Параллелизуемое многообразие

В математике дифференцируемое многообразие размерности n называется параллелизуемым [1], если существуют гладкие векторные поля на многообразии, такие, что в каждой точке касательные векторы обеспечивают базис касательного пространства в . Эквивалентно, касательное расслоение является тривиальным расслоением , [2] так что соответствующее главное расслоение линейных фреймов имеет глобальное сечение на М {\displaystyle М} { В 1 , , В н } {\displaystyle \{V_{1},\ldots,V_{n}\}} п {\displaystyle p} М {\displaystyle М} { В 1 ( п ) , , В н ( п ) } {\displaystyle \{V_{1}(p),\ldots ,V_{n}(p)\}} п {\displaystyle p} М . {\displaystyle М.}

Конкретный выбор такого базиса векторных полей на называется распараллеливанием (или абсолютным параллелизмом ) . М {\displaystyle М} М {\displaystyle М}

Примеры

  • Примером с является окружность : мы можем взять V 1 в качестве единичного касательного векторного поля, скажем, указывающего в направлении против часовой стрелки. Тор размерности также параллелизуем, как можно увидеть, выразив его как декартово произведение окружностей. Например, возьмите и постройте тор из квадрата миллиметровки с противоположными краями, склеенными вместе, чтобы получить представление о двух направлениях касательных в каждой точке. В более общем смысле, каждая группа Ли G параллелизуема, поскольку базис для касательного пространства в единичном элементе может быть перемещен действием группы переносов G на G (каждый перенос является диффеоморфизмом, и поэтому эти переносы индуцируют линейные изоморфизмы между касательными пространствами точек в G ). н = 1 {\displaystyle n=1} н {\displaystyle n} н = 2 , {\displaystyle n=2,}
  • Классической задачей было определить, какие из сфер S n являются параллелизуемыми. Нульмерный случай S 0 тривиально параллелизуем. Случай S 1 — это окружность, которая, как уже было объяснено, параллелизуема. Теорема о волосатом шаре показывает, что S 2 непараллелизуема. Однако S 3 параллелизуема, поскольку это группа Ли SU(2) . Единственной другой параллелизуемой сферой является S 7 ; это было доказано в 1958 году Фридрихом Хирцебрухом , Мишелем Кервером и Раулем Боттом и Джоном Милнором в независимой работе. Параллелизуемые сферы точно соответствуют элементам единичной нормы в нормированных алгебрах с делением действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов , что позволяет построить параллелизм для каждой из них. Доказательство того, что другие сферы не являются параллелизуемыми, более сложно и требует алгебраической топологии .
  • Произведение параллелизуемых многообразий параллелизуемо.
  • Каждое ориентируемое замкнутое трехмерное многообразие параллелизуемо. [3]

Замечания

  • Любое параллелизуемое многообразие является ориентируемым .
  • Термин оснащенное многообразие (иногда оснащенное многообразие ) чаще всего применяется к вложенному многообразию с заданной тривиализацией нормального расслоения , а также к абстрактному (то есть невложенному) многообразию с заданной стабильной тривиализацией касательного расслоения .
  • Связанное понятие — это понятие π-многообразия . [4] Гладкое многообразие называется π-многообразием, если при вложении в многомерное евклидово пространство его нормальное расслоение тривиально. В частности, каждое параллелизуемое многообразие является π-многообразием. М {\displaystyle М}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Бишоп, Ричард Л.; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий , Нью-Йорк: Macmillan, стр. 160
  2. ^ Милнор, Джон У.; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Annals of Mathematics Studies, т. 76, Princeton University Press, стр. 15, ISBN 0-691-08122-0
  3. ^ Бенедетти, Риккардо; Лиска, Паоло (23 июля 2019 г.). «Обрамление 3-многообразий голыми руками». L'Enseignement Mathématique . 64 (3): 395–413. arXiv : 1806.04991 . дои : 10.4171/LEM/64-3/4-9. ISSN  0013-8584. S2CID  119711633.
  4. ^ Милнор, Джон В. (1958), Дифференцируемые многообразия, являющиеся гомотопическими сферами (PDF)

Ссылки

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Parallelizable_manifold&oldid=1095482147"