Коразмерность

В математике коразмерность — это базовая геометрическая идея , которая применяется к подпространствам в векторных пространствах , к подмногообразиям в многообразиях и к подходящим подмножествам алгебраических многообразий .

Для аффинных и проективных алгебраических многообразий коразмерность равна высоте определяющего идеала . По этой причине высоту идеала часто называют его коразмерностью.

Двойственное понятие – относительное измерение .

Коразмерность — относительное понятие: она определяется только для одного объекта внутри другого. Не существует «коразмерности векторного пространства (в изоляции)», есть только коразмерность векторного подпространства .

Если W — линейное подпространство конечномерного векторного пространства V , то коразмерность W в V равна разности размерностей: [ 1 ^]

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).}$

Это дополнение к размерности W, поскольку вместе с размерностью W оно даёт размерность окружающего пространства V:

${\displaystyle \dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).}$

Аналогично, если N — подмногообразие или подмногообразие в M , то коразмерность N в M равна

${\displaystyle \operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).}$

Так же, как размерность подмногообразия является размерностью касательного расслоения (числом измерений, которые можно переместить на подмногообразии), коразмерность является размерностью нормального расслоения (числом измерений, которые можно переместить за пределы подмногообразия).

В более общем случае, если W — линейное подпространство (возможно, бесконечномерного) векторного пространства V, то коразмерность W в V — это размерность (возможно, бесконечная) факторпространства V / W , которое более абстрактно известно как коядро включения. Для конечномерных векторных пространств это согласуется с предыдущим определением

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),}$

и является дуальным относительному измерению как измерению ядра .

Конечномерные подпространства бесконечномерных пространств часто полезны при изучении топологических векторных пространств .

Фундаментальное свойство коразмерности заключается в ее отношении к пересечению : если W ₁ имеет коразмерность k ₁ , а W ₂ имеет коразмерность k ₂ , то если U является их пересечением с коразмерностью j , то мы имеем

макс ₍ k1 , k2 ) _≤ j ≤ k1 + k2 ._​​

Фактически j может принимать любое целое значение в этом диапазоне. Это утверждение более наглядно, чем перевод в терминах размерностей, поскольку RHS — это просто сумма коразмерностей. Словами

коразмерности (максимум) добавить .

Если подпространства или подмногообразия пересекаются трансверсально (что происходит в общем случае ), коразмерности складываются точно.

Это утверждение называется подсчетом измерений, особенно в теории пересечений .

В терминах дуального пространства совершенно очевидно, почему измерения складываются. Подпространства могут быть определены путем обращения в нуль определенного числа линейных функционалов , которые, если мы считаем линейно независимыми , их число является коразмерностью. Таким образом, мы видим, что U определяется путем взятия объединения множеств линейных функционалов, определяющих W _i . Это объединение может ввести некоторую степень линейной зависимости : возможные значения j выражают эту зависимость, причем сумма в правой части является случаем, когда зависимости нет. Это определение коразмерности в терминах числа функций, необходимых для вырезания подпространства, распространяется на ситуации, в которых и окружающее пространство, и подпространство являются бесконечномерными.

На другом языке, который является основным для любой теории пересечения , мы берем объединение определенного числа ограничений . Нам нужно обратить внимание на два явления:

1. два набора ограничений могут быть не независимыми;
2. два набора ограничений могут быть несовместимы.

Первый из них часто выражается как принцип подсчета ограничений : если у нас есть число N параметров для настройки (т. е. у нас есть N степеней свободы ), и ограничение означает, что мы должны «потребить» параметр, чтобы удовлетворить его, то коразмерность множества решений не превышает числа ограничений. Мы не ожидаем, что сможем найти решение, если предсказанная коразмерность, т. е. число независимых ограничений, превышает N (в случае линейной алгебры всегда есть тривиальное решение с нулевым вектором , которое поэтому не учитывается).

Второе — это вопрос геометрии, по модели параллельных прямых ; это то, что можно обсуждать для линейных задач методами линейной алгебры, а для нелинейных задач в проективном пространстве над полем комплексных чисел .

Коразмерность также имеет некоторое ясное значение в геометрической топологии : на многообразии коразмерность 1 является размерностью топологического разъединения подмногообразием, в то время как коразмерность 2 является размерностью ветвления и теории узлов . Фактически, теория многообразий высокой размерности, которая начинается в размерности 5 и выше, может быть альтернативно названа начинающейся в коразмерности 3, поскольку более высокие коразмерности избегают явления узлов. Поскольку теория хирургии требует работы вплоть до среднего измерения, как только мы оказываемся в размерности 5, среднее измерение имеет коразмерность больше 2, и, следовательно, мы избегаем узлов.

Эта шутка не пустая: изучение вложений в коразмерности 2 относится к теории узлов и является трудным, в то время как изучение вложений в коразмерности 3 и более поддается инструментам многомерной геометрической топологии и, следовательно, значительно проще.

• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии

• «Коразмерность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5