Гомоморфизм Гайсина

В области математики, известной как алгебраическая топология , последовательность Гизина — это длинная точная последовательность , которая связывает классы когомологий базового пространства , волокна и полного пространства расслоения сфер . Последовательность Гизина — полезный инструмент для вычисления колец когомологий по классу Эйлера расслоения сфер и наоборот. Она была введена Гизином  (1942) и обобщена спектральной последовательностью Серра .

Рассмотрим расслоение сфер, ориентированное по волокнам, с полным пространством ^E , базовым пространством M , волокном Sk и проекционной картой :${\displaystyle \пи}$${\displaystyle S^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}M.}$

Любое такое расслоение определяет класс когомологий e степени k  + 1 , называемый классом Эйлера расслоения.

Обсуждение последовательности наиболее понятно с когомологиями де Рама . Там классы когомологий представлены дифференциальными формами , так что e может быть представлено ( k  + 1)-формой.

Проекционное отображение индуцирует отображение в когомологиях, называемое его обратным отображением.${\displaystyle \пи}$${\displaystyle H^{\ast}}$ ${\displaystyle \пи ^{\аст}}$

${\displaystyle \пи ^{*}:H^{*}(M)\longrightarrow H^{*}(E).\,}$

В случае пучка волокон можно также определить карту прямого распространения${\displaystyle \пи _{\аст}}$

${\displaystyle \pi _{*}:H^{*}(E)\longrightarrow H^{*-k}(M)}$

которое действует посредством послойной интеграции дифференциальных форм на ориентированной сфере – обратите внимание, что это отображение идет «неправильным путем» : это ковариантное отображение между объектами, связанными с контравариантным функтором.

Гайсин доказал, что следующая последовательность является длинной точной

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H^{n}(E){\stackrel {\pi _{*}}{\longrightarrow }}H^{nk}(M){\stackrel {e_{\wedge }}{\longrightarrow }}H^{n+1}(M){\stackrel {\pi ^{*}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(E)\longrightarrow \cdots }$

где — клиновое произведение дифференциальной формы с классом Эйлера  e .${\displaystyle e_{\wedge}}$

Последовательность Гайсина является длинной точной последовательностью не только для когомологий де Рама дифференциальных форм, но и для когомологий с целыми коэффициентами. В интегральном случае необходимо заменить клиновидное произведение с классом Эйлера на чашечное произведение , и отображение pushforward больше не соответствует интегрированию.

Пусть i : X → Y — (замкнутое) регулярное вложение коразмерности d , Y ' → Y — морфизм, а i ' : X ' = X × _Y Y ' → Y ' — индуцированное отображение. Пусть N — обратный путь нормального расслоения i в X ' . Тогда уточненный гомоморфизм Гизина i ^! относится к композиции

${\displaystyle i^{!}:A_{k}(Y'){\overset {\sigma }{\longrightarrow }}A_{k}(N){\overset {\text{Gysin}}{\longrightarrow } }A_{kd}(X')}$

где

• σ — гомоморфизм специализации; который переводит k -мерное подмногообразие V в нормальный конус пересечения V и X ' в V . Результат лежит в N через .${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow N}$
• Второе отображение — это (обычный) гомоморфизм Гайсина, индуцированный вложением нулевого сечения .${\displaystyle X'\hookrightarrow N}$

Гомоморфизм i ^! кодирует произведение пересечений в теории пересечений, в которой либо показывается, что произведение пересечений X и V задается формулой , либо эта формула принимается в качестве определения. ^[1]${\displaystyle X\cdot V=i^{!}[V],}$

Пример : Для данного векторного расслоения E пусть s : X → E будет сечением E. Тогда, когда s является регулярным сечением, — это класс нулевого локуса s , где [ X ] — фундаментальный класс X. ^[2 ]${\displaystyle s^{!}[X]}$

• Логарифмическая форма
• последовательность Ванга