Словарь У–Ян

В топологии и физике высоких энергий словарь У–Яна относится к математической идентификации, которая позволяет осуществлять обратный и прямой перевод между концепциями калибровочной теории и концепциями дифференциальной геометрии . Словарь появился в 1975 году в статье Тай Цун У и КН Янга, сравнивающей электромагнетизм и теорию расслоений волокон . ^[1] Этот словарь считается сближающим математику и теоретическую физику. ^[2]

Важнейшим примером успеха словаря является то, что он позволил понять квантование монополей в терминах расслоений Хопфа . ^{[3] [4]}

Эквивалентности между теорией расслоенных волокон и калибровочной теорией были намечены в конце 1960-х годов. В 1967 году математик Анджей Траутман начал серию лекций для физиков и математиков в Королевском колледже Лондона относительно этих связей. ^[4]

Физики-теоретики Тай Цун Ву и КН Янг , работающие в Университете Стоуни-Брук , опубликовали в 1975 году статью о математической основе электромагнетизма и эффекте Ааронова-Бома в терминах пучков волокон. Год спустя математик Изадор Сингер приехал в гости и привез копию в Оксфордский университет . ^{[2] [5] [6]} Сингер показал статью Майклу Атья и другим математикам, что положило начало тесному сотрудничеству между физиками и математиками. ^[2]

Ян также вспоминает разговор, который у него состоялся с одним из математиков, основавших теорию расслоенных волокон, Шиин-Шен Черном : ^[2]

В 1975 году, впечатленный тем фактом, что калибровочные поля являются связями на расслоениях, я поехал в дом Шиинг-Шэня Черна в Эль-Серрито , недалеко от Беркли . (Я посещал его курсы в начале 1940-х годов, когда он был молодым профессором, а я студентом бакалавриата в Национальном юго-западном ассоциированном университете в Куньмине , Китай . Это было до того, как расслоения стали важными в дифференциальной геометрии, и до того, как Черн вошел в историю своим вкладом в обобщенную теорему Гаусса–Бонне и классы Черна .) Нам было о чем поговорить: друзья, родственники, Китай. Когда наш разговор зашел о расслоениях, я сказал ему, что наконец-то узнал от Джима Саймонса красоту теории расслоений и глубокую теорему Черна–Вейля . Я сказал, что нахожу удивительным, что калибровочные поля являются именно связями на расслоениях, которые математики разработали без ссылки на физический мир. Я добавил: «Это одновременно захватывающе и загадочно, поскольку вы, математики, выдумали эти концепции из ниоткуда». Он тут же запротестовал: «Нет, нет. Эти концепции не были выдуманы. Они были естественными и реальными».

В 1977 году Траутман использовал эти результаты, чтобы продемонстрировать эквивалентность между условием квантования для магнитных монополей, использованным Полем Дираком еще в 1931 году, и расслоением Хопфа , расслоением трехмерной сферы, предложенным в том же году математиком Хайнцем Хопфом . ^[4] Математик Джим Саймонс, обсуждая эту эквивалентность с Янгом, высказал мнение, что «Дирак открыл тривиальные и нетривиальные расслоения раньше математиков». ^[4]

В оригинальной статье Ву и Ян добавили источники (например, электрический ток ) в словарь рядом с пустым местом, что указывает на отсутствие какой-либо эквивалентной концепции с математической стороны. Во время интервью Ян вспоминает, что Сингер и Атья проявили большой интерес к этой концепции источников, которая была неизвестна математикам, но которую физики знали с 19 века. Математики начали работать над этим, что привело к разработке теории Дональдсона Саймоном Дональдсоном , учеником Атьи. ^{[7] [8]}

Словарь Wu-Yang связывает термины физики частиц с терминами математики, в частности, теории расслоений волокон. Существует множество версий и обобщений словаря. Вот пример словаря, который помещает каждый физический термин рядом с его математическим аналогом: ^[9]

У и Янг рассмотрели описание электрона, движущегося вокруг цилиндра в присутствии магнитного поля внутри цилиндра (вне цилиндра поле исчезает, т.е. ). Согласно эффекту Ааронова–Бома , интерференционные картины смещаются на фактор , где — магнитный поток, а — квант магнитного потока . Для двух различных потоков a и b результаты идентичны, если , где — целое число. Мы определяем оператор как калибровочное преобразование, которое переводит волновую функцию электрона из одной конфигурации в другую . Для электрона, который проходит путь из точки P в точку Q , мы определяем фазовый фактор как ${\displaystyle f_{\mu \nu }=0}$${\displaystyle \exp(-i\Омега /\Омега _{0})}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Омега _{0}}$${\displaystyle \Омега _{a}-\Омега _{b}=N\Омега _{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S_{ab}}$${\displaystyle \psi _{b}=S_{ba}\psi _{a}}$

${\displaystyle \Phi _{QP}=\exp \left(-{\frac {i}{\Omega _{0}}}\int _{P}^{Q}A_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }\right)}$,

где - электромагнитный четырехпотенциал . Для случая калибровочного поля SU ₂ можно сделать замену${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle A_{\mu }=ib_{\mu }^{k}X_{k}}$,

где генераторы SU ₂ , матрицы Паули . В рамках этих концепций Ву и Янг показали связь между языком теории калибровок и расслоениями волокон , была кодифицирована в следующем словаре: ^{[2] [10] [11]}${\displaystyle X_{k}=-i\sigma _{k}/2}$${\displaystyle \сигма _{k}}$

Словарь У-Яна (1975) ^[1]

Терминология калибровочного поля	Терминология пакета
калибр (или глобальный калибр)	главный координатный пучок
тип датчика	главный пучок волокон
калибровочный потенциал${\displaystyle b_{\mu }^{k}}$	соединение по основному пучку волокон
${\displaystyle S_{ba}}$(см. выше в этом разделе)	функция перехода
фазовый фактор${\displaystyle \Phi _{QP}}$	параллельное смещение
напряженность поля ${\displaystyle f_ {\mu \nu }^{k}}$	кривизна
источник [а] ${\displaystyle J_{\mu }^{k}}$	?
электромагнетизм	подключение по пучку U 1 (1)
изотопное спиновое калибровочное поле	подключение по пучку SU 2
Монопольное квантование Дирака	классификация пучка U 1 (1) по первому классу Черна
электромагнетизм без монополя	соединение на тривиальном пучке U 1 (1)
электромагнетизм с монополем	связность на нетривиальном расслоении U 1 (1)

• Монополь 'т Хоофта–Полякова
• Монополь У–Яна