Отображение тора

В математике отображение тора в топологии гомеоморфизма f некоторого топологического пространства X в себя является частной геометрической конструкцией с f . Возьмем декартово произведение X с замкнутым интервалом I и склей граничные компоненты вместе статическим гомеоморфизмом:

${\displaystyle M_{f}={\frac {(I\times X)}{(1,x)\sim (0,f(x))}}}$

Результатом является расслоение , основанием которого является круг, а слоем — исходное пространство X.

Если X — многообразие , то _Mf будет многообразием размерности на единицу выше, и говорят, что оно «расслоено над окружностью» .

В качестве простого примера, пусть будет окружностью, а будет инверсией , тогда отображающий тор будет бутылкой Клейна. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle е^{ix}\mapsto е^{-ix}}$

Торы отображения гомеоморфизмов поверхности играют ключевую роль в теории 3-многообразий и интенсивно изучались. Если S — замкнутая поверхность рода g  ≥ 2 и если f — самогомеоморфизм S , тор отображения M _f — замкнутое 3-многообразие , которое расслаивается над окружностью со слоем S . Глубокий результат Терстона утверждает, что в этом случае 3 -многообразие M _f является гиперболическим тогда и только тогда, когда f — псевдоаносовский гомеоморфизм S . ^[1]