Волоконный жгут

В математике , и в частности в топологии , расслоение волокон ( англ. Commonwealth : fiber bundle ) — это пространство , которое локально является пространством произведения , но глобально может иметь другую топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространством произведения определяется с помощью непрерывного сюръективного отображения , которое в небольших областях ведет себя так же, как проекция из соответствующих областей в Отображение , называемое проекцией или погружением расслоения , рассматривается как часть структуры расслоения. Пространство известно как полное пространство расслоения волокон, как базовое пространство , а волокно .${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F}$${\displaystyle Б.}$${\displaystyle \пи,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle F}$

В тривиальном случае является просто и отображение является просто проекцией из пространства произведения на первый множитель. Это называется тривиальным расслоением . Примерами нетривиальных расслоений волокон являются лента Мёбиуса и бутылка Клейна , а также нетривиальные покрывающие пространства . Расслоения волокон, такие как касательное расслоение многообразия и другие более общие векторные расслоения , играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и главные расслоения .${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F,}$${\displaystyle \пи}$

Отображения между тотальными пространствами расслоений волокон, которые «коммутируют» с проекционными отображениями, известны как отображения расслоений , а класс расслоений волокон образует категорию относительно таких отображений. Отображение расслоения из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) в называется разделом расслоений волокон, может быть специализировано несколькими способами, наиболее распространенным из которых является требование, чтобы отображения перехода между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующая на волокно .${\displaystyle E}$${\displaystyle Э.}$${\displaystyle F}$

В топологии термины волокно (нем. Faser ) и волокнистое пространство ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1933 году ^{[1] [2] [3],} но его определения ограничиваются очень частным случаем. Однако главное отличие от современной концепции волокнистого пространства заключалось в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) волокнистого (топологического) пространства E, не было частью структуры, а выводилось из нее как фактор-пространство E. Первое определение волокнистого пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году ^[4] под названием сферическое пространство , но в 1940 году Уитни изменил название на сферическое расслоение . ^[5]

Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия , приписывается Герберту Зейферту , Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , ^[6] Уитни, Норману Стинроду , Шарлю Эресманну , ^{[7] [8] [9]} Жан-Пьеру Серру , ^[10] и другим.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом изучения в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. ^[11]

Уитни пришел к общему определению расслоения волокон, изучая более конкретное понятие расслоения сфер ^[12] , которое представляет собой расслоение волокон, волокном которого является сфера произвольной размерности . ^[13]

Расслоение волокон — это структура , где и — топологические пространства , и является непрерывной сюръекцией, удовлетворяющей локальному условию тривиальности, описанному ниже. Пространство называется${\displaystyle (E,\,B,\,\pi,\,F),}$${\displaystyle E,B,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle Б}$базовое пространство пучка,${\displaystyle E}$общее пространствои${\displaystyle F}$волокно . Картаназывается${\displaystyle \пи}$проекционная карта (илипроекция пучка ). В дальнейшем будем предполагать, что базовоепространствосвязно.${\displaystyle Б}$

Мы требуем, чтобы для каждого существовала открытая окрестность (которая будет называться тривиализующей окрестностью) такая, что существует гомеоморфизм ( где задана топология подпространства , а — пространство произведения) таким образом, что это согласуется с проекцией на первый множитель. То есть, следующая диаграмма должна коммутировать :${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi:\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$${\displaystyle \пи ^{-1}(U)}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle \пи}$

где - естественная проекция, а - гомеоморфизм. Множество всех называется${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$${\displaystyle \varphi:\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$локальная тривиализация расслоения.

Таким образом, для любого , прообраз гомеоморфен (так как это верно для ) и называется волокном над Каждое расслоение является открытым отображением , так как проекции произведений являются открытыми отображениями. Поэтому несет топологию фактора, определяемую отображением${\displaystyle p\in B}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi .}$

Пучок волокон часто обозначается${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}}$

1

что, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является волокном, полным пространством и базовым пространством, а также отображение из полного пространства в базовое.

Агладкое расслоение волокон — это расслоение волокон вкатегориигладких многообразий.То есть,идолжны быть гладкими многообразиями, а всефункциивыше должны бытьгладкими отображениями.${\displaystyle E,B,}$${\displaystyle F}$

Пусть и пусть будет проекцией на первый множитель. Тогда есть расслоение (из ) над Здесь не только локально, но и глобально . Любое такое расслоение называется${\displaystyle E=B\times F}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle E}$тривиальное расслоение . Любое расслоение надстягиваемым CW-комплексомтривиально.

Возможно, простейшим примером нетривиального расслоения является лента Мёбиуса . Она имеет окружность , которая проходит вдоль центра ленты в качестве основания и отрезок прямой для волокна , поэтому лента Мёбиуса является расслоением отрезка прямой над окружностью. Окрестность ( где ) является дугой ; на рисунке это длина одного из квадратов. Прообраз на рисунке представляет собой (несколько скрученный) кусочек ленты шириной четыре квадрата и длиной один (т. е. все точки, которые проецируются на ).${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi (x)\in B}$${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$

Существует гомеоморфизм ( в § Формальное определение), который отображает прообраз (тривиализирующего соседства) в срез цилиндра: изогнутый, но не скрученный. Эта пара локально тривиализирует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение было бы цилиндром , но лента Мёбиуса имеет общий «поворот». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мёбиуса и цилиндр идентичны (создание одного вертикального разреза в любом из них дает одно и то же пространство).${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle B\times F}$

Аналогичное нетривиальное расслоение — бутылка Клейна , которую можно рассматривать как «скрученное» окружное расслоение над другим кругом. Соответствующее не скрученное (тривиальное) расслоение — это 2- тор , .${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Покрывающее пространство — это расслоение, проекция которого является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что расслоение — это дискретное пространство .

Специальный класс расслоений, называемых векторными расслоениями , — это те, чьи слои являются векторными пространствами (чтобы считаться векторным расслоением, структурная группа расслоения — см. ниже — должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить каркасное расслоение базисов , которое является главным расслоением (см. ниже).

Другой специальный класс расслоений, называемых главными расслоениями , — это расслоения, на слоях которых задано свободное и транзитивное действие группы , так что каждое волокно является главным однородным пространством . Расслоение часто указывается вместе с группой, называя его главным -расслоением. Группа также является структурной группой расслоения. Учитывая представление на векторном пространстве , можно построить векторное расслоение с в качестве структурной группы, известное как ассоциированное расслоение .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$

Сферическое расслоение — это расслоение, волокно которого является n -сферой . Если задано векторное расслоение с метрикой (например, касательное расслоение к риманову многообразию ), можно построить связанное с ним единичное сферическое расслоение , для которого расслоение над точкой является множеством всех единичных векторов в . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением , единичное сферическое расслоение называется единичным касательным расслоением .${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle TM}$

Сферическое расслоение частично характеризуется его классом Эйлера , который является классом степени когомологий в общем пространстве расслоения. В случае, если сферическое расслоение называется расслоением окружности , а класс Эйлера равен первому классу Черна , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии с помощью длинной точной последовательности, называемой последовательностью Гайсина .${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$

Если — топологическое пространство и — гомеоморфизм , то тор отображения имеет естественную структуру расслоения над окружностью со слоем Торы отображения гомеоморфизмов поверхностей имеют особое значение в топологии 3-многообразий .${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle X.}$

Если — топологическая группа и — замкнутая подгруппа , то при некоторых обстоятельствах факторпространство вместе с факторотображением является расслоением, чей слой — топологическое пространство . Необходимым и достаточным условием для того, чтобы ( ) образовало расслоение, является то, что отображение допускает локальные сечения (Steenrod 1951, §7).${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \pi :G\to G/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$${\displaystyle \pi }$

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение будет допускать локальные сечения, неизвестны, хотя если — группа Ли и замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа , , которое является расслоением над сферой, полное пространство которой равно . С точки зрения групп Ли, можно отождествить со специальной унитарной группой . Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна группе окружности , а фактор-отображение диффеоморфно сфере .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle SU(2)/U(1)}$

В более общем случае, если — любая топологическая группа и замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то — расслоение волокон.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\to G/H}$

Асечение (илипоперечное сечение) расслоения волоконявляется непрерывным отображением,таким чтодля всехxвB. Поскольку расслоения в общем случае не имеют глобально определенных сечений, одной из целей теории является объяснение их существования.Препятствиек существованию сечения часто можно измерить с помощью класса когомологий, что приводит к теориихарактеристических классоввалгебраической топологии.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f:B\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$

Наиболее известным примером является теорема о волосатом шаре , где класс Эйлера является препятствием к касательному расслоению двумерной сферы , имеющему нигде не исчезающее сечение.

Часто хотелось бы определить сечения только локально (особенно когда глобальные сечения не существуют). Локальное сечение расслоения волокон — это непрерывное отображение , где U — открытое множество в B и для всех x из U . Если — локальная карта тривиализации , то локальные сечения всегда существуют над U . Такие сечения находятся в 1-1 соответствии с непрерывными отображениями . Сечения образуют пучок .${\displaystyle f:U\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$${\displaystyle (U,\,\varphi )}$${\displaystyle U\to F}$

Расслоения волокон часто поставляются с группой симметрий, которые описывают условия соответствия между перекрывающимися локальными картами тривиализации. В частности, пусть G будет топологической группой , которая непрерывно действует на расслоенное пространство F слева. Мы ничего не теряем, если потребуем, чтобы G действовала точно на F так, чтобы ее можно было рассматривать как группу гомеоморфизмов F . Атлас G для расслоения представляет собой набор локальных карт тривиализации, таких что для любого для перекрывающихся карт и функция задается как , где - непрерывное отображение, называемое${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$функция перехода . ДваG-атласа эквивалентны, если их объединение также являетсяG-атласом. G -расслоение- это расслоение с классом эквивалентностиG-атласов. ГруппаGназываетсяструктурная группа расслоения; аналогичный термин вфизике—калибровочная группа.

В гладкой категории G -расслоение представляет собой гладкое расслоение, где G — группа Ли , а соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода являются гладкими отображениями.

Функции перехода удовлетворяют следующим условиям${\displaystyle t_{ij}}$

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

Третье условие применяется к тройным перекрытиям U _i ∩ U _j ∩ U _k и называется условием коцикла (см. Когомологии Чеха ). Важность этого условия в том, что функции перехода определяют расслоение волокон (если принять условие коцикла Чеха).

Главное G -расслоение - это G -расслоение, где слой F является главным однородным пространством для левого действия самого G (эквивалентно, можно указать , что действие G на слое F является свободным и транзитивным, т.е. регулярным ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.

Полезно иметь понятия отображения между двумя расслоениями. Предположим, что M и N — базовые пространства, а и — расслоения над M и N соответственно. A${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$карта пакета илиМорфизм расслоения состоит из пары непрерывных^[14]функций, таких что То есть, следующая диаграмма являетсякоммутативной:$${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.}$

Для расслоений со структурной группой G и чьи полные пространства являются (правыми) G -пространствами (такими как главное расслоение), морфизмы расслоений также должны быть G -эквивариантными на волокнах. Это означает, что также является G -морфизмом из одного G -пространства в другое, то есть для всех и${\displaystyle \varphi :E\to F}$${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle s\in G.}$

В случае, если базовые пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения в является отображением таким, что Это означает, что отображение расслоения покрывает единицу M. То есть, и следующая диаграмма коммутирует:${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle \varphi :E\to F}$${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .}$${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

Предположим, что и определены над одним и тем же базовым пространством M. Изоморфизм расслоений — это отображение расслоений между и таким, что и таким, что также является гомеоморфизмом. ^[15]${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$${\displaystyle \varphi }$

В категории дифференцируемых многообразий расслоения волокон возникают естественным образом как погружения одного многообразия в другое. Не каждое (дифференцируемое) погружение из дифференцируемого многообразия M в другое дифференцируемое многообразие N приводит к дифференцируемому расслоению волокон. Во-первых, отображение должно быть сюръективным и называется расслоенным многообразием . Однако это необходимое условие не совсем достаточно, и существует множество достаточных условий, которые обычно используются.${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle (M,N,f)}$

Если M и N компактны и связны , то любая субмерсия порождает расслоение в том смысле, что существует расслоенное пространство F, диффеоморфное каждому из слоёв, такое, что является расслоением. (Сюръективность следует из предположений, уже данных в этом случае.) В более общем смысле, предположение о компактности можно ослабить, если предположить, что субмерсия является сюръективным собственным отображением , то есть является компактным для каждого компактного подмножества K из N. Другое достаточное условие, согласно Эресманну (1951), состоит в том, что если является сюръективной субмерсией с дифференцируемыми многообразиями M и N, такими, что прообраз компактен и связен для всех , то допускает совместимую структуру расслоения (Michor 2008, §17).${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f^{-1}(K)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$${\displaystyle x\in N,}$${\displaystyle f}$

• Понятие расслоения применимо ко многим другим категориям в математике за счет соответствующей модификации условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия) .
• В топологии расслоение — это отображение , которое имеет определенные гомотопически-теоретические свойства, общие с расслоениями волокон. В частности, при умеренных технических предположениях расслоение волокон всегда имеет свойство гомотопического подъема или свойство гомотопического покрытия (см. Steenrod (1951, 11.7) для получения подробной информации). Это определяющее свойство расслоения.${\displaystyle \pi :E\to B}$
• Часть расслоения волокон представляет собой «функцию, выходной диапазон которой непрерывно зависит от входного значения». Это свойство формально отражено в понятии зависимого типа .

• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Стинрод, Норман (5 апреля 1999 г.). Топология пучков волокон . Princeton Mathematical Series. Том 14. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875.
• Бликер, Дэвид (1981), Калибровочная теория и вариационные принципы , Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
• Эресманн, Чарльз (1951). «Бесконечно малые связи в пространстве дифференцируемых волокон». Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Брюссель, 1950 г. Париж: Жорж Тон, Льеж; Masson et Cie, стр.  29–55 .
• Хусемоллер, Дейл (1994), Fibre Bundles , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Michor, Peter W. (2008), Темы дифференциальной геометрии , аспирантура по математике , т. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2003-2
• Войцеховский, М.И. (2001) [1994], "Fibre space", Энциклопедия математики , EMS Press

• Волоконный пучок, PlanetMath
• Роуленд, Тодд. «Пучок волокон». MathWorld .
• Создание символической скульптуры Джона Робинсона «Вечность»
• Сарданашвили, Геннадий , Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа. Лекции для теоретиков, arXiv :0908.1886