Продукт Massey

В алгебраической топологии произведение Масси — это когомологическая операция высшего порядка, введенная в (Massey 1958), которая обобщает произведение кубков . Произведение Масси было создано Уильямом С. Масси , американским алгебраическим топологом.

Пусть — элементы алгебры когомологий дифференциальной градуированной алгебры . Если , то произведение Масси является подмножеством , где .${\displaystyle а,б,в}$${\displaystyle H^{*}(\Gamma)}$ ${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle ab=bc=0}$${\displaystyle \langle a,b,c\rangle}$${\displaystyle H^{n}(\Gamma)}$${\displaystyle n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1}$

Произведение Масси определяется алгебраически, поднимая элементы до классов эквивалентности элементов , беря произведения Масси из них, а затем опуская их до когомологий. Это может привести к хорошо определенному классу когомологий или может привести к неопределенности.${\displaystyle а,б,в}$${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle \Гамма}$

Определим как . Класс когомологий элемента будет обозначаться как . Тройное произведение Мэсси трех классов когомологий определяется как${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle (-1)^{\deg(u)+1}u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle [u]}$

${\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.}$

Произведение Масси трех классов когомологий не является элементом , а представляет собой набор элементов , возможно пустой и, возможно, содержащий более одного элемента. Если имеют степени , то произведение Масси имеет степень , при этом вытекает из дифференциала .${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle i,j,k}$${\displaystyle i+j+k-1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle d}$

Произведение Мэсси непусто, если оба произведения и точны, в этом случае все его элементы находятся в одном и том же элементе факторгруппы.${\displaystyle uv}$${\displaystyle vw}$

${\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).}$

Таким образом, произведение Мэсси можно рассматривать как функцию, определенную на тройках классов таким образом, что произведение первых или последних двух равно нулю, принимая значения в указанной выше факторгруппе.

Более небрежно, если два попарных произведения и оба исчезают в гомологии ( ), то есть и для некоторых цепей и , то тройное произведение исчезает «по двум разным причинам» — это граница и (так как и потому что элементы гомологии являются циклами). Ограничивающие цепи и имеют неопределенность, которая исчезает при переходе к гомологии, и поскольку и имеют одну и ту же границу, вычитание их (соглашение о знаках заключается в том, чтобы правильно обрабатывать градуировку) дает коцикл (граница разности исчезает), и таким образом получается хорошо определенный элемент когомологий — этот шаг аналогичен определению гомотопии st или группы гомологий в терминах неопределенности в нуль-гомотопиях/нуль-гомологиях n -мерных карт/цепей.${\displaystyle [u][v]}$${\displaystyle [v][w]}$${\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}$${\displaystyle uv=ds}$${\displaystyle vw=dt}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [u][v][w]}$${\displaystyle sw}$${\displaystyle ut}$${\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}$${\displaystyle [dw]=0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle sw}$${\displaystyle ut}$${\displaystyle n+1}$

Геометрически, в сингулярных когомологиях многообразия, можно интерпретировать произведение двойственно в терминах ограничивающих многообразий и пересечений, следуя двойственности Пуанкаре : двойственно коциклам — циклы, часто представимые как замкнутые многообразия (без границы), двойственно произведению — пересечение, а двойственно вычитанию ограничивающих произведений — склеивание двух ограничивающих многообразий вместе вдоль границы, получая замкнутое многообразие, которое представляет класс гомологии, двойственный произведению Масси. В действительности классы гомологии многообразий не всегда могут быть представлены многообразиями — представляющий цикл может иметь особенности — но с этой оговоркой двойственная картина верна.

В более общем смысле n -кратное произведение Масси из n элементов определяется как множество элементов вида${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$

${\displaystyle {\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}}$

для всех решений уравнений

${\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}$,

с и , где обозначает .${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$${\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}$${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}$

Произведение Мэсси более высокого порядка можно рассматривать как препятствие к решению последней системы уравнений для всех , в том смысле, что оно содержит класс когомологий 0 тогда и только тогда, когда эти уравнения разрешимы. Это n -кратное произведение Мэсси является операцией когомологии порядка, что означает, что для того, чтобы оно было непустым, многие операции Мэсси более низкого порядка должны содержать 0, и, более того, классы когомологий, которые оно представляет, все отличаются членами, включающими операции более низкого порядка. Двукратное произведение Мэсси является просто обычным произведением чашки и является операцией когомологии первого порядка, а трехкратное произведение Мэсси совпадает с тройным произведением Мэсси, определенным выше, и является вторичной операцией когомологии .${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$${\displaystyle n-1}$

Дж. Питер Мэй  (1969) описал дальнейшее обобщение, называемое Матричными произведениями Масси , которое можно использовать для описания дифференциалов спектральной последовательности Эйленберга–Мура .

Дополнение колец Борромео ^[1] дает пример, где тройное произведение Масси определено и не равно нулю. Обратите внимание, что когомологии дополнения можно вычислить с помощью двойственности Александера . Если u , v , и w являются 1-коцепями, двойственными к 3 кольцам, то произведение любых двух является кратным соответствующему числу зацепления и, следовательно, равно нулю, в то время как произведение Масси всех трех элементов не равно нулю, показывая, что кольца Борромео связаны. Алгебра отражает геометрию: кольца попарно не связаны, что соответствует исчезновению попарных (2-кратных) произведений, но в целом связаны, что соответствует не исчезновению 3-кратного произведения.

В более общем смысле, n -компонентные брунновские связи – связи, в которых любая -компонентная подсвязь является несвязанной, но общая n -компонентная связь является нетривиально связанной – соответствуют n -кратным произведениям Мэсси, при этом расцепление -компонентной подсвязи соответствует исчезновению -кратных произведений Мэсси, а общая n -компонентная связь соответствует неисчезновению n -кратного произведения Мэсси.${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (n-1)}$

Уэхара и Мэсси (1957) использовали тройное произведение Мэсси, чтобы доказать, что произведение Уайтхеда удовлетворяет тождеству Якоби .

Произведения Масси более высокого порядка появляются при вычислении скрученной K-теории с помощью спектральной последовательности Атьи–Хирцебруха (AHSS). В частности, если H является твистом 3-класса, Атья и Сигал (2006) показали, что рационально, дифференциалы более высокого порядка в AHSS, действующие на класс x, задаются произведением Масси p копий H с одной копией x .${\displaystyle d_{2p+1}\ }$

Если многообразие формально (в смысле Денниса Салливана ), то все произведения Масси на этом пространстве должны исчезнуть; таким образом, одна из стратегий для демонстрации того, что данное многообразие не является формальным, состоит в том, чтобы продемонстрировать нетривиальное произведение Масси. Здесь формальное многообразие — это такое, рациональный гомотопический тип которого может быть выведен («формально») из конечномерной «минимальной модели» его комплекса де Рама . Делинь и др. (1975) показали, что компактные кэлеровы многообразия являются формальными.

Сальваторе и Лонгони (2005) используют произведение Мэсси, чтобы показать, что гомотопический тип конфигурационного пространства двух точек в линзовом пространстве нетривиальным образом зависит от простого гомотопического типа линзового пространства.

• скобка Тода

• Атья, Майкл ; Сигал, Грэм (2006), «Скрученная K-теория и когомологии», вдохновлено SS Chern , Nankai Tracts in Mathematics, т. 11, Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishers, стр. 5–43, arXiv : math.KT/0510674 , doi : 10.1142/9789812772688_0002, ISBN 978-981-270-061-2, MR  2307274, S2CID  119726615
• Делинь, Пьер ; Гриффитс, Филлип ; Морган, Джон ; Салливан, Деннис (1975), «Действительная гомотопическая теория кэлеровых многообразий», Inventiones Mathematicae , 29 (3): 245–274, Bibcode : 1975InMat..29..245D, doi : 10.1007/BF01389853, MR  0382702, S2CID  1357812
• Мэсси, Уильям С. (1958), «Некоторые когомологические операции более высокого порядка», Symposium internacional de topología алгебраика (Международный симпозиум по алгебраической топологии) , Мехико: Национальный автономный университет Мексики и ЮНЕСКО, стр. 145–154, MR  0098366
• Мэй, Дж. Питер (1969), «Матричные продукты Масси», Журнал алгебры , 12 (4): 533–568, doi : 10.1016/0021-8693(69)90027-1 , MR  0238929
• Макклири, Джон (2001), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 58 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, MR  1793722, Глава 8, «Продукты Massey», стр. 302–304; «Продукты Massey высшего порядка», стр. 305–310; «Матричные продукты Massey», стр. 311–312{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), «Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными», Топология , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi : 10.1016/j.top.2004.11.002, MR  2114713, S2CID  15874513
• Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "Тождество Якоби для произведений Уайтхеда", Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь S. Lefschetz , Princeton, NJ: Princeton University Press , стр. 361–377, MR  0091473

• Хэ Ван (4 октября 2012 г.). "Продукт Massey и его применение" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2021-02-02.– содержит много явных примеров
• RR Bruner (2 июня 2009 г.). "An Adams Spectral Sequence Primer" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-01-07.– Заметки Брунера
• Хуан С. (1 августа 2012 г.). «Продукты Мэсси в спектральной последовательности Адамса». Stack Exchange .– содержит полезные ссылки для понимания того, как выполнять эти вычисления
• Дэниел Грейди (25 февраля 2015 г.). "Продукты Мэсси и структуры A ∞ {\displaystyle A_{\infty }}". MathOverflow .