Топологическая К-теория

Раздел алгебраической топологии

В математике топологическая $K$ -теория является разделом алгебраической топологии . Она была основана для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, которые сейчас признаны (общей) K -теорией и были введены Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической $K$ -теории принадлежат Михаэлю Атья и Фридриху Хирцебруху .

Определения

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство и или . Тогда определяется как группа Гротендика коммутативного моноида классов изоморфизма конечномерных k $-векторных$ расслоений над $X$ относительно суммы Уитни . Тензорное произведение расслоений придает $K$ -теории коммутативную кольцевую структуру. Без индексов обычно обозначает комплексную $K$ -теорию, тогда как действительную $K$ -теорию иногда записывают как . Оставшееся обсуждение сосредоточено на комплексной $K$ -теории. $k=\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $K_{k}(X)$ $К(Х)$ $КО(X)$

В качестве первого примера отметим, что $K$ -теория точки — это целые числа. Это потому, что векторные расслоения над точкой тривиальны и, таким образом, классифицируются по их рангу, а группа Гротендика натуральных чисел — это целые числа.

Существует также сокращенная версия $K$ -теории, , определенная для $X$ как компактного точечного пространства (ср. сокращенная гомология ). Эта сокращенная теория интуитивно является $K$ $($ $X$ $)$ по модулю тривиальных расслоений . Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения $E$ и $F$ называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения и , так что . Это отношение эквивалентности приводит к группе, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. Альтернативно, может быть определено как ядро отображения, индуцированного включением базовой точки $x$ $0$ в $X$ . ${\widetilde {K}}(X)$ $\varepsilon _{1}$ $\varepsilon _{2}$ $E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}$ ${\widetilde {K}}(X)$ $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$

$K$ -теория образует мультипликативную (обобщенную) теорию когомологий следующим образом. Короткая точная последовательность пары выделенных пространств $(X, A)$

{\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)

расширяется до длинной точной последовательности

\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K }}(X)\to {\widetilde {K}}(A).

Пусть $S n$ будет $n$ -ой приведенной подвеской пространства, а затем определим

{\widetilde {K}}^{-n}(X) :={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничные карты увеличивали размерность.

Часто бывает полезно иметь нередуцированную версию этих групп, просто определив:

K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).

Здесь мы видим непересекающуюся базовую точку, обозначенную знаком «+». ^[1] $X_{+}$ $X$

Наконец, теорема о периодичности Ботта , сформулированная ниже, распространяет теории на положительные целые числа.

Характеристики

$К^{н}$ (соответственно, ) — контравариантный функтор из гомотопической категории (точечных) пространств в категорию коммутативных колец. Так, например, $K$ -теория над стягиваемыми пространствами всегда ${\widetilde {K}}^{n}$ $\mathbb {Z} .$
Спектр $K$ -теории ( с дискретной топологией на ), т.е. где $[ , ]$ обозначает точечные гомотопические классы, а BU $—$ копредел классифицирующих пространств унитарных групп : Аналогично, для вещественной $K$ -теории используем $BO$ . $BU\times \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $K(X)\cong \left[X_{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ $BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$ ${\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].$
Существует естественный гомоморфизм колец — характер Черна , такой, что является изоморфизмом. $K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),$ $K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )$
Эквивалентом операций Стинрода в $K$ -теории являются операции Адамса . Они могут быть использованы для определения характеристических классов в топологической $K$ -теории.
Принцип расщепления топологической $K$ -теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах линейных расслоений.
Теорема об изоморфизме Тома в топологической $K$ -теории заключается в том, что $T$ $($ $E$ $)$ — пространство Тома векторного расслоения $E$ над $X.$ Это справедливо всякий раз, когда $E$ является спин-расслоением. $K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),$
Спектральная последовательность Атьи -Хирцебруха позволяет вычислять $K$ -группы из обычных групп когомологий.
Топологическая $K$ -теория может быть значительно обобщена до функтора на C*-алгебрах , см. операторную K-теорию и KK-теорию .

Периодичность Ботта

Явление периодичности , названное в честь Рауля Ботта (см. Теорема о периодичности Ботта ), можно сформулировать следующим образом:

$K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ и где H — класс тавтологического расслоения на сфере Римана . $K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$
${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$
$\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

В реальной $K$ -теории существует аналогичная периодичность, но по модулю 8.

Приложения

Топологическая $K$ -теория была применена в доказательстве Джоном Фрэнком Адамсом проблемы « инвариант Хопфа один» с помощью операций Адамса . ^[2] Адамс также доказал верхнюю границу для числа линейно-независимых векторных полей на сферах . ^[3]

персонаж Черна

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, связывающую топологическую K-теорию конечного комплекса CW с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм $X$

ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )

такой что

{\begin{align}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{align}}

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чжоу гладкого проективного многообразия . $X$

Смотрите также

Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха (вычислительный инструмент для нахождения групп K-теории)
KR-теория
Теорема Атьи–Зингера об индексе
Теорема Снейта
Алгебраическая К-теория

Ссылки

^ Хэтчер. Векторные расслоения и теория К (PDF) . стр. 57 . Получено 27 июля 2017 .
^ Адамс, Джон (1960). О несуществовании элементов инварианта Хопфа . Ann. Math. 72 1.
^ Адамс, Джон (1962). «Векторные поля на сферах». Annals of Mathematics . 75 (3): 603–632 .

Атья, Майкл Фрэнсис (1989). K-теория . Advanced Book Classics (2-е изд.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-09394-0. МР 1043170.
Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по теории К. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. МР 2182598.
Каруби, Макс (1978). K-теория: введение . Классика математики. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
Каруби, Макс (2006). "K-теория. Элементарное введение". arXiv : math/0602082 .
Хэтчер, Аллен (2003). «Векторные расслоения и К-теория».
Стыков, Максим (2013). «Связь К-теории с геометрией и топологией».

[1] Хэтчер. Векторные расслоения и теория К (PDF) . стр. 57 . Получено 27 июля 2017 .

[2] Адамс, Джон (1960). О несуществовании элементов инварианта Хопфа . Ann. Math. 72 1.

[3] Адамс, Джон (1962). «Векторные поля на сферах». Annals of Mathematics . 75 (3): 603–632 .