Локально постоянная функция

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Локально постоянная функция» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике локально постоянная функция — это функция из топологического пространства в множество, обладающая тем свойством, что вокруг каждой точки ее области определения существует некоторая окрестность этой точки, на которую она ограничивается до постоянной функции .

Пусть — функция из топологического пространства в множество Если тогда называется локально постоянной в точке , если существует окрестность такая , что является постоянной на , что по определению означает, что для всех Функция называется локально постоянной, если она локально постоянна в каждой точке своей области определения.${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle С.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle f(u)=f(v)}$${\displaystyle u,v\in U.}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle x\in X}$

Каждая постоянная функция локально постоянна. Обратное будет иметь место, если ее область определения — связное пространство .

Каждая локально постоянная функция от действительных чисел до является постоянной, в силу связности Но функция от рациональных чисел до , определяемая соотношением и является локально постоянной (здесь используется тот факт, что является иррациональным и, следовательно, оба множества и открыты в ) .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f(x)=0{\text{ для }}x<\pi ,}$${\displaystyle f(x)=1{\text{ для }}x>\pi ,}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если локально постоянно, то оно постоянно на любой связной компоненте Обратное верно для локально связных пространств, то есть пространств, связные компоненты которых являются открытыми подмножествами.${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle А.}$

Дополнительные примеры включают следующее:

• Если задано покрывающее отображение , то каждой точке можно присвоить мощность слоя над ; это присвоение локально постоянно.${\displaystyle p:C\to X,}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$${\displaystyle x}$
• Отображение топологического пространства в дискретное пространство непрерывно тогда и только тогда , когда оно локально постоянно.${\displaystyle А}$ ${\displaystyle Б}$

Существуют пучки локально постоянных функций на Чтобы быть более определенным, локально постоянные целочисленные функции на образуют пучок в том смысле, что для каждого открытого множества мы можем образовать функции этого вида; а затем проверить, что аксиомы пучка верны для этой конструкции, что дает нам пучок абелевых групп (даже коммутативных колец ). ^[1] Этот пучок можно записать ; описанный с помощью стеблей, мы имеем стебель копию в для каждого Это можно назвать постоянным пучком , имея в виду именно пучок локально постоянных функций, принимающих свои значения в (той же) группе. Типичный пучок, конечно, не является постоянным таким образом; но конструкция полезна для связывания когомологий пучка с теорией гомологии и в логических приложениях пучков. Идея локальной системы коэффициентов заключается в том, что у нас может быть теория пучков, которые локально выглядят как такие «безобидные» пучки (вблизи любого ), но с глобальной точки зрения демонстрируют некоторое «скручивание».${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z_{X}}$${\displaystyle Z_{x},}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle x}$

• Теорема Лиувилля (комплексный анализ)  – Теорема в комплексном анализе
• Локально постоянный пучок