывными аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве (сепарабельного) локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку. Для локально компактных абелевых групп это свойство выполняется в результате теоремы Маркова–Какутани о неподвижной точке .
• Неприводимое двойственное. Все неприводимые представления слабо содержатся в левом регулярном представлении λ на L ² ( G ).
• Тривиальное представление. Тривиальное представление G слабо содержится в левом регулярном представлении.
• Условие Годемана. Каждая ограниченная положительно определенная мера μ на G удовлетворяет μ (1) ≥ 0. Валетт улучшил этот критерий, показав, что достаточно спросить, что для каждой непрерывной положительно определенной функции f с компактным носителем на G функция Δ ^{– 1 ⁄ 2} f имеет неотрицательный интеграл относительно меры Хаара, где Δ обозначает модулярную функцию. ^[3]
• Условие асимптотической инвариантности Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φ _n с интегралом 1 на G такая, что λ( g )φ _n − φ _n стремится к 0 в слабой топологии на L ¹ ( G ).
• Условие Рейтера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F из G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что λ( g )φ − φ сколь угодно мала в L ¹ ( G ) для g из F .
• Условие Диксмье. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F из G существует единичный вектор f в L ² ( G ) такой, что λ( g ) f − f произвольно мало в L ² ( G ) для g из F .
• Условие Гликсберга-Райтера. Для любого f из L ¹ ( G ) расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в ​​L ¹ ( G ) левого переноса λ( g ) f равно |∫ f |.
• Условие Фёльнера . Для каждого конечного (или компактного) подмножества F из G существует измеримое подмножество U из G с конечной положительной мерой Хаара, такое что m ( U Δ gU )/m( U ) произвольно мало для g из F .
• Условие Лептина. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F из G существует измеримое подмножество U из G с конечной положительной мерой Хаара, такое что m ( FU Δ U )/m( U ) произвольно мало.
• Условие Кестена . Левая свертка на L ² ( G ) по симметричной вероятностной мере на G дает оператор с операторной нормой 1.
• Когомологическое условие Джонсона. Банахова алгебра A = L ¹ ( G ) аменабельна как банахова алгебра , т.е. любое ограниченное выводимое алгеброй A в двойственный к банахову A -бимодулю является внутренним.

Определение аменабельности проще в случае дискретной группы , ^[4] т.е. группы, снабженной дискретной топологией. ^[5]

Определение. Дискретная группа G является аменабельной, если существует конечно-аддитивная мера (также называемая средним) — функция, которая присваивает каждому подмножеству G число от 0 до 1 — такая, что

1. Мера является вероятностной : мера всей группы G равна 1.
2. Мера является конечно-аддитивной : если задано конечное число непересекающихся подмножеств G , то мера объединения множеств равна сумме мер.
3. Мера является левоинвариантной : если дано подмножество A и элемент g из G , то мера A равна мере gA . ( gA обозначает множество элементов ga для каждого элемента a в A. То есть каждый элемент A смещается влево на  g .)

Это определение можно суммировать следующим образом: G является аменабельным, если он имеет конечно-аддитивную левоинвариантную вероятностную меру. При наличии подмножества A из G меру можно рассматривать как ответ на вопрос: какова вероятность того, что случайный элемент G находится в A ?

Фактом является то, что это определение эквивалентно определению в терминах  L ^∞ ( G ).

Наличие меры μ на G позволяет нам определить интегрирование ограниченных функций на  G. Если задана ограниченная функция f : G → R , интеграл

${\displaystyle \int _{G}f\,d\mu }$

определяется как в интегрировании Лебега . (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега здесь не выполняются, поскольку наша мера является только конечно-аддитивной.)

Если группа имеет левоинвариантную меру, она автоматически имеет и биинвариантную. При наличии левоинвариантной меры μ функция μ ⁻ ( A ) = μ ( A ⁻¹ ) является правоинвариантной мерой. Объединение этих двух дает биинвариантную меру:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.}$

Эквивалентные условия аменабельности также упрощаются в случае счетной дискретной группы Γ. Для такой группы следующие условия эквивалентны: ^[2]

• Γ поддается.
• Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E , оставляя слабо замкнутое выпуклое подмножество C замкнутого единичного шара E * инвариантным, то Γ имеет неподвижную точку в C .
• Существует левоинвариантный непрерывный по норме функционал μ на ℓ ^∞ (Γ) с μ (1) = 1 (для этого требуется аксиома выбора ).
• На любой левоинвариантной сепарабельной унитальной C*-подалгебре ℓ ^∞ (Γ) существует левоинвариантное состояние μ .
• Существует набор вероятностных мер μ _n на Γ, такой что || g · μ _n  −  μ _n || ₁ стремится к 0 для каждого g в Γ (MM Day).
• Существуют единичные векторы x _n в ℓ ² (Γ) такие, что || g · x _n  −  x _n || ₂ стремится к 0 для каждого g в Γ (Ж. Диксмье).
• Существуют конечные подмножества S _n из Γ такие, что | g · S _n Δ S _n | / | S _n | стремится к 0 для каждого g из Γ (Фёльнер).
• Если μ — симметричная вероятностная мера на Γ с носителем, порождающим Γ, то свертка по μ определяет оператор нормы 1 на ℓ ² (Γ) (Кестен).
• Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E и f в ℓ ^∞ (Γ, E *) является ограниченным 1-коциклом, т. е. f ( gh ) =  f ( g ) +  g · f ( h ), то f является 1-кограницей, т. е. f ( g ) = g ·φ − φ для некоторого φ в E * (BE Johnson).
• Приведенная групповая C*-алгебра (см. приведенная групповая C*-алгебра C _r * ( G ) ) является ядерной .
• Редуцированная групповая C*-алгебра является квазидиагональной (Дж. Розенберг, А. Тикуисис, С. Уайт, У. Винтер).
• Групповая алгебра фон Неймана (см. алгебры фон Неймана, связанные с группами ) группы Γ является гиперконечной (А. Конн).

Отметим, что А. Конн также доказал, что групповая алгебра фон Неймана любой связной локально компактной группы является гиперконечной , поэтому последнее условие больше не применимо в случае связных групп.

Аменабельность связана со спектральной теорией некоторых операторов. Например, фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия аменабельна тогда и только тогда, когда нижняя часть спектра лапласиана на L2 -пространстве универсальной оболочки многообразия равна 0. ^[6]

• Каждая (замкнутая) подгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Каждый фактор податливой группы податлив.
• Расширение группы аменабельной группы аменабельной группой снова аменабельно. В частности, конечные прямые произведения аменабельных групп аменабельны, хотя бесконечные произведения не обязаны быть таковыми.
• Прямые пределы аменабельных групп аменабельны. В частности, если группа может быть записана как направленное объединение аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
• Аменабельные группы унитаризуемы ; обратная проблема открыта.
• Счетные дискретные аменабельные группы подчиняются теореме об изоморфизме Орнштейна . ^{[7] [8]}

• Конечные группы аменабельны. Используйте счетную меру с дискретным определением. В более общем случае компактные группы аменабельны. Мера Хаара — это инвариантное среднее (уникальное, принимающее общую меру 1).
• Группа целых чисел аменабельна (последовательность интервалов длины, стремящейся к бесконечности, является последовательностью Фёльнера). Существование инвариантной относительно сдвига конечно-аддитивной вероятностной меры на группе Z также легко следует из теоремы Хана–Банаха таким образом. Пусть S — оператор сдвига на пространстве последовательностей ℓ ^∞ ( Z ), который определяется как ( Sx ) _i  =  x _{i +1} для всех x  ∈ ℓ ^∞ ( Z ), и пусть u  ∈ ℓ ^∞ ( Z ) — постоянная последовательность u _i  = 1 для всех i  ∈  Z . Любой элемент y  ∈ Y :=range( S  −  I ) имеет расстояние, большее или равное 1, от u (иначе y _i  = x _i+1  - x _i было бы положительным и отделенным от нуля, откуда x _i не могло бы быть ограниченным). Это подразумевает, что существует хорошо определенная линейная форма с нормой один на подпространстве R u  +  Y , переводящая tu + y в t . По теореме Хана–Банаха последняя допускает линейное расширение с нормой один на ℓ ^∞ ( Z ), которое по построению является инвариантной относительно сдвига конечно-аддитивной вероятностной мерой на Z .
• Если каждый класс сопряженности в локально компактной группе имеет компактное замыкание, то группа аменабельна. Примерами групп с этим свойством являются компактные группы, локально компактные абелевы группы и дискретные группы с конечными классами сопряженности . ^[9]
• По свойству прямого предела выше, группа аменабельна, если все ее конечно порождённые подгруппы аменабельны. То есть локально аменабельные группы аменабельны.
  • Из основной теоремы о конечно порождённых абелевых группах следует, что абелевы группы аменабельны.
• Из свойства расширения выше следует, что группа аменабельна, если она имеет конечный индекс аменабельной подгруппы. То есть виртуально аменабельные группы аменабельны.
• Более того, отсюда следует, что все разрешимые группы являются аменабельными.

Все примеры выше являются элементарно аменабельными . Первый класс примеров ниже может быть использован для демонстрации неэлементарных аменабельных примеров благодаря существованию групп промежуточного роста .

• Конечно-сгенерированные группы субэкспоненциального роста поддаются. Подходящая подпоследовательность шаров обеспечит последовательность Фёльнера. ^[10]
• Конечно порожденные бесконечные простые группы не могут быть получены с помощью конструкций bootstrap, которые используются для построения элементарных аменабельных групп. Поскольку существуют такие простые группы, которые аменабельны, благодаря Ющенко и Моно ^[11] , это снова дает неэлементарные аменабельные примеры.

Если счетная дискретная группа содержит (неабелеву) свободную подгруппу с двумя образующими, то она не аменабельна. Обратной к этому утверждению является так называемая гипотеза фон Неймана , которая была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского . Адян впоследствии показал, что свободные группы Бернсайда не аменабельны: поскольку они периодические , они не могут содержать свободную группу с двумя образующими. Эти группы конечно порождены, но не конечно представлены. Однако в 2002 году Сапир и Ольшанский нашли конечно представленные контрпримеры: не аменабельные конечно представленные группы , которые имеют периодическую нормальную подгруппу с фактором целых чисел. ^[12]

Для конечно порождённых линейных групп , однако, гипотеза фон Неймана верна по альтернативе Титса : ^[13] каждая подгруппа GL ( n , k ) с полем k либо имеет нормальную разрешимую подгруппу конечного индекса (и, следовательно, аменабельна), либо содержит свободную группу с двумя образующими. Хотя доказательство Титса использовало алгебраическую геометрию , позже Гиварк нашёл аналитическое доказательство, основанное на мультипликативной эргодической теореме В. Оселедца . ^[14] Аналоги альтернативы Титса были доказаны для многих других классов групп, таких как фундаментальные группы двумерных симплициальных комплексов неположительной кривизны . [ ^15]

• Равномерно ограниченное представление
• Имущество Каждана (Т)
• Гипотеза фон Неймана

В данной статье использованы материалы группы Amenable на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Некоторые заметки о податливости Терри Тао
• Гарридо, Алехандра. Введение в податливые группы