Изоморфизм

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Изоморфизм» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике изоморфизм — это сохраняющее структуру отображение ( морфизм ) между двумя структурами одного и того же типа, которое может быть обращено обратным отображением . Две математические структуры изоморфны, если между ними существует изоморфизм. Слово происходит от древнегреческого ἴσος (isos)  «равный» и μορφή (morphe)  «форма, очертание».

Интерес к изоморфизмам заключается в том, что два изоморфных объекта имеют одинаковые свойства (исключая дополнительную информацию, такую ​​как дополнительная структура или имена объектов). Таким образом, изоморфные структуры не могут быть различимы с точки зрения только структуры и могут быть идентифицированы. На математическом жаргоне говорят, что два объекта одинаковы с точностью до изоморфизма . ^{[ требуется цитата ]}

Автоморфизм — это изоморфизм структуры в себя. Изоморфизм между двумя структурами является каноническим изоморфизмом ( каноническим отображением, которое является изоморфизмом), если между двумя структурами существует только один изоморфизм (как в случае решений универсального свойства ), или если изоморфизм гораздо более естественен (в некотором смысле), чем другие изоморфизмы. Например, для каждого простого числа p все поля с p элементами канонически изоморфны, с единственным изоморфизмом. Теоремы об изоморфизме предоставляют канонические изоморфизмы, которые не являются единственными.

Термин изоморфизм в основном используется для алгебраических структур . В этом случае отображения называются гомоморфизмами , а гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией .

В различных областях математики изоморфизмы получили специальные названия, в зависимости от типа рассматриваемой структуры. Например:

• Изометрия — это изоморфизм метрических пространств .
• Гомеоморфизм — это изоморфизм топологических пространств .
• Диффеоморфизм — это изоморфизм пространств, снабженных дифференциальной структурой , обычно дифференцируемых многообразий .
• Симплектоморфизм — изоморфизм симплектических многообразий .
• Перестановка — это автоморфизм множества .
• В геометрии изоморфизмы и автоморфизмы часто называют преобразованиями , например , жесткие преобразования , аффинные преобразования , проективные преобразования .

Теория категорий , которую можно рассматривать как формализацию концепции отображения между структурами, предоставляет язык, который может быть использован для унификации подхода к этим различным аспектам базовой идеи.

Пусть — мультипликативная группа положительных действительных чисел , а — аддитивная группа действительных чисел.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Логарифмическая функция удовлетворяет для всех , поэтому она является гомоморфизмом групп . Экспоненциальная функция удовлетворяет для всех , поэтому она также является гомоморфизмом.${\displaystyle \log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$

Тождества и показывают, что и являются обратными друг другу. Поскольку — гомоморфизм, имеющий обратный, который также является гомоморфизмом, — изоморфизм групп.${\displaystyle \log \exp x=x}$${\displaystyle \exp \log y=y}$${\displaystyle \log}$${\displaystyle \exp}$${\displaystyle \log}$${\displaystyle \log}$

Функция является изоморфизмом, который переводит умножение положительных действительных чисел в сложение действительных чисел. Эта возможность позволяет умножать действительные числа с помощью линейки и таблицы логарифмов или с помощью логарифмической линейки с логарифмической шкалой.${\displaystyle \log}$

Рассмотрим группу целых чисел от 0 до 5 со сложением по модулю  6. Также рассмотрим группу упорядоченных пар, где координаты x могут быть 0 или 1, а координаты y могут быть 0, 1 или 2, где сложение по координате x происходит по модулю 2, а сложение по координате y происходит по модулю 3.${\displaystyle (\mathbb {Z} _{6},+),}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),}$

Эти структуры изоморфны относительно сложения по следующей схеме: или в общем случае$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(0,0) &\mapsto 0\\(1,1) &\mapsto 1\\(0,2) &\mapsto 2\\(1,0) &\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle (a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.}$

Например, что в другой системе переводится как${\displaystyle (1,1)+(1,0)=(0,1),}$${\displaystyle 1+3=4.}$

Хотя эти две группы «выглядят» по-разному, поскольку множества содержат разные элементы, они действительно изоморфны : их структуры совершенно одинаковы. В более общем смысле, прямое произведение двух циклических групп и изоморфно тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты , согласно китайской теореме об остатках .${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{mn},+)}$

Если один объект состоит из множества X с бинарным отношением R, а другой объект состоит из множества Y с бинарным отношением S, то изоморфизм из X в Y является биективной функцией, такой что: ^[1]${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle \operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ тогда и только тогда, когда }}\quad \operatorname {R} (u,v)}$$

S является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным порядком , полным порядком , вполне порядком , строгим слабым порядком , полным предпорядком (слабым порядком), отношением эквивалентности или отношением с любыми другими специальными свойствами, если и только если R является таковым.

Например, R — упорядочение ≤ и S — упорядочение , тогда изоморфизм из X в Y является биективной функцией , такой что Такой изоморфизм называется изоморфизмом порядка или (реже) изотонным изоморфизмом .${\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq ,}$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ тогда и только тогда, когда }}\quad u\leq v.}$$

Если , то это автоморфизм , сохраняющий отношение .${\displaystyle X=Y,}$

В алгебре изоморфизмы определены для всех алгебраических структур . Некоторые из них изучаются более конкретно, например:

• Линейные изоморфизмы между векторными пространствами ; они задаются обратимыми матрицами .
• Групповые изоморфизмы между группами ; классификация классов изоморфизма конечных групп является открытой проблемой.
• Кольцевой изоморфизм между кольцами .
• Изоморфизмы полей — это то же самое, что и изоморфизм колец между полями ; их изучение, а точнее изучение автоморфизмов полей, является важной частью теории Галуа .

Так же, как автоморфизмы алгебраической структуры образуют группу , изоморфизмы между двумя алгебрами, имеющими общую структуру, образуют кучу . Если позволить конкретному изоморфизму идентифицировать две структуры, то эта куча превратится в группу.

В математическом анализе преобразование Лапласа представляет собой изоморфизм, отображающий сложные дифференциальные уравнения в более простые алгебраические уравнения.

В теории графов изоморфизм между двумя графами G и H — это биективное отображение f из вершин G в вершины H , которое сохраняет «структуру ребер» в том смысле, что существует ребро из вершины u в вершину v в G тогда и только тогда, когда существует ребро из в в H. См. изоморфизм графов .${\displaystyle f(u)}$${\displaystyle f(v)}$

В математическом анализе изоморфизм между двумя гильбертовыми пространствами — это биекция, сохраняющая сложение, скалярное умножение и скалярное произведение.

В ранних теориях логического атомизма формальные отношения между фактами и истинными предложениями были теоретически обоснованы Бертраном Расселом и Людвигом Витгенштейном как изоморфные. Пример такого хода мыслей можно найти в работе Рассела « Введение в математическую философию» .

В кибернетике хороший регулятор или теорема Конанта–Эшби формулируется так: «Каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы». Независимо от того, является ли система регулируемой или саморегулирующейся, между регулятором и обрабатывающими частями системы требуется изоморфизм.

В теории категорий , если задана категория C , изоморфизм — это морфизм , имеющий обратный морфизм, который есть, и${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle g:b\to a,}$${\displaystyle fg=1_{b}}$${\displaystyle gf=1_{a}.}$

Две категории C и D изоморфны, если существуют функторы и , которые взаимно обратны друг другу, то есть (тождественный функтор на D ) и (тождественный функтор на C ).${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:D\to C}$${\displaystyle FG=1_{D}}$${\displaystyle GF=1_{C}}$

В конкретной категории (грубо говоря, категории, объектами которой являются множества (возможно, с дополнительной структурой) и чьи морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), такой как категория топологических пространств или категории алгебраических объектов (например, категория групп , категория колец и категория модулей ), изоморфизм должен быть биективным на базовых множествах . В алгебраических категориях (в частности, категориях многообразий в смысле универсальной алгебры ) изоморфизм совпадает с гомоморфизмом, который биективен на базовых множествах. Однако существуют конкретные категории, в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категория топологических пространств).

Поскольку композиция изоморфизмов является изоморфизмом, поскольку тождество является изоморфизмом и поскольку инверсия изоморфизма является изоморфизмом, отношение, что два математических объекта изоморфны, является отношением эквивалентности . Класс эквивалентности, заданный изоморфизмами, обычно называется классом изоморфизма . ^[2]

Примеров классов изоморфизма в математике множество.

• Два множества изоморфны, если между ними существует биекция . Класс изоморфизма конечного множества можно определить с помощью неотрицательного целого числа, представляющего количество содержащихся в нем элементов.
• Класс изоморфизма конечномерного векторного пространства можно отождествить с неотрицательным целым числом, представляющим его размерность.
• Классификация конечных простых групп перечисляет классы изоморфизма всех конечных простых групп .
• Классификация замкнутых поверхностей перечисляет классы изоморфизма всех связных замкнутых поверхностей .
• По сути, ординалы определяются как классы изоморфизма хорошо упорядоченных множеств (хотя здесь есть и технические проблемы).

Однако существуют обстоятельства, при которых класс изоморфизма объекта скрывает важную информацию о нем.

• При наличии математической структуры обычно две подструктуры принадлежат к одному и тому же классу изоморфизма. Однако, способ, которым они включены в целую структуру, не может быть изучен, если они идентифицированы. Например, в конечномерном векторном пространстве все подпространства одной и той же размерности изоморфны, но должны быть различены, чтобы рассмотреть их пересечение, сумму и т. д.
• Ассоциативные алгебры, состоящие из кокватернионов и действительных матриц 2 × 2 , изоморфны как кольца . Однако они появляются в разных контекстах для приложений (плоское отображение и кинематика), поэтому изоморфизм недостаточен для объединения концепций. ^{[ мнение ]}
• В теории гомотопии фундаментальная группа пространства в точке , хотя технически обозначается для подчеркивания зависимости от базовой точки, часто записывается лениво просто как если путь связан . Причина этого в том, что существование пути между двумя точками позволяет идентифицировать петли в одной с петлями в другой; однако, если не является абелевым, этот изоморфизм не является уникальным. Более того, классификация покрывающих пространств строго ссылается на конкретные подгруппы , в частности, различая изоморфные, но сопряженные подгруппы, и, следовательно, объединение элементов класса изоморфизма в один безликий объект серьезно снижает уровень детализации, предоставляемый теорией.${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$

Хотя существуют случаи, когда изоморфные объекты можно считать равными, следует различать равенство и изоморфизм . ^[3] Равенство — это когда два объекта одинаковы, и поэтому все, что верно относительно одного объекта, верно и относительно другого. С другой стороны, изоморфизмы связаны с некоторой структурой, и два изоморфных объекта разделяют только те свойства, которые связаны с этой структурой.

Например, множества равны ; они просто являются различными представлениями — первое интенсиональное ( в нотации конструктора множеств ), а второе экстенсиональное (посредством явного перечисления) — одного и того же подмножества целых чисел. Напротив, множества и не равны , поскольку они не имеют одинаковых элементов. Они изоморфны как множества, но существует много вариантов (фактически 6) изоморфизма между ними: один изоморфизм —$${\displaystyle A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}}$$${\displaystyle \{A,B,C\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,}$

в то время как другой -

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

и ни один изоморфизм не является изначально лучше другого. ^{[примечание 1]} С этой точки зрения и в этом смысле эти два множества не равны, потому что их нельзя считать идентичными : можно выбрать изоморфизм между ними, но это более слабое утверждение, чем тождество, и оно справедливо только в контексте выбранного изоморфизма.

Кроме того, целые числа и четные числа изоморфны как упорядоченные множества и абелевы группы (для сложения), но не могут считаться равными множествами, поскольку одно является собственным подмножеством другого.

С другой стороны, когда множества (или другие математические объекты ) определяются только их свойствами, без учета природы их элементов, часто их считают равными. Это обычно имеет место в случае решений универсальных свойств .

Например, рациональные числа обычно определяются как классы эквивалентности пар целых чисел, хотя никто не думает о рациональном числе как о множестве (классе эквивалентности). Универсальное свойство рациональных чисел по сути заключается в том, что они образуют поле , которое содержит целые числа и не содержит никакого собственного подполя. Это приводит к тому, что если даны два поля с этими свойствами, между ними существует уникальный изоморфизм полей. Это позволяет идентифицировать эти два поля, поскольку каждое свойство одного из них может быть передано другому посредством изоморфизма. Например, действительные числа , которые получаются путем деления двух целых чисел (внутри действительных чисел), образуют наименьшее подполе действительных чисел. Таким образом, существует уникальный изоморфизм от рациональных чисел (определяемых как классы эквивалентности пар) к частным двух действительных чисел, которые являются целыми числами. Это позволяет идентифицировать эти два вида рациональных чисел.

• Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), Когда одна вещь равна другой? (PDF)

Найдите понятие «изоморфизм» в Викисловаре, бесплатном словаре.

• «Изоморфизм», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоморфизм». MathWorld .