Теорема о волосатом шаре
Теорема в дифференциальной топологии
Неудачная попытка расчесать мохнатый 3-шар (2-сферу), оставив по пучку на каждом полюсе
С другой стороны, мохнатый бублик (2-тор) довольно легко расчесывается.
Непрерывное касательное векторное поле на 2-сфере с единственным полюсом, в данном случае дипольное поле с индексом 2. См. также анимированную версию этого графика .
Завиток волос

Теорема о волосатом шаре алгебраической топологии (иногда называемая теоремой ежа в Европе) [1] утверждает, что не существует неисчезающего непрерывного касательного векторного поля на четномерных n -сферах . [2] [3] Для обычной сферы или 2-сферы, если f является непрерывной функцией, которая сопоставляет вектор в ℝ 3 каждой точке p на сфере так, что f ( p ) всегда касается сферы в точке p , то существует по крайней мере один полюс, точка, в которой поле обращается в нуль ( p такое, что f ( p ) = 0 ).

Теорема была впервые доказана Анри Пуанкаре для 2-сферы в 1885 году [4] и распространена на более высокие четные измерения в 1912 году Лютценом Эгбертусом Яном Брауэром [5] .

Теорема была выражена в разговорной речи как «невозможно расчесать волосяной шар, не создав вихра » или «невозможно расчесать волосы на кокосе» [6] .

Подсчет нулей

Каждый ноль векторного поля имеет (ненулевой) « индекс », и можно показать, что сумма всех индексов во всех нулях должна быть равна двум, поскольку эйлерова характеристика 2-сферы равна двум. Следовательно, должен быть по крайней мере один ноль. Это следствие теоремы Пуанкаре–Хопфа . В случае тора эйлерова характеристика равна 0; и можно «причесать мохнатый бублик плоским». В этой связи следует, что для любого компактного регулярного 2-мерного многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой любое непрерывное касательное векторное поле имеет по крайней мере один ноль.

Применение в компьютерной графике

Распространенной проблемой в компьютерной графике является генерация ненулевого вектора в ℝ 3 , который ортогонален заданному ненулевому вектору. Не существует единой непрерывной функции, которая может сделать это для всех ненулевых векторных входов. Это следствие теоремы о волосатом шаре. Чтобы увидеть это, рассмотрим заданный вектор как радиус сферы и заметим, что нахождение ненулевого вектора, ортогонального заданному, эквивалентно нахождению ненулевого вектора, который касается поверхности этой сферы в точке, где он касается радиуса. Однако теорема о волосатом шаре утверждает, что не существует непрерывной функции, которая может сделать это для каждой точки на сфере (эквивалентно, для каждого заданного вектора).

соединение Лефшеца

Существует тесно связанный аргумент из алгебраической топологии , использующий теорему Лефшеца о неподвижной точке . Поскольку числа Бетти 2-сферы равны 1, 0, 1, 0, 0, ..., число Лефшеца (полный след на гомологии ) тождественного отображения равно 2. Интегрируя векторное поле, мы получаем (по крайней мере, небольшую часть) однопараметрическую группу диффеоморфизмов на сфере; и все отображения в ней гомотопны тождеству. Следовательно, все они также имеют число Лефшеца 2. Следовательно, у них есть неподвижные точки (поскольку число Лефшеца отлично от нуля). Потребуется еще немного работы, чтобы показать, что это подразумевает, что на самом деле должен быть ноль векторного поля. Это действительно предполагает правильное утверждение более общей теоремы Пуанкаре-Хопфа об индексе .

Следствие

Следствием теоремы о волосатом шаре является то, что любая непрерывная функция , отображающая четномерную сферу в себя, имеет либо неподвижную точку , либо точку, отображающуюся в ее собственную антиподальную точку . Это можно увидеть, преобразовав функцию в касательное векторное поле следующим образом.

Пусть s — функция, отображающая сферу в себя, а v — касательная векторная функция, которую нужно построить. Для каждой точки p постройте стереографическую проекцию s ( p ) с p в качестве точки касания. Тогда v ( p ) — вектор смещения этой спроецированной точки относительно p . Согласно теореме о волосатом шаре, существует p такое, что v ( p ) = 0 , так что s ( p ) = p .

Этот аргумент недействителен только в том случае, если существует точка p, для которой s ( p ) является антиподальной точкой p , поскольку такая точка является единственной, которая не может быть стереографически спроецирована на касательную плоскость p .

Дальнейшее следствие состоит в том, что любое четномерное проективное пространство имеет свойство неподвижной точки . Это следует из предыдущего результата путем подъема непрерывных функций в себя до функций в себя. Р П 2 н {\displaystyle \mathbb {RP} ^{2n}} С 2 н {\displaystyle S^{2n}}

Более высокие измерения

Связь с эйлеровой характеристикой χ предполагает правильное обобщение: 2 n -сфера не имеет неисчезающего векторного поля для n ≥ 1. Разница между четными и нечетными измерениями заключается в том, что, поскольку единственными ненулевыми числами Бетти m -сферы являются b 0 и b m , их знакопеременная сумма χ равна 2 для четных m и 0 для нечетных m .

Действительно, легко увидеть, что нечетномерная сфера допускает неисчезающее касательное векторное поле посредством простого процесса рассмотрения координат окружающего четномерного евклидова пространства парами. А именно, можно определить касательное векторное поле , указав векторное поле, заданное как Р 2 н {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} С 2 н − 1 {\displaystyle S^{2n-1}} в : Р 2 н → Р 2 н {\displaystyle v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}}

в ( х 1 , … , х 2 н ) = ( х 2 , − х 1 , … , х 2 н , − х 2 н − 1 ) . {\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2},-x_{1},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1}).}

Для того, чтобы это векторное поле ограничивалось касательным векторным полем к единичной сфере, достаточно проверить, что скалярное произведение с единичным вектором вида, удовлетворяющего , обращается в нуль. Из-за спаривания координат видно, что С 2 н − 1 ⊂ Р 2 н {\displaystyle S^{2n-1}\subset \mathbb {R} ^{2n}} х = ( х 1 , … , х 2 н ) {\displaystyle x=(x_{1},\точки,x_{2n})} ‖ х ‖ = 1 {\displaystyle \|x\|=1}

в ( х 1 , … , х 2 н ) ∙ ( х 1 , … , х 2 н ) = ( х 2 х 1 − х 1 х 2 ) + ⋯ + ( х 2 н х 2 н − 1 − х 2 н − 1 х 2 н ) = 0. {\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})\bullet (x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_{2})+\cdots +(x_{2n}x_{2n-1}-x_{2n-1}x_{2n})=0.}

Для 2 n -сферы окружающее евклидово пространство является , которое является нечетномерным, и поэтому этот простой процесс спаривания координат невозможен. Хотя это не исключает возможности того, что все еще может существовать касательное векторное поле к четномерной сфере, которое не исчезает, теорема о волосатом шаре показывает, что на самом деле нет способа построить такое векторное поле. Р 2 н + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}

Физические примеры

Теорема о «мохнатом шаре» имеет многочисленные физические подтверждения. Например, вращение твердого шара вокруг неподвижной оси порождает непрерывное касательное векторное поле скоростей точек, расположенных на его поверхности. Это поле имеет две точки нулевой скорости, которые исчезают после полного просверливания шара через его центр, тем самым превращая шар в топологический эквивалент тора — тела, к которому теорема о «мохнатом шаре» неприменима. [7] Теорема о «мохнатом шаре» может быть успешно применена для анализа распространения электромагнитных волн , в случае, когда волновой фронт образует поверхность, топологически эквивалентную сфере (поверхность, обладающую эйлеровой характеристикой χ = 2). По крайней мере одна точка на поверхности, в которой векторы электрического и магнитного полей равны нулю, обязательно появится. [8] На некоторых 2-сферах пространства параметров для электромагнитных волн в плазме (или других сложных средах) также появляются эти типы «ворсинок» или «лысых точек», что указывает на то, что в системах существует топологическое возбуждение, т. е. устойчивые волны, которые невосприимчивы к рассеянию и отражениям. [9] Если идеализировать ветер в атмосфере Земли как поле касательного вектора, то теорема о волосатом шаре подразумевает, что при любом ветре на поверхности Земли где-то всегда должен быть циклон . Обратите внимание, однако, что ветер может двигаться вертикально в атмосфере, поэтому идеализированный случай не является метеорологически обоснованным. (Что верно , так это то, что для каждой «оболочки» атмосферы вокруг Земли должна быть точка на оболочке, где ветер не движется горизонтально.) Теорема также имеет значение в компьютерном моделировании (включая дизайн видеоигр ), в котором распространенной проблемой является вычисление ненулевого трехмерного вектора, который ортогонален (т. е. перпендикулярен) заданному; Теорема о волосатом шаре подразумевает, что не существует единой непрерывной функции, которая бы выполнила эту задачу. [10]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Рентельн, Пол (2013). Многообразия, тензоры и формы: введение для математиков и физиков. Cambridge Univ. Press. стр. 253. ISBN 978-1107659698.
  2. ^ Бернс, Кит; Гидеа, Мариан (2005). Дифференциальная геометрия и топология: с видом на динамические системы. CRC Press. стр. 77. ISBN 1584882530.
  3. ^ Шварц, Ричард Эван (2011). Mostly Surfaces. Американское математическое общество. стр. 113–114. ISBN 978-0821853689.
  4. ^ Пуанкаре, Х. (1885), «Sur les courbes définies par les équations différentielles», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 : 167–244
  5. ^ Георг-Август-Университет Геттингена. Архивировано 26 мая 2006 г. в Wayback Machine - LEJ Brouwer. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten / Mathematische Annalen (1912), том: 71, стр. 97–115; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e, полный текст
  6. ^ Ричесон, Дэвид С. (23 июля 2019 г.). Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии (ред. Новой научной библиотеки Принстона). Принстон. стр. 5. ISBN 978-0691191997.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  7. ^ Бормашенко, Эдвард; Казачков, Александр (июнь 2017 г.). «Вращение и качение твердых тел и теорема о «волосатом шаре»». American Journal of Physics . 85 (6): 447–453. Bibcode : 2017AmJPh..85..447B. doi : 10.1119/1.4979343. ISSN  0002-9505.
  8. ^ Бормашенко, Эдвард (2016-05-23). ​​«Препятствия, налагаемые теоремой Пуанкаре–Брауэра («волосатый шар») на распространение электромагнитных волн». Журнал электромагнитных волн и приложений . 30 (8): 1049–1053. Bibcode : 2016JEWA...30.1049B. doi : 10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN  0920-5071. S2CID  124221302.
  9. ^ Цинь, Хун; Фу, Ичен (2023-03-31). «Топологическая ленгмюровско-циклотронная волна». Science Advances . 9 (13): eadd8041. doi :10.1126/sciadv.add8041. ISSN  2375-2548. PMC 10065437. PMID 37000869  . 
  10. ^ Кохулак, Рудольф (2016-09-02). «Волосатые шары, циклоны и компьютерная графика». Chalkdust . Получено 2023-08-14 .

Ссылки

  • Эйзенберг, Мюррей; Гай, Роберт (1979), «Доказательство теоремы о волосатом шаре», The American Mathematical Monthly , 86 (7): 571–574, doi :10.2307/2320587, JSTOR  2320587

Дальнейшее чтение

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_о_волосатом_шаре&oldid=1255434676"