Волоконно-оптический коллектор

В дифференциальной геометрии , в категории дифференцируемых многообразий , расслоенное многообразие — это сюръективная субмерсия , то есть сюръективное дифференцируемое отображение, такое, что в каждой точке касательное отображение сюръективно, или, что то же самое, его ранг равен ^[1]$${\displaystyle \пи :E\to B\,}$$${\displaystyle y\in U}$$${\displaystyle T_{y}\pi :T_{y}E\to T_{\pi (y)}B}$$${\displaystyle \dim B.}$

В топологии слова волокно ( Faser на немецком языке) и волокнистое пространство ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1932 году , но его определения ограничиваются очень частным случаем. ^[2] Однако главное отличие от современной концепции волокнистого пространства состояло в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) волокнистого (топологического) пространства, не было частью структуры, а выводилось из нее как фактор-пространство Первое определение волокнистого пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году под названием сферическое пространство , но в 1940 году Уитни изменил название на сферическое расслоение . ^{[3] [4]}${\displaystyle E}$${\displaystyle Э.}$

Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия, приписывается Зейферту , Хопфу , Фельдбау , Уитни , Стинроду , Эресманну , Серру и другим. ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Тройка , где и — дифференцируемые многообразия, а — сюръективная субмерсия, называется расслоенным многообразием . ^[10] называется тотальным пространством , называется базой .${\displaystyle (E,\пи ,B)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle Б}$

• Каждое дифференцируемое расслоение волокон является расслоенным многообразием .
• Каждое дифференцируемое накрывающее пространство представляет собой расслоенное многообразие с дискретным волокном.
• В общем случае расслоенное многообразие не обязательно должно быть расслоением: разные расслоения могут иметь разные топологии. Пример этого явления можно построить, взяв тривиальное расслоение и удалив две точки в двух разных расслоениях над базовым многообразием. Результатом является новое расслоенное многообразие, в котором все расслоения, за исключением двух, соединены.${\displaystyle \left(S^{1}\times \mathbb {R} ,\pi _{1},S^{1}\right)}$${\displaystyle S^{1}.}$

• Любая сюръективная субмерсия открыта: для каждого открытого множество открыто в${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle V\subseteq E,}$${\displaystyle \pi (V)\subseteq B}$${\displaystyle Б.}$
• Каждое волокно представляет собой замкнутое вложенное подмногообразие размерности ^[11]${\displaystyle \pi ^{-1}(b)\subseteq E,b\in B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \dim E-\dim B.}$
• Расслоенное многообразие допускает локальные сечения: для каждого существует открытая окрестность в и гладкое отображение с и${\displaystyle y\in E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \пи (y)}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle s:U\to E}$${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{U}}$${\displaystyle s(\пи (y))=y.}$
• Сюръекция является расслоенным многообразием тогда и только тогда, когда существует локальное сечение ( с ), проходящее через каждое ^[12]${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle s:B\to E}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{B}}$${\displaystyle y\in E.}$

Пусть (соотв. ) будет -мерным (соотв. -мерным) многообразием. Расслоенное многообразие допускает расслоенные карты . Мы говорим, что карта на является расслоенной картой , или адаптирована к сюръективной субмерсии, если существует карта на такая, что и где${\displaystyle Б}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U=\pi (V)}$$${\displaystyle u^{1}=x^{1}\circ \pi ,\,u^{2}=x^{2}\circ \pi ,\,\dots ,\,u^{n}=x^{n}\circ \pi \,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\left(u^{1},\dots ,u^{n},y^{1},\dots ,y^{p-n}\right).\quad y_{0}\in V,\\\varphi &=\left(x^{1},\dots ,x^{n}\right),\quad \pi \left(y_{0}\right)\in U.\end{aligned}}}$$

Вышеуказанное условие диаграммы волокон может быть эквивалентно выражено как , где есть проекция на первые координаты. Тогда диаграмма, очевидно, уникальна. Ввиду вышеуказанного свойства, координаты волокон диаграммы волокон обычно обозначаются как , где координаты соответствующей диаграммы на затем обозначаются, с очевидным соглашением, как , где$${\displaystyle \varphi \circ \pi =\mathrm {pr} _{1}\circ \psi ,}$$$${\displaystyle {\mathrm {pr} _{1}}:{\mathbb {R} ^{n}}\times {\mathbb {R} ^{p-n}}\to {\mathbb {R} ^{n}}\,}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle \psi =\left(x^{i},y^{\sigma }\right)}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle \sigma \in \{1,\ldots ,m\},}$ ${\displaystyle m=p-n}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varphi =\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}.}$

Наоборот, если сюръекция допускает расслоенный атлас , то является расслоенным многообразием.${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle \pi :E\to B}$

Пусть — расслоенное многообразие и любое многообразие. Тогда открытое покрытие вместе с отображениями, называемыми отображениями тривиализации , такое, что является локальной тривиализацией относительно ^[13]${\displaystyle E\to B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \psi :\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to U_{\alpha }\times V,}$$$${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\circ \psi _{\alpha }=\pi ,{\text{ for all }}\alpha }$$${\displaystyle V.}$

Расслоенное многообразие вместе с многообразием является расслоением с типичным волокном (или просто волокном ), если оно допускает локальную тривиализацию относительно . Тогда атлас называется атласом расслоения .${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \Psi =\left\{\left(U_{\alpha },\psi _{\alpha }\right)\right\}}$

• Алгебраическое волокнистое пространство
• Подключение (волоконный коллектор)  – Эксплуатация волоконных коллекторов
• Покрывающее пространство  – Тип непрерывного отображения в топологии
• Расслоение волокон  – Непрерывная сюръекция, удовлетворяющая локальному условию тривиальности
• Расслоение  – понятие в алгебраической топологии
• Натуральный пучок
• Квази-расслоение  – Понятие из математики
• Пространство волокон Зейферта  – Топологическое пространство

• Коларж, Иван; Михор, Петер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , извлечено 15 июня 2011 г.
• Крупка, Деметра; Янушка, Йозеф (1990), Лекции по дифференциальным инвариантам , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
• Сондерс, DJ (1989), Геометрия струйных пучков , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). Новые лагранжевы и гамильтоновы методы в теории поля . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.

• Эресманн, К. (1947a). «Сюр-ла-теория пространственных волокон». Колл. Вершина. Алг. Париж (на французском языке). ННРС: 3–15.
• Эресманн, К. (1947b). «Sur les espaces fibrés différentiables». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 224 : 1611–1612.
• Эресманн, К. (1955). «Продление дифференцируемых волокон». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 240 : 1755–1757.
• Фельдбау, Дж. (1939). «Классификация пространственных волокон». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 208 : 1621–1623.
• Зайферт, Х. (1932). «Топология глубоких измерений». Акта Математика. (на французском языке). 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .
• Серр, Ж.-П. (1951). «Homologie Singulière des Espaces Fibrés. Приложения». Энн. математики. (на французском языке). 54 : 425–505. дои : 10.2307/1969485. JSTOR  1969485.
• Уитни, Х. (1935). "Сферические пространства". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 21 (7): 464–468. Bibcode :1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC  1076627 . PMID  16588001.
• Уитни, Х. (1940). «О теории сферических расслоений». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 26 (2): 148–153. Bibcode :1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . MR  0001338. PMC  1078023 . PMID  16588328.

• Макклири, Дж. «История многообразий и волокнистых пространств: черепахи и зайцы» (PDF) .