Векторный пакет

В математике векторное расслоение — это топологическая конструкция, которая уточняет идею семейства векторных пространств , параметризованных другим пространством (например, это может быть топологическое пространство , многообразие или алгебраическое многообразие ): с каждой точкой пространства мы связываем (или «присоединяем») векторное пространство таким образом, что эти векторные пространства совмещаются, образуя другое пространство того же вида, что и (например, топологическое пространство, многообразие или алгебраическое многообразие), которое затем называется векторным расслоением над .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Простейшим примером является случай, когда семейство векторных пространств является постоянным, т. е. существует фиксированное векторное пространство, такое что для всех в : в этом случае существует копия для каждого в , и эти копии складываются вместе, образуя векторное расслоение над . Такие векторные расслоения называются тривиальными . Более сложным (и прототипичным) классом примеров являются касательные расслоения гладких (или дифференцируемых) многообразий : к каждой точке такого многообразия мы присоединяем касательное пространство к многообразию в этой точке. Касательные расслоения, вообще говоря, не являются тривиальными расслоениями. Например, касательное расслоение сферы нетривиально по теореме о волосатом шаре . В общем случае многообразие называется параллелизуемым тогда и только тогда, когда его касательное расслоение тривиально.${\displaystyle V}$${\displaystyle V(x)=V}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times V}$${\displaystyle X}$

Векторные расслоения почти всегда должны быть локально тривиальными , что означает, что они являются примерами расслоений волокон . Кроме того, векторные пространства обычно должны быть над действительными или комплексными числами , в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как действительные векторные расслоения с дополнительной структурой. Далее мы сосредоточимся на действительных векторных расслоениях в категории топологических пространств .

Действительное векторное расслоение состоит из:

1. топологические пространства ( базовое пространство ) и ( общее пространство )${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$
2. непрерывная сюръекция ( проекция пучка ) ${\displaystyle \pi :E\to X}$
3. для каждого из , структура конечномерного действительного векторного пространства на слое${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

где выполняется следующее условие совместимости: для каждой точки в существует открытая окрестность , натуральное число и гомеоморфизм${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle к}$

${\displaystyle \varphi \colon U\times \mathbb {R} ^{k} \to \pi ^{-1}(U)}$

такой, что для всех в ,${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$для всех векторов в , и${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$
• отображение представляет собой линейный изоморфизм между векторными пространствами и .${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

Открытая окрестность вместе с гомеоморфизмом называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальная тривиализация показывает, что локально отображение «выглядит как» проекция на .${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle U}$

Каждое волокно является конечномерным вещественным векторным пространством и, следовательно, имеет размерность . Локальные тривиализации показывают, что функция локально постоянна , и, следовательно, постоянна на каждой связной компоненте . Если равно константе на всех , то называется рангом векторного расслоения и называется векторным расслоением ранга . Часто определение векторного расслоения включает в себя то, что ранг хорошо определен, так что является постоянным. Векторные расслоения ранга 1 называются линейными расслоениями , тогда как ранга 2 реже называют плоскими расслоениями.${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle x\to k_{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle X}$${\displaystyle к}$${\displaystyle E}$${\displaystyle к}$${\displaystyle k_{x}}$

Декартово произведение , снабженное проекцией , называется тривиальным расслоением ранга над .${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$${\displaystyle к}$${\displaystyle X}$

Дано векторное расслоение ранга и пара окрестностей и , над которыми расслоение тривиализируется посредством${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle к}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k} &\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U) ,\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}}}$

составная функция

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

хорошо определен на перекрытии и удовлетворяет

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

для некоторой -значной функции${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

Они называются функциями перехода (или преобразованиями координат ) векторного расслоения.

Набор функций перехода образует коцикл Чеха в том смысле, что

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

для всех, над которыми расслоение тривиализируется, удовлетворяя . Таким образом, данные определяют расслоение волокон ; дополнительные данные из задают структурную группу, в которой действие на волокне является стандартным действием .${\displaystyle U,V,W}$${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle g_{UV}}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

Наоборот, если дано расслоение волокон с коциклом, действующим стандартным образом на волокне , то ассоциировано векторное расслоение. Это пример теоремы о построении расслоения волокон для векторных расслоений, и его можно рассматривать как альтернативное определение векторного расслоения.${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Один из простых методов построения векторных расслоений — это взятие подрасслоений других векторных расслоений. Если задано векторное расслоение над топологическим пространством, подрасслоение — это просто подпространство , для которого ограничение на также дает структуру векторного расслоения. В этом случае волокно — это векторное подпространство для каждого .${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle F\subset E}$ ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$${\displaystyle x\in X}$

Подрасслоение тривиального расслоения не обязательно должно быть тривиальным, и действительно каждое действительное векторное расслоение над компактным пространством можно рассматривать как подрасслоение тривиального расслоения достаточно высокого ранга. Например, лента Мёбиуса , нетривиальное линейное расслоение над окружностью, может рассматриваться как подрасслоение тривиального расслоения ранга 2 над окружностью.

Морфизм _из векторного расслоения π ₁ : E ₁ → X ₁ в векторное расслоение π ₂ : E 2 → X ₂ задается парой непрерывных отображений f : E ₁ → E ₂ и g : X ₁ → X ₂ такими, что

г  ∘  π ₁ = π ₂  ∘  f

для каждого x из X ₁ отображение π ₁ ⁻¹ ({ x }) → π ₂ ⁻¹ ({ g ( x )}), индуцированное f , является линейным отображением между векторными пространствами.

Обратите внимание, что g определяется f (потому что π ₁ сюръективно), и тогда говорят, что f покрывает g .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию . Ограничиваясь векторными расслоениями, для которых пространства являются многообразиями (а проекции расслоений — гладкими отображениями) и гладкими морфизмами расслоений, мы получаем категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений являются частным случаем понятия отображения расслоений между расслоениями и иногда называются гомоморфизмами (векторных) расслоений .

Гомоморфизм расслоений из E ₁ в E ₂ с обратным , который также является гомоморфизмом расслоений (из E ₂ в E ₁ ), называется изоморфизмом (векторных) расслоений , и тогда E ₁ и E ₂ называются изоморфными векторными расслоениями. Изоморфизм векторного расслоения (ранга k ) E над X с тривиальным расслоением (ранга k над X ) называется тривиализацией E , и тогда E называется тривиализированным (или тривиализуемым ). Определение векторного расслоения показывает, что любое векторное расслоение локально тривиально .

Мы также можем рассмотреть категорию всех векторных расслоений над фиксированным базовым пространством X. В качестве морфизмов в этой категории мы берем те морфизмы векторных расслоений, отображение которых на базовое пространство является тождественным отображением на X. То есть морфизмы расслоений, для которых коммутирует следующая диаграмма :

(Обратите внимание, что эта категория не является абелевой ; ядро ​​морфизма векторных расслоений в общем случае не является векторным расслоением каким-либо естественным образом.)

Морфизм векторных расслоений между векторными расслоениями π ₁ : E ₁ → X ₁ и π ₂ : E ₂ → X _{2 ,} покрывающий отображение g из X ₁ в X _{2 ,} можно также рассматривать как морфизм векторных расслоений над X ₁ из E ₁ в расслоение-образ g * E ₂ .

Если задано векторное расслоение π : E → X и открытое подмножество U множества X , мы можем рассмотреть сечения π на U , то есть непрерывные функции s : U → E , где композиция π  ∘  s такова, что ( π ∘ s )( u ) = u для всех u в U . По сути, сечение сопоставляет каждой точке U вектор из присоединенного векторного пространства непрерывным образом. Например, сечения касательного расслоения дифференциального многообразия являются не чем иным, как векторными полями на этом многообразии.

Пусть F ( U ) будет множеством всех сечений на U . F ( U ) всегда содержит по крайней мере один элемент, а именно нулевое сечение : функцию s , которая отображает каждый элемент x из U в нулевой элемент векторного пространства π ⁻¹ ({ x }). С поточечным сложением и скалярным умножением сечений F ( U ) само становится действительным векторным пространством. Набор этих векторных пространств представляет собой пучок векторных пространств на X .

Если s — элемент F ( U ) и α: U → R — непрерывное отображение, то α s (поточечное скалярное умножение) принадлежит F ( U ). Мы видим, что F ( U ) — модуль над кольцом непрерывных вещественных функций на U . Более того, если O _X обозначает структурный пучок непрерывных вещественных функций на X , то F становится пучком O _X -модулей.

Не каждый пучок O _X -модулей возникает таким образом из векторного расслоения: только локально свободные . (Причина: локально мы ищем сечения проекции U × R ^k → U ; это в точности непрерывные функции U → R ^k , и такая функция представляет собой k - кортеж непрерывных функций U → R .)

Более того: категория действительных векторных расслоений на X эквивалентна категории локально свободных и конечно порождённых пучков O X _{-модулей} .

Таким образом, мы можем рассматривать категорию действительных векторных расслоений на X как находящуюся внутри категории пучков O _X -модулей ; эта последняя категория является абелевой, поэтому именно здесь мы можем вычислять ядра и коядра морфизмов векторных расслоений.

Вектор ранга n тривиален тогда и только тогда, когда он имеет n линейно независимых глобальных сечений.

Большинство операций над векторными пространствами можно распространить на векторные расслоения, выполнив операцию над векторным пространством послойно .

Например, если E — векторное расслоение над X , то существует расслоение E* над X , называемое двойственным расслоением , чей слой в точке x ∈ X — это двойственное векторное пространство ( E _x )*. Формально E* можно определить как множество пар ( x , φ), где x ∈ X и φ ∈ ( E _x )*. Двойственное расслоение локально тривиально, поскольку двойственное пространство обратного локальной тривиализации E является локальной тривиализацией E* : ключевым моментом здесь является то, что операция взятия двойственного векторного пространства является функториальной .

Существует множество функториальных операций, которые можно выполнять над парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они напрямую распространяются на пары векторных расслоений E , F на X (над заданным полем). Ниже приведено несколько примеров.

• Сумма Уитни (названная в честь Хасслера Уитни ) или расслоение прямой суммы E и F — это векторное расслоение E ⊕ F над X , слой которого над x — это прямая сумма E _x ⊕ F _x векторных пространств E _x и F _x .
• Расслоение тензорного произведения E ⊗ F определяется аналогичным образом, используя послойное тензорное произведение векторных пространств.
• Hom -расслоение Hom( E , F ) — это векторное расслоение, слой которого в точке x — это пространство линейных отображений из E _x в F _x (которое часто обозначается как Hom( E _x , F _x ) или L ( E _x , F _x )). Hom-расслоение так называется (и полезно), потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из E в F над X и сечениями Hom( E , F ) над X .
• Основываясь на предыдущем примере, учитывая сечение s расслоения эндоморфизмов Hom( E , E ) и функцию f : X → R , можно построить собственное расслоение , взяв волокно над точкой x ∈ X в качестве f ( x ) -собственного пространства линейного отображения s ( x ): E _x → E _x . Хотя эта конструкция естественна, если не принять меры, полученный объект не будет иметь локальных тривиализаций. Рассмотрим случай, когда s является нулевым сечением, а f имеет изолированные нули. Расслоение над этими нулями в полученном «собственном расслоении» будет изоморфно волокну над ними в E , тогда как во всех остальных случаях волокно является тривиальным 0-мерным векторным пространством.
• Двойственное векторное расслоение E* — это Hom-расслоение Hom( E , R × X ) гомоморфизмов расслоений E и тривиального расслоения R × X. Существует канонический изоморфизм векторных расслоений Hom( E , F ) = E* ⊗ F .

Каждая из этих операций является частным примером общей особенности расслоений: многие операции, которые могут быть выполнены над категорией векторных пространств , могут быть также выполнены над категорией векторных расслоений функториальным образом . Это уточняется на языке гладких функторов . Операция иной природы — это конструкция обратного расслоения . Если задано векторное расслоение E → Y и непрерывное отображение f : X → Y , можно «оттянуть» E до векторного расслоения f*E над X . Слой над точкой x ∈ X по сути является просто слоем над f ( x ) ∈ Y . Следовательно, суммирование Уитни E ⊕ F можно определить как обратное расслоение диагонального отображения из X в X × X , где расслоение над X × X равно E  ×  F .

Замечание : Пусть X — компактное пространство . Любое векторное расслоение E над X является прямым слагаемым тривиального расслоения; т. е. существует расслоение E ' такое, что E ⊕ E ' тривиально. Это неверно, если X не компактно: например, тавтологическое линейное расслоение над бесконечным вещественным проективным пространством не обладает этим свойством. ^[1]

Векторным расслоениям часто придается больше структуры. Например, векторные расслоения могут быть снабжены метрикой векторного расслоения . Обычно эта метрика должна быть положительно определенной , в этом случае каждое волокно E становится евклидовым пространством . Векторному расслоению со сложной структурой соответствует комплексное векторное расслоение , которое также может быть получено путем замены действительных векторных пространств в определении на комплексные и требования, чтобы все отображения были комплексно-линейными в волокнах. В более общем смысле, дополнительную структуру, налагаемую на векторное расслоение, обычно можно понимать в терминах результирующей редукции структурной группы расслоения . Векторные расслоения над более общими топологическими полями также могут использоваться.

Если вместо конечномерного векторного пространства взять волокно F как банахово пространство , то получится банахово расслоение ^{. [2]} В частности, нужно потребовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами банаховых пространств (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из волокон и чтобы, кроме того, переходы

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

являются непрерывными отображениями банаховых многообразий . В соответствующей теории для C ^p расслоений все отображения должны быть C ^p .

Векторные расслоения — это специальные расслоения , те, чьи расслоения являются векторными пространствами и чей коцикл уважает структуру векторного пространства. Можно построить более общие расслоения, в которых расслоение может иметь другие структуры; например, расслоения сфер расслоены сферами.

Векторные расслоения ( E , p , M ) являются гладкими , если E и M являются гладкими многообразиями , p: E → M является гладким отображением, а локальные тривиализации являются диффеоморфизмами . В зависимости от требуемой степени гладкости существуют различные соответствующие понятия C ^p расслоений, бесконечно дифференцируемых C ^∞ -расслоений и вещественно-аналитических C ^ω -расслоений. В этом разделе мы сосредоточимся на C ^∞ -расслоениях. Наиболее важным примером C ^∞ -векторного расслоения является касательное расслоение ( TM , π _TM , M ) C ^∞ -многообразия M.

Гладкое векторное расслоение можно охарактеризовать тем фактом, что оно допускает функции перехода, описанные выше, которые являются гладкими функциями на перекрытиях тривиализирующих карт U и V. То есть, векторное расслоение E является гладким, если оно допускает покрытие тривиализацией открытых множеств таким образом, что для любых двух таких множеств U и V функция перехода

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

является гладкой функцией в матричной группе GL(k, R ), которая является группой Ли .

Аналогично, если функции перехода:

• C ^r тогда векторное расслоение является векторным расслоением C ^r ,
• действительно аналитическое , то векторное расслоение является действительным аналитическим векторным расслоением (для этого требуется, чтобы матричная группа имела действительную аналитическую структуру),
• голоморфен , то векторное расслоение является голоморфным векторным расслоением (для этого требуется, чтобы матричная группа была комплексной группой Ли ),
• алгебраические функции , то векторное расслоение является алгебраическим векторным расслоением (для этого требуется, чтобы матричная группа была алгебраической группой ).

Векторные расслоения C ∞ ( E ^, p , M ) обладают очень важным свойством, которого нет у более общих расслоений C ^{∞ . А именно, касательное пространство} T _v ( E _x ) при любой v ∈ E _x может быть естественным образом отождествлено с самим расслоением E _x . Это отождествление получается с помощью вертикального подъема vl _v : E _x → T _v ( E _x ), определяемого как

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

Вертикальный лифт также можно рассматривать как естественный изоморфизм векторных расслоений C ^∞ p*E → VE , где ( p*E , p*p , E ) — это обратное расслоение ( E , p , M ) над E через p : E → M , а VE  := Ker( p _* ) ⊂ TE — это вертикальное касательное расслоение , естественное векторное подрасслоение касательного расслоения ( TE , π _TE , E ) полного пространства E .

Полное пространство E любого гладкого векторного расслоения несет естественное векторное поле V _v  := vl _v v , известное как каноническое векторное поле . Более формально, V является гладким сечением ( TE , π _TE , E ), и его также можно определить как инфинитезимальный генератор действия группы Ли, заданного послойным скалярным умножением. Каноническое векторное поле V полностью характеризует структуру гладкого векторного расслоения следующим образом. В качестве подготовки отметим, что когда X является гладким векторным полем на гладком многообразии M и x ∈ M таким, что X _x = 0, линейное отображение${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

не зависит от выбора линейной ковариантной производной ∇ на M. Каноническое векторное поле V на E удовлетворяет аксиомам

1. Поток ( t , v ) → Φ ^t _V ( v ) V определен глобально.
2. Для каждого v ∈ V существует единственный предел _t→∞ Φ ^t _V ( v ) ∈ V .
3. C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) всякий раз, когда V _v = 0.
4. Нулевое множество V является гладким подмногообразием E , коразмерность которого равна рангу C _v ( V ) .

Наоборот, если E — любое гладкое многообразие, а V — гладкое векторное поле на E, удовлетворяющее условиям 1–4, то существует единственная структура векторного расслоения на E , каноническим векторным полем которой является V.

Для любого гладкого векторного расслоения ( E , p , M ) полное пространство TE его касательного расслоения ( TE , π _TE , E ) имеет естественную структуру вторичного векторного расслоения ( TE , p _* , TM ), где p _* — это прямой перенос канонической проекции p : E → M. Операции векторного расслоения в этой структуре вторичного векторного расслоения — это прямые переносы + _* : T ( E × E ) → TE и λ _* : TE → TE исходного сложения +: E × E → E и скалярного умножения λ: E → E.

Группа K-теории, K ( X ) , компактного хаусдорфова топологического пространства определяется как абелева группа, порожденная классами изоморфизма [ E ] комплексных векторных расслоений по модулю соотношения , что всякий раз, когда мы имеем точную последовательность , то в топологической K-теории . KO-теория является версией этой конструкции, которая рассматривает вещественные векторные расслоения. K-теория с компактными носителями также может быть определена, как и высшие группы K-теории.$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$$${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$

Знаменитая теорема периодичности Рауля Ботта утверждает , что K-теория любого пространства X изоморфна теории S ² X , двойной надстройке X .

В алгебраической геометрии рассматриваются группы теории K, состоящие из когерентных пучков на схеме X , а также группы теории K векторных расслоений на схеме с указанным выше отношением эквивалентности . Эти две конструкции естественно изоморфны при условии, что базовая схема является гладкой .

• Грассманиан : классификация пространств для векторных расслоений, среди которых проективные пространства для линейных расслоений
• Характерный класс
• Принцип разделения
• Стабильный пакет

• Связность : понятие, необходимое для различения сечений векторных расслоений.
• Калибровочная теория : общее исследование связностей векторных расслоений и главных расслоений и их связи с физикой.

• Алгебраическое векторное расслоение
• Группа Пикарда
• Голоморфное векторное расслоение

• «Векторное расслоение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Почему полезно изучать векторные расслоения? на MathOverflow
• Почему полезно классифицировать векторные расслоения пространства?