Заказ-6 шестиугольная плитка сотовая

Заказ-6 шестиугольная плитка сотовая
Перспективная проекция вида из центра модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические регулярные соты Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	{6,3,6} {6,3 [3] }
Диаграмма Коксетера	↔ ↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестиугольник {6}
Крайняя фигура	шестиугольник {6}
Вершинная фигура	{3,6} или {3 [3] }
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] , [6,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

В области гиперболической геометрии гексагональная мозаика порядка 6 является одной из 11 правильных паракомпактных сот в 3-мерном гиперболическом пространстве . Она является паракомпактной , поскольку имеет ячейки с бесконечным числом граней. Каждая ячейка представляет собой гексагональную мозаику , вершины которой лежат на орисфере : плоскость в гиперболическом пространстве, которая стремится к единственной идеальной точке на бесконечности.

Символ Шлефли шестиугольной мозаики сот — {6,3,6}. Поскольку символ шестиугольной мозаики плоскости — {6,3}, то эти соты имеют шесть таких шестиугольных мозаик, встречающихся на каждом ребре. Поскольку символ Шлефли треугольной мозаики — {3,6}, то вершинная фигура этих сот — треугольная мозаика. Таким образом, бесконечно много шестиугольных мозаик встречаются в каждой вершине этих сот. ^[1]

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Шестиугольная мозаика порядка 6 представляет собой сотовую мозаику, аналогичную двумерной гиперболической мозаике бесконечного порядка апейрогональной мозаики {∞,∞} с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.

Он содержитичто плитка 2- гиперциклические поверхности, которые похожи на паракомпактные плиткии( усеченная треугольная мозаика бесконечного порядка и апейрогональная мозаика порядка 3 соответственно):

Шестиугольные соты порядка 6 имеют полусимметричную конструкцию:.

Она также имеет подгруппу индекса 6, [6,3 ^* ,6], с несимплексной фундаментальной областью. Эта подгруппа соответствует диаграмме Кокстера с шестью ветвями порядка 3 и тремя ветвями бесконечного порядка в форме треугольной призмы:.

Шестиугольные соты мозаики порядка 6 являются правильными гиперболическими сотами в 3-мерном пространстве и одними из одиннадцати паракомпактных сот в 3-мерном пространстве.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

В семействе групп Коксетера [6,3,6] имеется девять однородных сот , включая эту правильную форму.

[6,3,6] семейные соты

{6,3,6}	г{6,3,6}	т{6,3,6}	рр{6,3,6}	т 0,3 {6,3,6}	2т{6,3,6}	тр{6,3,6}	т 0,1,3 {6,3,6}	т 0,1,2,3 {6,3,6}

Эти соты имеют родственные им альтернативные соты — треугольные мозаичные соты , но с более низкой симметрией:↔.

Шестиугольные соты мозаики порядка 6 являются частью последовательности правильных полихор и сот с треугольными вершинными фигурами мозаики:

Гиперболические однородные соты : {p,3,6}

Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является частью последовательности правильных полихор и сот с шестиугольными мозаичными ячейками:

{6,3, p } соты в т е
Космос	Н 3
Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Коксетер
Изображение
Вершинная фигура {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Он также является частью последовательности правильных полихор и сот с правильными дельтаэдрическими вершинными фигурами :

{p,3,p} обычные соты
Космос	С 3	Евклидово E 3	Н 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	... {∞,3,∞}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленный порядок-6 шестиугольная черепица сотовая
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	г{6,3,6} или т 1 {6,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔ ↔ ↔↔
Клетки	{3,6} г{6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	шестиугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] , [6,3 [3] ] , [3 [3,3] ] ${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {ПП}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленная шестиугольная черепица порядка 6 , t ₁ {6,3,6},имеет треугольную мозаику и тригексагональные грани мозаики с вершиной в виде шестиугольной призмы .

его также можно рассматривать как шестиугольную мозаику порядка 6 , q{6,3,6},↔.

Это аналог двумерной гиперболической апейрогональной мозаики порядка 4 , r{∞,∞} с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.

Шестиугольные соты порядка 6 являются частью серии сот с вершинными фигурами в виде шестиугольных призм :

р{п,3,6}

• в
• т
• е

Космос	Н 3
Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	г{3,3,6}	г{4,3,6}	г{5,3,6}	г{6,3,6}	г{7,3,6}	... г{∞,3,6}
Изображение
Клетки {3,6}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Он также является частью матрицы 3-мерных четвертных сот: q{2p,4,2q}

Евклидовы /гиперболические ( паракомпактные / некомпактные ) четвертьсот q{p,3,q}
п \ д	4	6	8	... ∞
4	д{4,3,4} ↔↔	д{4,3,6} ↔↔	д{4,3,8} ↔	д{4,3,∞} ↔
6	д{6,3,4} ↔↔	д{6,3,6} ↔	д{6,3,8} ↔	д{6,3,∞} ↔
8	д{8,3,4} ↔	д{8,3,6} ↔	д{8,3,8} ↔	д{8,3,∞} ↔
... ∞	д{∞,3,4} ↔	д{∞,3,6} ↔	д{∞,3,8} ↔	д{∞,3,∞} ↔

Усеченный порядок-6 шестиугольная мозаика сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т{6,3,6} или т 0,1 {6,3,6}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{3,6} т{6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	шестиугольная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] , [6,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная черепица порядка 6 , t _0,1 {6,3,6},имеет треугольную мозаику и усеченные шестиугольные грани мозаики с вершиной в виде шестиугольной пирамиды . ^[2]

Усеченные шестиугольные соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	бт{6,3,6} или т 1,2 {6,3,6}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	т{3,6}
Лица	шестиугольник {6}
Вершинная фигура	тетраэдр
Группы Коксетера	${\displaystyle 2\times {\overline {Z}}_{3}}$, [[6,3,6]] , [6,3 [3] ] , [3,3,6] ${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$
Характеристики	Обычный

Усеченные шестиугольные соты мозаики порядка 6 представляют собой конструкцию с более низкой симметрией обычных шестиугольных сот мозаики ,↔. Он содержит шестиугольные мозаичные грани с вершинной фигурой в виде тетраэдра .

Шестиугольная черепица порядка 6 с кантеллированными ячейками
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	рр{6,3,6} или т 0,2 {6,3,6}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	г{3,6} рр{6,3} {}x{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] , [6,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенная шестиугольная черепица порядка 6, сотовая , t _0,2 {6,3,6},имеет ячейки тригексагональной мозаики , ромботригексагональной мозаики и шестиугольной призмы с клиновидной вершиной .

Усеченные шестиугольные соты с порядком 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	tr{6,3,6} или t 0,1,2 {6,3,6}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	тр{3,6} т{3,6} {}x{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] , [6,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная черепица порядка 6 , t _0,1,2 {6,3,6},имеет шестиугольную мозаику , усеченную тришестиугольную мозаику и ячейки шестиугольной призмы с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Runcinated order-6 шестиугольная черепица соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,3 {6,3,6}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{6,3} {}×{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	треугольная антипризма
Группы Коксетера	${\displaystyle 2\times {\overline {Z}}_{3}}$, [[6,3,6]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Шестиугольная черепичная сота порядка 6 , t _0,3 {6,3,6},имеет шестиугольную мозаику и ячейки шестиугольной призмы с вершинной фигурой в виде треугольной антипризмы .

Это аналог 2D гиперболической ромбогексагексагональной мозаики , rr{6,6},с квадратными и шестиугольными гранями:

Runciturcated order-6 шестиугольная черепица соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,1,3 {6,3,6}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{6,3} рр{6,3} {}x{6} {}x{12}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Шестиугольная черепица усеченного порядка 6 , t _0,1,3 {6,3,6},имеет ячейки усеченной шестиугольной мозаики , ромботришестиугольной мозаики , шестиугольной призмы и двенадцатиугольной призмы с вершинной фигурой в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Усеченные шестиугольные соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {6,3,6}
Диаграмма Коксетера
Клетки	тр{6,3} {}x{12}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	филлик дисфеноидный
Группы Коксетера	${\displaystyle 2\times {\overline {Z}}_{3}}$, [[6,3,6]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная черепица порядка 6 , t _0,1,2,3 {6,3,6},имеет усеченную тригексагональную мозаику и ячейки в виде двенадцатиугольной призмы с вершинной фигурой в виде филлитического двуклиновидного треугольника .

Чередующийся порядок-6 шестиугольных сотовых плиток
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч{6,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	{3,6} {3 [3] }
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	шестиугольная мозаика
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$, [6,3 [3] ]
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

Шестиугольные соты чередующегося порядка 6 представляют собой конструкцию с более низкой симметрией обычных треугольных сотов .↔. Он содержит треугольные мозаичные грани в шестиугольной мозаичной вершинной фигуре .

Кантический порядок-6 шестиугольная черепица соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч 2 {6,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	т{3,6} г{6,3} ч 2 {6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$, [6,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Шестиугольные соты мозаики порядка 6 являются низкосимметричной конструкцией выпрямленных треугольных сот мозаики ,↔, с тригексагональной мозаикой и гранями шестиугольной мозаики в вершинной фигуре треугольной призмы .

Порядок Runcic-6 шестиугольная мозаика соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч 3 {6,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	рр{3,6} {6,3} {3 [3] } {3}x{}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	треугольный купол
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$, [6,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Руническая шестиугольная черепица в виде сот , h ₃ {6,3,6},, или, имеет гексагональную мозаику , ромботригексагональную мозаику , треугольную мозаику и грани треугольной призмы с вершиной в виде треугольного купола .

Порядок Runcicantic-6 шестиугольная мозаика сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч 2,3 {6,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	тр{6,3} т{6,3} ч 2 {6,3} {}x{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$, [6,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Порядок руникант-6, шестиугольная черепица, соты , h _2,3 {6,3,6},, или, содержит усеченную тригексагональную мозаику , усеченную шестиугольную мозаику , тригексагональную мозаику и грани треугольной призмы с вершиной в виде прямоугольной пирамиды .

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве) Таблица III 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16–17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II) 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • NW Johnson: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Коксетера