Единичное касательное расслоение

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (September 2020) (Learn how and when to remove this message)

В римановой геометрии единичное касательное расслоение риманова многообразия ( M , g ) , обозначаемое как T ¹ M , UT( M ), UT M или S M , является единичным сферическим расслоением для касательного расслоения T( M ). Это расслоение над M , чей слой в каждой точке является единичной сферой в касательном пространстве:

${\displaystyle \mathrm {UT} (M):=\coprod _{x\in M}\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|g_{x}(v,v)=1\right.\right\},}$

где T _x ( M ) обозначает касательное пространство к M в точке x . Таким образом, элементы UT( M ) являются парами ( x , v ), где x — некоторая точка многообразия, а v — некоторое касательное направление (единичной длины) к многообразию в точке x . Единичное касательное расслоение снабжено естественной проекцией

${\displaystyle \pi :\mathrm {UT} (M)\to M,}$

${\displaystyle \pi :(x,v)\mapsto x,}$

который переводит каждую точку расслоения в ее базовую точку. Слой π ⁻¹ ( x ) над каждой точкой x ∈ M является ( n −1) -сферой S ^{n −1} , где n — размерность M . Таким образом, единичное касательное расслоение является сферическим расслоением над M со слоем S ^{n −1} .

Определение расслоения единичной сферы может легко вместить и финслеровы многообразия . В частности, если M — многообразие, снабженное финслеровой метрикой F  : T M  →  R , то расслоение единичной сферы является подрасслоением касательного расслоения, волокно которого в точке x является индикатрисой F :

${\displaystyle \mathrm {UT} _{x}(M)=\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|F(v)=1\right.\right\}.}$

Если M — бесконечномерное многообразие (например, многообразие Банаха , Фреше или Гильберта ), то UT( M ) по-прежнему можно рассматривать как единичное сферическое расслоение для касательного расслоения T( M ), но тогда волокно π ⁻¹ ( x ) над x является бесконечномерной единичной сферой в касательном пространстве.

Единичное касательное расслоение несет множество дифференциальных геометрических структур. Метрика на M индуцирует контактную структуру на UT M . Это задается в терминах тавтологической одноформы , определенной в точке u UT M (единичный касательный вектор M ) как

${\displaystyle \theta _{u}(v)=g(u,\pi _{*}v)\,}$

где — движение вперед вдоль π вектора v  ∈ T _u UT M . ${\displaystyle \pi _{*}}$

Геометрически эту контактную структуру можно рассматривать как распределение (2 n −2)-плоскостей, которое в единичном векторе u является обратным проецированием ортогонального дополнения u в касательном пространстве M. Это контактная структура, поскольку слой UT M, очевидно, является интегральным многообразием (вертикальное расслоение находится всюду в ядре θ), а оставшиеся касательные направления заполняются путем перемещения вверх по слою UT M. Таким образом, максимальное интегральное многообразие θ является (открытым множеством) самого M.

На многообразии Финслера контактная форма определяется аналогичной формулой

${\displaystyle \theta _{u}(v)=g_{u}(u,\pi _{*}v)\,}$

где g _u — фундаментальный тензор ( гессиан финслеровой метрики). Геометрически соответствующее распределение гиперплоскостей в точке u  ∈ UT _x M является обратным образом относительно π _* касательной гиперплоскости к единичной сфере в T _x M в u .

Объемная форма θ∧ d θ ^{n −1} определяет меру на M , известную как кинематическая мера , или мера Лиувилля , которая инвариантна относительно геодезического потока M. Как мера Радона , кинематическая мера μ определяется на компактно содержащихся непрерывных функциях ƒ на UT M следующим образом :

${\displaystyle \int _{UTM}f\,d\mu =\int _{M}dV(p)\int _{UT_{p}M}\left.f\right|_{UT_{p}M}\,d\mu _{p}}$

где d V — элемент объема на M , а μ _p — стандартная вращательно-инвариантная мера Бореля на евклидовой сфере UT _p M.

Связность Леви -Чивиты M приводит к расщеплению касательного расслоения

${\displaystyle T(UTM)=H\oplus V}$

в вертикальное пространство V  = kerπ _* и горизонтальное пространство H, на котором π _* является линейным изоморфизмом в каждой точке UT M. Это расщепление индуцирует метрику на UT M, объявляя, что это расщепление является ортогональной прямой суммой, и определяя метрику на H с помощью обратного образа:

${\displaystyle g_{H}(v,w)=g(v,w),\quad v,w\in H}$

и определение метрики на V как индуцированной метрики из вложения волокна UT _x M в евклидово пространство T _x M. Оснащенное этой метрикой и контактной формой, UT M становится сасакиевым многообразием .

• Джеффри М. Ли: Многообразия и дифференциальная геометрия . Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, Американское математическое общество, Провиденс (2009). ISBN  978-0-8218-4815-9
• Юрген Йост : Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag, Берлин. ISBN 3-540-42627-2 
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден : Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон. ISBN 0-8053-0102-X