Тетраэдрические соты порядка 6

Тетраэдрические соты порядка 6
Перспективный проекционный вид в модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические регулярные соты Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	{3,3,6} {3,3 [3] }
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	{3,3}
Лица	треугольник {3}
Крайняя фигура	шестиугольник {6}
Вершинная фигура	треугольная мозаика
Двойной	Шестиугольная плитка в виде сот
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {P}}_{3}}$
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

В гиперболическом 3-мерном пространстве тетраэдрические соты порядка 6 являются паракомпактной регулярной заполняющей пространство мозаикой (или сотами ). Они являются паракомпактными, поскольку имеют вершинные фигуры, состоящие из бесконечного числа граней, и все вершины являются идеальными точками на бесконечности. С символом Шлефли {3,3,6} тетраэдрические соты порядка 6 имеют шесть идеальных тетраэдров вокруг каждого ребра. Все вершины являются идеальными , с бесконечным числом тетраэдров, существующих вокруг каждой вершины в треугольной мозаичной вершинной фигуре . ^[1]

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Тетраэдрические соты порядка 6 имеют вторую конструкцию как однородные соты с символом Шлефли {3,3 ^[3] }. Эта конструкция содержит чередующиеся типы или цвета тетраэдрических ячеек. В нотации Коксетера эта полусимметрия представлена ​​как [3,3,6,1 ⁺ ] ↔ [3,((3,3,3))], или [3,3 ^[3] ]:↔.

Тетраэдрические соты порядка 6 аналогичны двумерной треугольной мозаике бесконечного порядка , {3,∞}. Обе мозаики являются правильными и содержат только треугольники и идеальные вершины.

Тетраэдрические соты порядка 6 также являются правильными гиперболическими сотами в 3-мерном пространстве и одними из 11, которые являются паракомпактными.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Эти соты являются одними из 15 однородных паракомпактных сот в группе Коксетера [6,3,3], наряду с их двойственными — гексагональными мозаичными сотами .

[6,3,3] семейные соты
{6,3,3}	г{6,3,3}	т{6,3,3}	рр{6,3,3}	т 0,3 {6,3,3}	тр{6,3,3}	т 0,1,3 {6,3,3}	т 0,1,2,3 {6,3,3}
{3,3,6}	г{3,3,6}	т{3,3,6}	рр{3,3,6}	2т{3,3,6}	тр{3,3,6}	т 0,1,3 {3,3,6}	т 0,1,2,3 {3,3,6}

Тетраэдрические соты шестого порядка являются частью последовательности правильных полихор и сот с тетраэдрическими ячейками .

{3,3,p} многогранники
Космос	С 3			Н 3
Форма	Конечный			Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
Изображение
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Он также является частью последовательности сот с треугольными мозаичными вершинными фигурами .

Гиперболические однородные соты : { p ,3,6} и { p ,3 ^[3] }

• в
• т
• е

Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞,3,6} {∞,3 [3] }
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Выпрямленные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты Полурегулярные соты
Символы Шлефли	г{3,3,6} или т 1 {3,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	г{3,3} {3,6}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	шестиугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {P}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные тетраэдрические соты порядка 6 , t ₁ {3,3,6}, имеют октаэдрические и треугольные ячейки мозаики, расположенные в вершинной фигуре шестиугольной призмы .

Перспективный проекционный вид в модели диска Пуанкаре

р{п,3,6}

• в
• т
• е

Космос	Н 3
Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	г{3,3,6}	г{4,3,6}	г{5,3,6}	г{6,3,6}	г{7,3,6}	... г{∞,3,6}
Изображение
Клетки {3,6}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	т{3,3,6} или т 0,1 {3,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	т{3,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	шестиугольная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {P}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 , t _0,1 {3,3,6}, имеют усеченные тетраэдрические и треугольные ячейки мозаики, расположенные в вершинной фигуре шестиугольной пирамиды .

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 эквивалентны усеченным гексагональным мозаичным сотам .

Скошенные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	рр{3,3,6} или т 0,2 {3,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	г{3,3} г{3,6} {}x{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	равнобедренная треугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {P}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные тетраэдрические соты порядка 6 , t _0,2 {3,3,6}, имеют ячейки кубооктаэдра , тригексагональной мозаики и шестиугольной призмы , расположенные в вершинной фигуре равнобедренной треугольной призмы .

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	tr{3,3,6} или t 0,1,2 {3,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	тр{3,3} т{3,6} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {P}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 , t _0,1,2 {3,3,6}, имеют ячейки усеченного октаэдра , шестиугольной мозаики и шестиугольной призмы , соединенные в зеркально отраженную клиновидную вершинную фигуру .

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 эквивалентны усеченным гексагональным мозаичным сотам .

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 эквивалентны усеченным гексагональным сотам .

Тетраэдрические соты ранцикантеллатного порядка 6 эквивалентны шестиугольным мозаичным сотам ранцикантеллатного порядка .

Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 эквивалентны усеченным гексагональным мозаичным сотам .

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве) Таблица III 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16–17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II) 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • NW Johnson: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Коксетера