Теория преград

В математике теория препятствий — это название двух различных математических теорий , обе из которых выдают когомологические инварианты .

В оригинальной работе Штифеля и Уитни характеристические классы были определены как препятствия к существованию некоторых полей линейно независимых векторов . Теория препятствий оказывается приложением теории когомологий к задаче построения поперечного сечения расслоения .

В теории гомотопии

Более раннее значение теории препятствий в теории гомотопий относится к процедуре, индуктивной по размерности, для расширения непрерывного отображения, определенного на симплициальном комплексе , или комплексе CW . Его традиционно называют теорией препятствий Эйленберга , в честь Сэмюэля Эйленберга . Он включает в себя группы когомологий с коэффициентами в гомотопических группах для определения препятствий к расширениям. Например, при отображении из симплициального комплекса X в другой, Y , изначально определенном на 0-скелете X ( вершинах X ), расширение до 1-скелета будет возможно всякий раз, когда образ 0-скелета будет принадлежать тому же компоненту линейной связности Y . Расширение с 1-скелета на 2-скелет означает определение отображения на каждом сплошном треугольнике из X , учитывая отображение, уже определенное на его граничных ребрах. Аналогично, расширение отображения на 3-скелет включает расширение отображения на каждый телесный 3-симплекс X , учитывая отображение, уже определенное на его границе.

В какой-то момент, скажем, при расширении отображения с (n-1)-скелета X на n-скелет X , эта процедура может оказаться невозможной. В этом случае можно назначить каждому n-симплексу гомотопический класс отображения, уже определенный на его границе (по крайней мере один из которых будет ненулевым). Эти назначения определяют n-коцепь с коэффициентами в . Удивительно, но эта коцепь оказывается коциклом и, таким образом, определяет класс когомологий в n-й группе когомологий X с коэффициентами в . Когда этот класс когомологий равен 0, оказывается, что отображение может быть изменено в его гомотопическом классе на (n-1)-скелете X так, что отображение может быть расширено до n-скелета X . Если класс не равен нулю, он называется препятствием к расширению отображения на n-скелет, учитывая его гомотопический класс на (n-1)-скелете. $\пи _{n-1}(Y)$ $\пи _{n-1}(Y)$ $\пи _{n-1}(Y)$

Препятствие к удлинению части главного пучка

Строительство

Предположим, что $B$ $—$ односвязный симплициальный комплекс и что $p : E \to B$ — расслоение со слоем $F.$ Кроме того, предположим, что у нас есть частично определенное сечение $σ$ $n$ $:$ $B$ $n$ $\to$ $E$ на $n$ -остове B .

Для каждого $(n + 1)$ -симплекса $Δ$ в $B$ , $σ n$ может быть ограничено границей $\partialΔ$ (которая является топологической $n$ -сферой ). Поскольку $p$ отправляет каждый $σ n (\partialΔ)$ обратно в $\partialΔ$ , $σ n$ определяет отображение из $n$ -сферы в $p -1 (Δ)$ . Поскольку расслоения удовлетворяют свойству гомотопического подъема, а $Δ стягиваемо ; p -1 ( Δ ) гомотопически эквивалентно F$ $.$ Таким образом $,$ $этот$ $частично$ $определенный$ $раздел$ назначает элемент π n ( $F$ $)$ $каждому$ $($ $n$ + $1$ $)$ $-симплексу$ . Это в точности данные $π$ $n$ $($ $F$ $)$ -значной симплициальной коцепи степени $n$ $+ 1$ на $B$ , т. е. элемент $C$ $n$ $+ 1$ $(B;$ $π$ $n$ $($ $F$ $))$ . Эта коцепь называется препятствующей коцепью, поскольку ее равенство нулю означает, что все эти элементы $π$ $n$ $($ $F$ $)$ тривиальны, а это значит, что наше частично определенное сечение может быть расширено до $($ $n$ $+ 1)$ -скелета с помощью гомотопии между (частично определенным сечением на границе каждого $Δ$ ) и постоянным отображением.

Тот факт, что эта коцепь произошла из частично определенной секции (в отличие от произвольного набора отображений из всех границ всех $(n + 1)$ -симплексов), можно использовать для доказательства того, что эта коцепь является коциклом. Если начать с другой частично определенной секции $σ n$ , которая согласуется с исходной на $(n - 1)$ -скелете, то можно также доказать, что полученный коцикл будет отличаться от первой на кограницу. Следовательно, у нас есть хорошо определенный элемент группы когомологий $H n + 1 (B; π n (F))$ такой, что если существует частично определенная секция на $(n + 1)$ -скелете, которая согласуется с данным выбором на $(n - 1)$ -скелете, то этот класс когомологий должен быть тривиальным.

Обратное также верно, если допустить такие вещи, как гомотопические сечения , то есть отображение $σ : B \to E$ , такое, что $p \circ σ$ гомотопно (в отличие от равенства) тождественному отображению на $B.$ Таким образом, это обеспечивает полный инвариант существования сечений с точностью до гомотопии на $(n + 1)$ -скелете.

Приложения

Индуктивно по $n$ можно построить первое препятствие к сечению как первый из перечисленных выше классов когомологий, который не равен нулю.
Это можно использовать для поиска препятствий к тривиализации главных расслоений .
Поскольку любое отображение можно превратить в расслоение , эту конструкцию можно использовать, чтобы увидеть, существуют ли препятствия к существованию подъема (с точностью до гомотопии) отображения в $B$ до отображения в $E,$ даже если $p : E \to B$ не является расслоением.
Это имеет решающее значение для построения систем Постникова .

В геометрической топологии

В геометрической топологии теория препятствий изучает случаи, когда топологическое многообразие имеет кусочно-линейную структуру , а также случаи, когда кусочно-линейное многообразие имеет дифференциальную структуру .

В размерности не выше 2 (Радо) и 3 (Моисе) понятия топологических многообразий и кусочно-линейных многообразий совпадают. В размерности 4 они не совпадают.

В размерностях не более 6 понятия кусочно-линейных многообразий и дифференцируемых многообразий совпадают.

В теории хирургии

Два основных вопроса теории хирургии : является ли топологическое пространство с n -мерной двойственностью Пуанкаре гомотопически эквивалентным n -мерному многообразию , а также гомотопическая эквивалентность n -мерных многообразий гомотопна диффеоморфизму . В обоих случаях есть два препятствия для n>9 , первичное топологическое препятствие K-теории к существованию векторного расслоения : если оно обращается в нуль, то существует нормальное отображение , позволяющее определить вторичное препятствие хирургии в алгебраической L-теории для выполнения хирургии над нормальным отображением для получения гомотопической эквивалентности .

Смотрите также

Ссылки

Хусмеллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1
Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0
Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3749-4.