Грассманиан

В математике грассманиан (названный в честь Германа Грассмана ) — это дифференцируемое многообразие , которое параметризует множество всех -мерных линейных подпространств -мерного векторного пространства над полем . Например, грассманиан — это пространство прямых, проходящих через начало координат в , поэтому оно совпадает с проективным пространством на одну размерность ниже . ^{[1] [2]} Когда — действительное или комплексное векторное пространство, грассманиан — это компактные гладкие многообразия размерности . ^[3] В общем случае они имеют структуру неособого проективного алгебраического многообразия .${\displaystyle \mathbf {Гр} _{k}(V)}$${\displaystyle к}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle К}$${\displaystyle \mathbf {Гр} _{1}(В)}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k(nk)}$

Самая ранняя работа по нетривиальному грассманиану принадлежит Юлиусу Плюккеру , который изучал множество проективных прямых в действительном проективном 3-пространстве, что эквивалентно , параметризуя их тем, что сейчас называется координатами Плюккера . (См. § Координаты Плюккера и соотношения Плюккера ниже.) Позднее Герман Грассман ввел эту концепцию в общем виде.${\displaystyle \mathbf {Гр} _{2}(\mathbf {Р} ^{4})}$

Обозначения для грассманианов различаются у разных авторов и включают , , , для обозначения грассманиана -мерных подпространств -мерного векторного пространства .${\displaystyle \mathbf {Гр} _{k}(V)}$${\displaystyle \mathbf {Гр} (к,В)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$

Придавая набору подпространств векторного пространства топологическую структуру, можно говорить о непрерывном выборе подпространств или открытых и замкнутых наборах подпространств. Придавая им далее структуру дифференцируемого многообразия , можно говорить о гладких выборах подпространства.

Естественный пример — касательные расслоения гладких многообразий, вложенных в евклидово пространство . Предположим, что у нас есть многообразие размерности, вложенное в . В каждой точке касательное пространство к можно рассматривать как подпространство касательного пространства , которое также является просто . Отображение, назначающее его касательному пространству, определяет отображение из M в . (Чтобы сделать это, мы должны перенести касательное пространство в каждом так, чтобы оно проходило через начало координат, а не , и, следовательно, определяет -мерное векторное подпространство. Эта идея очень похожа на отображение Гаусса для поверхностей в 3-мерном пространстве.)${\displaystyle М}$${\displaystyle к}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle к}$

Это можно с некоторыми усилиями распространить на все векторные расслоения над многообразием , так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из в соответствующим образом обобщенный грассманиан — хотя для этого необходимо доказать различные теоремы вложения . Затем мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих отображений. В частности, мы обнаруживаем, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопные отображения в грассманиан, изоморфны . Здесь определение гомотопии опирается на понятие непрерывности и, следовательно, на топологию.${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$

При k = 1 грассманиан Gr (1, n ) представляет собой пространство прямых, проходящих через начало координат в n -пространстве, поэтому оно совпадает с проективным пространством n − 1 измерений.${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$

При k = 2 грассманиан — это пространство всех 2-мерных плоскостей, содержащих начало координат. В евклидовом 3-мерном пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью характеризуется одной и единственной прямой, проходящей через начало координат, которая перпендикулярна этой плоскости (и наоборот); следовательно, пространства Gr (2, 3) , Gr (1, 3) и P ² ( проективная плоскость ) могут быть отождествлены друг с другом.

Простейшим грассманианом, не являющимся проективным пространством, является Gr (2, 4) .

Чтобы наделить структурой дифференцируемое многообразие, выберем базис для . Это эквивалентно отождествлению с , со стандартным базисом, обозначенным , рассматриваемым как векторы-столбцы. Тогда для любого -мерного подпространства , рассматриваемого как элемент , мы можем выбрать базис, состоящий из линейно независимых векторов-столбцов . Однородные координаты элемента состоят из элементов прямоугольной матрицы максимального ранга , -й вектор-столбец которой равен , . Поскольку выбор базиса произволен, две такие прямоугольные матрицы максимального ранга и представляют один и тот же элемент тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {Гр} _{k}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle К^{н}}$${\displaystyle (e_{1},\dots,e_{n})}$${\displaystyle к}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \mathbf {Гр} _{k}(V)}$${\displaystyle к}$ ${\displaystyle (W_{1},\dots,W_{k})}$${\displaystyle w\in \mathbf {Гр} _{k}(V)}$${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle я}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle i=1,\точки ,k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\tilde {W}}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Гр} _{k}(V)}$

${\displaystyle {\tilde {W}}=Wg}$

для некоторого элемента общей линейной группы обратимых матриц с элементами в . Это определяет отношение эквивалентности между матрицами ранга , для которых классы эквивалентности обозначаются .${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle К}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle к}$${\displaystyle [Вт]}$

Теперь определим координатный атлас. Для любой однородной координатной матрицы мы можем применить элементарные операции над столбцами (что равносильно умножению на последовательность элементов ), чтобы получить ее сокращенную форму эшелона столбцов . Если первые строки линейно независимы, результат будет иметь вид${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle g\in GL(k,K)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}}$

и аффинная координатная матрица с записями определяет . В общем случае первые строки не обязательно должны быть независимыми, но поскольку имеет максимальный ранг , существует упорядоченный набор целых чисел, такой что подматрица , строки которой являются -ыми строками, является невырожденной . Мы можем применить операции со столбцами, чтобы свести эту подматрицу к единичной матрице , а оставшиеся записи однозначно определяют . Следовательно, мы имеем следующее определение:${\displaystyle (n-k)\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (a_{ij})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w}$

Для каждого упорядоченного набора целых чисел пусть будет набором элементов , для которого при любом выборе однородной координатной матрицы подматрица , -я строка которой является -й строкой , является невырожденной. Аффинные координатные функции на тогда определяются как элементы матрицы , строки которой являются строками матрицы, дополнительной к , записанными в том же порядке. Выбор однородной координатной матрицы при представлении элемента не влияет на значения аффинной координатной матрицы, представляющей w в координатной окрестности . Более того, координатные матрицы могут принимать произвольные значения, и они определяют диффеоморфизм из в пространство -значных матриц. Обозначим через${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle (n-k)\times k}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle [W]}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (n-k)\times k}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1}}$

однородная координатная матрица, имеющая единичную матрицу в качестве подматрицы со строками и аффинную координатную матрицу в последовательных дополнительных строках. При перекрытии между любыми двумя такими координатными окрестностями значения аффинной координатной матрицы и связаны соотношениями перехода ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle A^{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}={\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}},}$

где и обратимы. Это может быть эквивалентно записано как${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle W_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}={\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}({\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1},}$

где — обратимая матрица, чья строка — это строка . Поэтому функции перехода рациональны в матричных элементах , и дают атлас для как дифференцируемого многообразия, а также как алгебраического многообразия.${\displaystyle {\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle j_{l}}$${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle \{U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

Альтернативный способ определения действительного или комплексного грассманиана как многообразия — рассматривать его как набор ортогональных проекционных операторов (Milnor & Stasheff (1974) проблема 5-C). Для этого выберите положительно определенное действительное или эрмитово скалярное произведение на , в зависимости от того, является ли оно действительным или комплексным. -мерное подпространство определяет уникальный ортогональный проекционный оператор , изображение которого разбивается на ортогональную прямую сумму${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w}$${\displaystyle P_{w}:V\rightarrow V}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=w\oplus w^{\perp }}$

и его ортогональное дополнение и определение${\displaystyle w}$${\displaystyle w^{\perp }}$

${\displaystyle P_{w}(v)={\begin{cases}v\quad {\text{ if }}v\in w\\0\quad {\text{ if }}v\in w^{\perp }.\end{cases}}}$

Наоборот, каждый оператор проекции ранга определяет подпространство как свой образ. Поскольку ранг ортогонального оператора проекции равен его следу , мы можем отождествить многообразие Грассмана с множеством операторов ортогональной проекции ранга : ${\displaystyle P}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w_{P}:=\mathrm {Im} (P)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger },\,\mathrm {tr} (P)=k\right\}.}$

В частности, взяв или это дает совершенно явные уравнения для вложения грассманианов , в пространство действительных или комплексных матриц , , соответственно.${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N})}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{n\times n}}$

Поскольку это определяет грассманиан как замкнутое подмножество сферы, это один из способов увидеть, что грассманиан является компактным хаусдорфовым пространством. Эта конструкция также превращает грассманиан в метрическое пространство с метрикой${\displaystyle \{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger })=k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert ,}$

для любой пары -мерных подпространств, где ‖ ⋅ ‖ обозначает норму оператора . Точное используемое скалярное произведение не имеет значения, поскольку другое скалярное произведение даст эквивалентную норму на , и, следовательно, эквивалентную метрику.${\displaystyle w,w'\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$

Для случая действительных или комплексных грассманианов ниже приведен эквивалентный способ выражения вышеприведенной конструкции в терминах матриц.

Обозначим пространство действительных матриц и подмножество матриц, удовлетворяющих трем условиям:${\displaystyle M(n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )\subset M(n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {R} )}$

• ${\displaystyle P}$является оператором проекции : .${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$симметрично : .​${\displaystyle P^{T}=P}$
• ${\displaystyle P}$имеет след .${\displaystyle \operatorname {tr} (P)=k}$

Существует биективное соответствие между и грассманианом -мерных подпространств заданного путем отправки в -мерное подпространство , натянутое на его столбцы, и, наоборот, отправкой любого элемента в матрицу проекции${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle P\in P(k,n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T},}$

где — любой ортонормированный базис для , рассматриваемый как действительные компонентные векторы-столбцы.${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$${\displaystyle w\subset \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

Аналогичная конструкция применяется к комплексному грассманиану , отождествляя его биективно с подмножеством комплексных матриц, удовлетворяющих${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$${\displaystyle P(k,n,\mathbf {C} )\subset M(n,\mathbf {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {C} )}$

• ${\displaystyle P}$является оператором проекции : .${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$является самосопряженным (эрмитовым): .${\displaystyle P^{\dagger }=P}$
• ${\displaystyle P}$имеет след ,${\displaystyle {\rm {{tr}(P)=k}}}$

где самосопряженность относится к эрмитову внутреннему произведению , в котором стандартные базисные векторы ортогональны. Формула для ортогональной проекционной матрицы на комплексное -мерное подпространство, охватываемое ортонормированными (унитарными) базисными векторами , имеет вид${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle P_{w}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset \mathbf {C} ^{n}}$${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }.}$

Самый быстрый способ придать грассманиану геометрическую структуру — выразить его как однородное пространство . Во-первых, напомним, что общая линейная группа действует транзитивно на -мерных подпространствах . Поэтому, если мы выберем подпространство размерности , любой элемент можно выразить как${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w_{0}\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle w=g(w_{0})}$

для некоторого элемента группы , где определяется только с точностью до правого умножения на элементы стабилизатора :${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \{h\in H\}}$${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle H:=\mathrm {stab} (w_{0}):=\{h\in \mathrm {GL} (V)\,|\,h(w_{0})=w_{0}\}\subset \mathrm {GL} (V)}$

под действием.${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

Поэтому мы можем отождествить себя с фактор-пространством${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=\mathrm {GL} (V)/H}$

левых смежных классов .${\displaystyle H}$

Если базовое поле есть или и рассматривается как группа Ли , эта конструкция делает грассманиан гладким многообразием относительно фактор-структуры. В более общем случае, над основным полем группа является алгебраической группой , и эта конструкция показывает, что грассманиан является неособым алгебраическим многообразием . Из существования вложения Плюккера следует , что грассманиан является полным как алгебраическое многообразие. В частности, является параболической подгруппой .${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

Над или также становится возможным использовать меньшие группы в этой конструкции. Чтобы сделать это над , зафиксируем евклидово скалярное произведение на . Действительная ортогональная группа действует транзитивно на множестве -мерных подпространств , а стабилизатор -пространства есть ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle O(V,q)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w_{0}\subset V}$

${\displaystyle O(w_{0},q|_{w_{0}})\times O(w_{0}^{\perp },q|_{w_{0}^{\perp }})}$,

где — ортогональное дополнение в . Это дает идентификацию как однородного пространства${\displaystyle w_{0}^{\perp }}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=O(V,q)/\left(O(w,q|_{w})\times O(w^{\perp },q|_{w^{\perp }})\right)}$.

Если мы возьмем и (первые компоненты), то получим изоморфизм${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle w_{0}=\mathbf {R} ^{k}\subset \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right).}$

Над C , если мы выберем эрмитово скалярное произведение , унитарная группа действует транзитивно, и мы аналогично находим${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U(V,h)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=U(V,h)/\left(U(w_{0},h|_{w_{0}})\times U(w_{0}^{\perp }|,h_{w_{0}^{\perp }})\right),}$

или, для и ,${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$${\displaystyle w_{0}=\mathbf {C} ^{k}\subset \mathbf {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right).}$

В частности, это показывает, что грассманиан компактен и имеет (действительную или комплексную) размерность k ( n − k ) .

В области алгебраической геометрии грассманиан можно построить как схему , выразив его как представимый функтор . ^[4]

Пусть будет квазикогерентным пучком на схеме . Зафиксируем положительное целое число . Тогда каждой -схеме , грассманов функтор сопоставляет множество фактормодулей${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}}$

локально свободный от ранга на . Обозначим это множество через .${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{T})}$

Этот функтор представим с помощью отделенной -схемы . Последняя проективна , если конечно порождена. Когда - спектр поля , то пучок задается векторным пространством и мы восстанавливаем обычное грассманово многообразие сопряженного пространства , а именно: . По построению грассманова схема совместима с базовыми заменами: для любой -схемы мы имеем канонический изоморфизм${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{S'})}$

В частности, для любой точки канонический морфизм индуцирует изоморфизм из слоя в обычный грассманиан над полем вычетов .${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{s\}={\text{Spec}}K(s)\rightarrow S}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})_{s}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}K(s))}$ ${\displaystyle K(s)}$

Поскольку грассмановская схема представляет собой функтор, она поставляется с универсальным объектом, , который является объектом и, следовательно, фактор-модулем , локально свободным от ранга над . Фактор- гомоморфизм индуцирует замкнутое погружение из проективного расслоения:${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} \left(k,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right),}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}).}$

Для любого морфизма S -схем:

${\displaystyle T\to \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}),}$

это закрытое погружение вызывает закрытое погружение

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Наоборот, любое такое замкнутое погружение происходит из сюръективного гомоморфизма -модулей из в локально свободный модуль ранга . ^[5] Следовательно, элементы из являются в точности проективными подрасслоениями ранга в${\displaystyle O_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(T)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

При таком отождествлении, когда есть спектр поля и задается векторным пространством , множество рациональных точек соответствует проективным линейным подпространствам размерности в , а образ в${\displaystyle T=S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})(K)}$

$\mathbf {P} (V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$

это набор

${\displaystyle \left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(K)\times \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)\mid x\in v\right\}.}$

Вложение Плюккера [ ^6] является естественным вложением грассманиана в проективизацию -й внешней степени .${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$${\displaystyle V}$

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\right).$

Предположим, что является -мерным подпространством -мерного векторного пространства . Чтобы определить , выберем базис для , и пусть будет проективизацией клинового произведения этих базисных элементов: где обозначает класс проективной эквивалентности.${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \iota (w)}$$${\displaystyle \iota (w)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],}$$${\displaystyle [\,\cdot \,]}$

Другой базис для даст другой продукт клина, но они будут отличаться только ненулевым скалярным множителем ( определителем изменения матрицы базиса ). Поскольку правая часть принимает значения в проективизированном пространстве, хорошо определена. Чтобы увидеть, что это вложение, обратите внимание, что можно восстановить из как охват множества всех векторов, таких что ${\displaystyle w}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle w}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle v\wedge \iota (w)=0}$.

Вложение Плюккера грассманиана удовлетворяет набору простых квадратичных соотношений, называемых соотношениями Плюккера . Они показывают, что грассманиан вкладывается как невырожденное проективное алгебраическое подмногообразие проективизации -й внешней степени и дают другой метод построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Плюккера, зафиксируем базис для , и пусть будет -мерным подпространством с базисом . Пусть будут компонентами относительно выбранного базиса , а -компонентные векторы-столбцы образуют транспонированную соответствующую однородную координатную матрицу: ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$${\displaystyle (w_{i1},\cdots ,w_{in})}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (W^{1},\dots ,W^{n})}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}},}$

Для любой упорядоченной последовательности положительных целых чисел пусть будет определителем матрицы со столбцами . Элементы называются координатами Плюккера элемента грассманиана (относительно базиса ) . Это линейные координаты образа под отображением Плюккера относительно базиса внешнего степенного пространства, порожденного базисом . Поскольку изменение базиса для приводит к умножению координат Плюккера на ненулевую константу (определитель матрицы изменения базиса), они определены только с точностью до проективной эквивалентности и, следовательно, определяют точку в .${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle [W^{i_{1}},\dots ,W^{i_{k}}]}$${\displaystyle \{w_{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Для любых двух упорядоченных последовательностей и положительных целых чисел, соответственно , справедливы следующие однородные квадратные уравнения, известные как соотношения Плюккера или соотношения Плюккера-Грассмана , которые определяют образ при вложении отображения Плюккера:${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n}$${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}w_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{l}}},\dots j_{k+1}}=0,}$

где обозначает последовательность с опущенным членом . Они согласованы, определяя невырожденное проективное алгебраическое многообразие , но они не являются алгебраически независимыми. Они эквивалентны утверждению, что является проективизацией полностью разложимого элемента .${\displaystyle j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{l}}},\ldots j_{k+1}}$${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k+1}}$${\displaystyle j_{l}}$${\displaystyle \iota (w)}$${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

Когда , и (простейший грассманиан, который не является проективным пространством), вышеизложенное сводится к одному уравнению. Обозначая однородные координаты изображения под отображением Плюккера как , это единственное соотношение Плюккера имеет вид${\displaystyle \dim(V)=4}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{2}(V)\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V)}$${\displaystyle (w_{12},w_{13},w_{14},w_{23},w_{24},w_{34})}$

${\displaystyle w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.}$

В общем случае для определения образа грассманиана в рамках вложения Плюккера требуется гораздо больше уравнений .${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Каждое -мерное подпространство определяет -мерное факторпространство . Это дает естественную короткую точную последовательность :${\displaystyle k}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V/W}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0\rightarrow W\rightarrow V\rightarrow V/W\rightarrow 0.}$

Взяв двойственное к каждому из этих трех пространств и двойственные линейные преобразования, получаем включение в с фактором${\displaystyle (V/W)^{*}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle W^{*}}$

${\displaystyle 0\rightarrow (V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.}$

Использование естественного изоморфизма конечномерного векторного пространства с его двойным дуальным показывает, что повторное взятие дуального восстанавливает исходную короткую точную последовательность. Следовательно, существует взаимно-однозначное соответствие между -мерными подпространствами и -мерными подпространствами . В терминах грассманиана это дает канонический изоморфизм${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (n-k)}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)\leftrightarrow \mathbf {Gr} {(n-k},V^{*})}$

который сопоставляет каждому подпространству его аннулятор . Выбор изоморфизма с , таким образом, определяет (неканонический) изоморфизм между и . Изоморфизм с эквивалентен выбору скалярного произведения, поэтому относительно выбранного скалярного произведения этот изоморфизм грассманианов переводит любое -мерное подпространство в его }-мерное ортогональное дополнение .${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle W^{0}\subset V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n-k}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n-k)}$

Детальное изучение грассманианов использует разложение на аффинные подпространства , называемые ячейками Шуберта , которые впервые были применены в исчислительной геометрии . Ячейки Шуберта для определяются в терминах заданного полного флага подпространств размерности . Для любого целочисленного разбиения${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$${\displaystyle \mathrm {dim} (V_{i})=i}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k})}$

веса

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

состоящий из слабо убывающих неотрицательных целых чисел

${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,}$

диаграмма Юнга которой вписывается в прямоугольную , ячейка Шуберта состоит из тех элементов , пересечения которых с подпространствами имеют следующие размеры${\displaystyle (n-k)^{k}}$${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\,|\,\dim(W\cap V_{n-k+j-\lambda _{j}})=j\}.}$

Это аффинные пространства, а их замыкания (в топологии Зарисского ) известны как многообразия Шуберта .

В качестве примера техники рассмотрим задачу определения эйлеровой характеристики грассманиана k -мерных подпространств R ⁿ . Зафиксируем -мерное подпространство и рассмотрим разбиение на те k -мерные подпространства R ^{n ,} которые содержат R , и те, которые не содержат. Первое есть , а второе есть ранговое векторное расслоение над . Это дает рекурсивные формулы:${\displaystyle \chi _{k,n}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {R} \subset \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R} ^{n-1})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n-1})}$

${\displaystyle \chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.}$

Решение этих рекурсивных соотношений дает формулу: если четно и нечетно и${\displaystyle \chi _{k,n}=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \\\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor \end{pmatrix}}}$

в противном случае.

Каждая точка в комплексном многообразии Грассмана определяет -плоскость в -пространстве. Расслоение этих плоскостей над грассмановой плоскостью приводит к векторному расслоению , которое обобщает тавтологическое расслоение проективного пространства . Аналогично -мерные ортогональные дополнения этих плоскостей дают ортогональное векторное расслоение . Интегральные когомологии грассманианов порождаются, как кольцо , классами Черна . В частности, все интегральные когомологии имеют четную степень, как и в случае проективного пространства.${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle (n-k)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$

Эти генераторы подчиняются набору отношений, который определяет кольцо. Определяющие отношения легко выразить для большего набора генераторов, который состоит из классов Черна и . Тогда отношения просто утверждают, что прямая сумма расслоений и тривиальна. Функториальность полных классов Черна позволяет записать это отношение как${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle c(E)c(F)=1.}$

Квантовое когомологическое кольцо было вычислено Эдвардом Виттеном . ^[7] Генераторы идентичны генераторам классического когомологического кольца, но верхнее соотношение изменено на

${\displaystyle c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-k}}$

отражая существование в соответствующей квантовой теории поля инстантона с фермионными нулевыми модами , который нарушает степень когомологий, соответствующих состоянию, на единицы .${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$

Когда — -мерное евклидово пространство, мы можем определить равномерную меру на следующим образом. Пусть — единичная мера Хаара на ортогональной группе и зафиксируем . Тогда для множества , определим${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle A\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gw\in A\}.}$

Эта мера инвариантна относительно действия группы ; то есть,${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)}$

для всех . Так как , то . Более того, является мерой Радона относительно топологии метрического пространства и является однородной в том смысле, что каждый шар того же радиуса (относительно этой метрики) имеет ту же меру.${\displaystyle g\in O(n)}$${\displaystyle \theta _{n}(O(n))=1}$${\displaystyle \gamma _{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V))=1}$${\displaystyle \gamma _{k,n}}$