Симметрия в квантовой механике

Часть серии статей о
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение скобок Гамильтониан Вмешательство
Основы Взаимодополняемость Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число Состояние Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция Крах
Эксперименты Неравенство Белла неравенство CHSH Дэвиссон–Гермер Двойной щелевой Элицур–Вайдман Франк–Герц неравенство Леггетта Неравенство Леггетта–Гарга Маха–Цендера Поппер Квантовый ластик Отложенный выбор Кот Шредингера Штерн–Герлах Отложенный выбор Уиллера
Формулировки Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по траектории)
Уравнения Дирак Клейн–Гордон Паули Рюдберг Шредингер
Интерпретации байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройля–Бома Ансамбль Скрытая переменная Местный Супердетерминизм Множество миров Цель-коллапс Квантовая логика Относительный Транзакционный Фон Нейман–Вигнер
Продвинутые темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информатика Квантовые вычисления Квантовый хаос ЭПР-парадокс Матрица плотности Теория рассеяния Квантовая статистическая механика Квантовое машинное обучение
Ученые Ахаронов Белл Бете Блэкетт Блох Бом Бор Рожденный Бозе де Бройль Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Гуцвиллер Гейзенберг Гильберт Иордания Крамерс Ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Паули Планк Раби Раман Рюдберг Шредингер Симмонс Зоммерфельд фон Нейман Вейль Вена Вигнер Зееман Цайлингер
в т е

Quantum field theory
Feynman diagram
History
Background Field theory Electromagnetism Weak force Strong force Quantum mechanics Special relativity General relativity Gauge theory Yang–Mills theory
Symmetries Symmetry in quantum mechanics C-symmetry P-symmetry T-symmetry Lorentz symmetry Poincaré symmetry Gauge symmetry Explicit symmetry breaking Spontaneous symmetry breaking Noether charge Topological charge
Tools Anomaly Background field method BRST quantization Correlation function Crossing Effective action Effective field theory Expectation value Feynman diagram Lattice field theory LSZ reduction formula Partition function Path Integral Formulation Propagator Quantization Regularization Renormalization Vacuum state Wick's theorem Wightman Axioms
Equations Dirac equation Klein–Gordon equation Proca equations Wheeler–DeWitt equation Bargmann–Wigner equations Schwinger-Dyson equation Renormalization group equation
Standard Model Quantum electrodynamics Electroweak interaction Quantum chromodynamics Higgs mechanism
Incomplete theories String theory Supersymmetry Technicolor Theory of everything Quantum gravity
Scientists Adler Anderson Anselm Bargmann Becchi Belavin Bell Berezin Bethe Bjorken Bleuer Bogoliubov Brodsky Brout Buchholz Cachazo Callan Coleman Connes Dashen DeWitt Dirac Doplicher Dyson Englert Faddeev Fadin Fayet Fermi Feynman Fierz Fock Frampton Fritzsch Fröhlich Fredenhagen Furry Glashow Gelfand Gell-Mann Glimm Goldstone Gribov Gross Gupta Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kreimer Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polchinski Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino
v t e

Симметрии в квантовой механике описывают особенности пространства-времени и частиц, которые остаются неизменными при некоторых преобразованиях, в контексте квантовой механики , релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля , а также с приложениями в математической формулировке стандартной модели и физики конденсированного состояния . В общем, симметрия в физике , инвариантность и законы сохранения являются принципиально важными ограничениями для формулирования физических теорий и моделей. На практике они являются мощными методами решения проблем и предсказания того, что может произойти. Хотя законы сохранения не всегда дают ответ на проблему напрямую, они формируют правильные ограничения и первые шаги к решению множества проблем. В применении понимание симметрии также может дать представление о собственных состояниях, которые можно ожидать. Например, существование вырожденных состояний может быть выведено из наличия некоммутирующих операторов симметрии или то, что невырожденные состояния также являются собственными векторами операторов симметрии.

В данной статье описывается связь между классической формой непрерывных симметрий , а также их квантовыми операторами , и связывается с группами Ли и релятивистскими преобразованиями в группе Лоренца и группе Пуанкаре .

В статье используются следующие условные обозначения. Жирным шрифтом выделены векторы , четыре вектора , матрицы и векторные операторы , в то время как квантовые состояния используют обозначение скобками . Широкие шляпы предназначены для операторов , узкие шляпы — для единичных векторов (включая их компоненты в обозначении индекса тензора ). Используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам тензора , если не указано иное. Сигнатура метрики Минковского — (+−−−).

В общем случае соответствие между непрерывными симметриями и законами сохранения задается теоремой Нётер .

Форма фундаментальных квантовых операторов, например, энергии как частной производной по времени и импульса как пространственного градиента , становится ясной, если рассмотреть начальное состояние, а затем немного изменить один из его параметров. Это можно сделать для смещений (длин), длительностей (времени) и углов (вращений). Кроме того, инвариантность определенных величин можно увидеть, делая такие изменения в длинах и углах, иллюстрируя сохранение этих величин.

В дальнейшем преобразования будут касаться только одночастичных волновых функций в виде:

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')}$$

рассматриваются, где обозначает унитарный оператор . Унитарность обычно требуется для операторов, представляющих преобразования пространства, времени и спина, поскольку норма состояния (представляющая полную вероятность нахождения частицы где-либо с некоторым спином) должна быть инвариантной относительно этих преобразований. Обратным является эрмитово сопряжение . Результаты можно распространить на многочастичные волновые функции. Записанные в нотации Дирака как стандарт, преобразования векторов квантового состояния имеют вид:${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle }$$

Теперь действие изменяет ψ ( r , t ) на ψ ( r ′, t ′) , поэтому обратное действие изменяет ψ ( r ′, t ′) обратно на ψ ( r , t ) , поэтому оператор, инвариантный относительно , ​​удовлетворяет условию:${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$${\displaystyle {\widehat {A}}}$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$

$${\displaystyle {\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi }$$

и таким образом:

$${\displaystyle [{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0}$$

для любого состояния ψ . Квантовые операторы, представляющие наблюдаемые, также должны быть эрмитовыми , чтобы их собственные значения были действительными числами , т.е. оператор был равен своему эрмитово сопряженному , .${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }}$

Ниже приведены ключевые моменты теории групп, имеющие отношение к квантовой теории, примеры приводятся на протяжении всей статьи. Для альтернативного подхода с использованием матричных групп см. книги Холла ^{[1] [2]}

Пусть G — группа Ли , которая локально параметризуется конечным числом N вещественных непрерывно меняющихся параметров ξ ₁ , ξ ₂ , ..., ξ _N . На более математическом языке это означает, что G — гладкое многообразие , которое также является группой, для которой групповые операции являются гладкими.

• Размерность группы N — это число ее параметров.
• элементы группы g в G являются функциями параметров: и все параметры, установленные в ноль, возвращают единичный элемент группы: Элементы группы часто являются матрицами, которые действуют на векторы, или преобразованиями, действующими на функции.$${\displaystyle g=G(\xi _{1},\xi _{2},\dots )}$$$${\displaystyle I=G(0,0,\dots )}$$
• Генераторы группы являются частными производными элементов группы по параметрам группы с результатом, вычисляемым, когда параметр равен нулю: На языке многообразий генераторы являются элементами касательного пространства к G в единице. Генераторы также известны как элементы бесконечно малой группы или как элементы алгебры Ли группы G. (См. обсуждение коммутатора ниже.)$${\displaystyle X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$$
  Одним из аспектов генераторов в теоретической физике является то, что они могут быть построены сами как операторы, соответствующие симметриям, которые могут быть записаны как матрицы или как дифференциальные операторы. В квантовой теории для унитарных представлений группы генераторы требуют фактор i : Генераторы группы образуют векторное пространство , что означает, что линейные комбинации генераторов также образуют генератор.$${\displaystyle X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$$
• Генераторы (будь то матрицы или дифференциальные операторы) удовлетворяют коммутационным соотношениям : где f _abc — структурные константы группы (зависимые от базиса). Это делает, вместе со свойством векторного пространства, множество всех генераторов группы алгеброй Ли . Из-за антисимметрии скобки структурные константы группы антисимметричны по первым двум индексам.$${\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}}$$
• Представления группы затем описывают способы, которыми группа G (или ее алгебра Ли) может действовать на векторном пространстве. (Векторное пространство может быть, например, пространством собственных векторов для гамильтониана, имеющего G в качестве своей группы симметрии.) Мы обозначаем представления, используя заглавную букву D. Затем можно дифференцировать D , чтобы получить представление алгебры Ли, часто также обозначаемое как D. Эти два представления связаны следующим образом: без суммирования по повторяющемуся индексу j . Представления являются линейными операторами, которые принимают элементы группы и сохраняют правило композиции:$${\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}}$$ $${\displaystyle D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).}$$

Представление, которое не может быть разложено в прямую сумму других представлений, называется неприводимым . Неприводимые представления принято обозначать верхним индексом n в скобках, например, D ^{( n )} , или, если имеется более одного числа, мы пишем D ^{( n , m , ...)} .

Есть дополнительная тонкость, которая возникает в квантовой теории, где два вектора, которые отличаются умножением на скаляр, представляют одно и то же физическое состояние. Здесь уместным понятием представления является проективное представление , которое удовлетворяет закону композиции только с точностью до скаляра. В контексте квантово-механического спина такие представления называются спинорными .

Оператор пространственного переноса действует на волновую функцию , сдвигая пространственные координаты на бесконечно малое смещение Δ r . Явное выражение можно быстро определить с помощью разложения Тейлора ψ ( r + Δ r , t ) относительно r , затем (сохраняя член первого порядка и пренебрегая членами второго и более высоких порядков) заменить пространственные производные оператором импульса . Аналогично для оператора временного переноса, действующего на временной параметр, разложение Тейлора ψ ( r , t + Δ t ) относительно t , а производная по времени заменена оператором энергии .${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {E}}}$

Имя	Оператор перевода${\displaystyle {\widehat {T}}}$	Оператор перевода/эволюции времени${\displaystyle {\widehat {U}}}$
Действие на волновую функцию	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)}$
Инфинитезимальный оператор	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}}$
Конечный оператор	${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{N}}\cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$	${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t)}$
Генератор	Оператор импульса ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$	Энергетический оператор ${\displaystyle {\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

Экспоненциальные функции возникают по определению как эти пределы, обусловленные Эйлером , и могут быть поняты физически и математически следующим образом. Чистый перенос может быть составлен из множества малых переносов, поэтому, чтобы получить оператор переноса для конечного приращения, замените Δ r на Δ r / N и Δ t на Δ t / N , где N — положительное ненулевое целое число. Затем, по мере увеличения N , величины Δ r и Δ t становятся еще меньше, в то время как направления остаются неизменными. Действуя бесконечно малыми операторами на волновую функцию N раз и взяв предел, когда N стремится к бесконечности, получаем конечные операторы.

Пространственные и временные преобразования коммутируют, что означает, что операторы и генераторы коммутируют.

Коммутаторы

Операторы	Генераторы
${\displaystyle \left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$
${\displaystyle \left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$

Для гамильтониана, не зависящего от времени, энергия сохраняется во времени, а квантовые состояния являются стационарными : собственные состояния гамильтониана являются собственными значениями энергии E :

$${\displaystyle {\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)}$$

и все стационарные состояния имеют вид

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})}$$

где t ₀ — начальное время, обычно устанавливаемое равным нулю, поскольку при установке начального времени не происходит потери непрерывности.

Альтернативная запись — .${\displaystyle {\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})}$

Оператор вращения действует на волновую функцию, вращая пространственные координаты частицы на постоянный угол Δ θ :

$${\displaystyle {R}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)}$$

где r′ — повернутые координаты вокруг оси, определяемой единичным вектором через угловое приращение Δ θ , определяемое как:${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$

$${\displaystyle \mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.}$$

где — матрица вращения, зависящая от оси и угла. На языке теории групп матрицы вращения являются элементами группы, а углы и оси — параметрами трехмерной специальной ортогональной группы SO(3). Матрицы вращения вокруг стандартного декартова базисного вектора через угол Δ θ и соответствующие генераторы вращений J = ( J _x , J _y , J _z ) таковы:${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})}$${\displaystyle \Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}\equiv J_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

В более общем случае для вращений вокруг оси, определяемой соотношением , элементы матрицы вращения имеют вид: ^[3]${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$

$${\displaystyle [{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}}$$

где δ _ij — символ Кронекера , а ε _ijk — символ Леви-Чивиты .

Не так очевидно, как определить оператор вращения по сравнению с пространственными и временными трансляциями. Мы можем рассмотреть особый случай (вращения вокруг осей x , y или z ), а затем вывести общий результат или использовать общую матрицу вращения напрямую и обозначение индекса тензора с δ _ij и ε _ijk . Чтобы вывести оператор бесконечно малого вращения, который соответствует малому Δ θ , мы используем приближения малых углов sin(Δ θ ) ≈ Δ θ и cos(Δ θ ) ≈ 1 , затем разложим Тейлор относительно r или r _i , сохраним член первого порядка и подставим компоненты оператора углового момента .

	Вращение вокруг${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$	Вращение вокруг${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$
Действие на волновую функцию	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)}$	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j},t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)}$
Инфинитезимальный оператор	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end{aligned}}}$
Бесконечно малые вращения	${\displaystyle {\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}}$	Такой же
Конечные вращения	${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta }{N}}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}}$	Такой же
Генератор	z -компонента оператора момента импульса${\displaystyle {\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$	Полный оператор углового момента .${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}}$

Z - компоненту момента импульса можно заменить компонентой вдоль оси, определяемой как , используя скалярное произведение .${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}}$

Опять же, конечный поворот можно сделать из множества малых поворотов, заменив Δ θ на Δ θ / N и взяв предел при N, стремящемся к бесконечности, что даёт оператор поворота для конечного поворота.

Вращения вокруг одной и той же оси коммутируют, например, вращение на углы θ ₁ и θ ₂ вокруг оси i можно записать

$${\displaystyle R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})]=0\,.}$$

Однако вращения вокруг разных осей не коммутируют. Общие правила коммутации суммируются следующим образом:

$${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.}$$

В этом смысле орбитальный угловой момент имеет общие свойства вращений. Каждый из вышеперечисленных коммутаторов можно легко продемонстрировать, удерживая обычный объект и вращая его на один и тот же угол вокруг любых двух различных осей в обоих возможных порядках; конечные конфигурации различны.

В квантовой механике существует еще одна форма вращения, которая математически похожа на орбитальный случай, но имеет другие свойства, описанные ниже.

Все предыдущие величины имеют классические определения. Спин — это величина, которой обладают частицы в квантовой механике без какого-либо классического аналога, имеющая единицы углового момента. Оператор вектора спина обозначается . Собственные значения его компонент — возможные результаты (в единицах ) измерения спина, спроецированного на одно из базисных направлений.${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})}$${\displaystyle \hbar }$

Вращение (обычного пространства) вокруг оси на угол θ вокруг единичного вектора в пространстве, действующее на многокомпонентную волновую функцию (спинор) в точке пространства, представляется следующим образом:${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$${\displaystyle {\hat {a}}}$

Однако, в отличие от орбитального углового момента, в котором z -проекционное квантовое число ℓ может принимать только положительные или отрицательные целые значения (включая ноль), z -проекционное спиновое квантовое число s может принимать все положительные и отрицательные полуцелые значения. Для каждого спинового квантового числа существуют вращательные матрицы.

Оценка экспоненты для заданного z -проекционного спинового квантового числа s дает (2 s + 1)-мерную спиновую матрицу. Это можно использовать для определения спинора как вектора-столбца из 2 s + 1 компонентов, который преобразуется в повернутую систему координат в соответствии со спиновой матрицей в фиксированной точке пространства.

Для простейшего нетривиального случая s = 1/2 оператор спина задается выражением

$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$$

где матрицы Паули в стандартном представлении имеют вид:

$${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

Оператор полного углового момента представляет собой сумму орбитального и спинового

$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}}$$

и является важной величиной для многочастичных систем, особенно в ядерной физике и квантовой химии многоэлектронных атомов и молекул.

У нас есть похожая матрица вращения:

$${\displaystyle {\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)}$$

Группа динамической симметрии n- мерного квантового гармонического осциллятора — это специальная унитарная группа SU( n ). Например, число бесконечно малых генераторов соответствующих алгебр Ли SU(2) и SU(3) равно трем и восьми соответственно. Это приводит ровно к трем и восьми независимым сохраняющимся величинам (кроме гамильтониана) в этих системах.

Двумерный квантовый гармонический осциллятор имеет ожидаемые сохраняющиеся величины гамильтониана и углового момента, но имеет дополнительные скрытые сохраняющиеся величины разности уровней энергии и другую форму углового момента.

Ниже представлен обзор группы Лоренца; рассмотрение ускорений и вращений в пространстве-времени. В этом разделе см. (например) T. Ohlsson (2011) ^[4] и E. Abers (2004). ^[5]

Преобразования Лоренца могут быть параметризованы быстротой φ для усиления в направлении трехмерного единичного вектора и углом поворота θ вокруг трехмерного единичного вектора, определяющего ось, так что и вместе являются шестью параметрами группы Лоренца (три для вращений и три для усилений). Группа Лоренца является 6-мерной.${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$${\displaystyle \varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})}$${\displaystyle \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$

Матрицы вращения и генераторы вращения, рассмотренные выше, образуют пространственноподобную часть четырехмерной матрицы, представляющей преобразования Лоренца чистого вращения. Три элемента группы Лоренца и генератора J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) для чистых вращений:${\displaystyle {\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}}$

${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

Матрицы вращения действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и вращают пространственно-подобные компоненты согласно

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$$

оставляя временную координату неизменной. В матричных выражениях A рассматривается как вектор-столбец .

Ускорение со скоростью c tanh φ в направлениях x , y , или z , заданное стандартным декартовым базисным вектором , является матрицами преобразования ускорения. Эти матрицы и соответствующие генераторы K = ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) являются оставшимися тремя элементами группы и генераторами группы Лоренца:${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$${\displaystyle {\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}}$

${\displaystyle {\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

Матрицы усиления действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и смешивают временные и пространственно-подобные компоненты в соответствии с:

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$$

Термин «усиление» относится к относительной скорости между двумя системами и не должен путаться с импульсом как генератором перемещений , как поясняется ниже.

Продукты вращений дают другое вращение (частый пример подгруппы), в то время как продукты усилений и усилений или вращений и усилений не могут быть выражены как чистые усиления или чистые вращения. В общем, любое преобразование Лоренца может быть выражено как произведение чистого вращения и чистого усиления. Для получения дополнительной информации см. (например) BR Durney (2011) ^[6] и HL Berk et al. ^[7] и ссылки в них.

Генераторы усиления и вращения имеют обозначения D ( K ) и D ( J ) соответственно, заглавная буква D в данном контексте указывает на групповое представление .

Для группы Лоренца представления D ( K ) и D ( J ) генераторов K и J удовлетворяют следующим правилам коммутации.

Коммутаторы

	Генераторы	Представления
Чистое вращение	${\displaystyle \left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$
Чистый импульс	${\displaystyle \left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$
преобразование Лоренца	${\displaystyle \left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c}}$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c})}}$

Во всех коммутаторах сущности усиления смешаны с сущностями для вращений, хотя вращения сами по себе просто дают другое вращение. Возведение в степень генераторов дает операторы усиления и вращения, которые объединяются в общее преобразование Лоренца, при котором пространственно-временные координаты преобразуются из одной системы покоя в другую усиленную и/или вращающуюся систему. Аналогично, возведение в степень представлений генераторов дает представления операторов усиления и вращения, при которых преобразуется спинорное поле частицы.

Законы трансформации

	Трансформации	Представления
Чистый импульс	${\displaystyle {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)}$	${\displaystyle D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)}$
Чистое вращение	${\displaystyle {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$	${\displaystyle D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)}$
преобразование Лоренца	${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$	${\displaystyle D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} }},\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)\right]}$

В литературе генераторы усиления K и генераторы вращения J иногда объединяются в один генератор для преобразований Лоренца M , представляющий собой антисимметричную четырехмерную матрицу с записями:

$${\displaystyle M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.}$$

и соответственно, параметры усиления и вращения собираются в другую антисимметричную четырехмерную матрицу ω с записями:

$${\displaystyle \omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\,,}$$

Общее преобразование Лоренца тогда имеет вид:

$${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$$

с суммированием по повторяющимся индексам матрицы α и β . Матрицы Λ действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и смешивают временные и пространственно-подобные компоненты, согласно:

$${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A} }$$

В релятивистской квантовой механике волновые функции больше не являются однокомпонентными скалярными полями, а теперь 2(2 s + 1) компонентными спинорными полями, где s — спин частицы. Преобразования этих функций в пространстве-времени приведены ниже.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца ( r , t ) → Λ( r , t ) в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ _σ локально преобразуются по некоторому представлению D группы Лоренца : ^{[8] [9]}

$${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$$

где D (Λ) — конечномерное представление, другими словами, квадратная матрица размерности (2 s + 1)×(2 s + 1) , а ψ рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с (2 s + 1) допустимыми значениями σ :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$$

Неприводимые представления D ( K ) и D ( J ) , сокращенно "irreps", могут быть использованы для построения спиновых представлений группы Лоренца. Определение новых операторов:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,}$$

так как A и B являются просто комплексно сопряженными числами друг друга, то они удовлетворяют симметрично сформированным коммутаторам:

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,}$$

и это по сути коммутаторы, которым удовлетворяют операторы орбитального и спинового углового момента. Следовательно, A и B образуют операторные алгебры, аналогичные угловому моменту; те же самые лестничные операторы , z -проекции и т. д., независимо друг от друга, поскольку каждый из их компонентов взаимно коммутирует. По аналогии со спиновым квантовым числом мы можем ввести положительные целые числа или полуцелые числа, a, b , с соответствующими наборами значений m = a , a − 1, ... − a + 1, − a и n = b , b − 1, ... − b + 1, − b . Матрицы, удовлетворяющие вышеуказанным коммутационным соотношениям, такие же, как для спинов a и b, имеют компоненты, заданные умножением значений дельта Кронекера на элементы матрицы углового момента:

$${\displaystyle \left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}}$$$${\displaystyle \left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}}$$$${\displaystyle \left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}}$$

где в каждом случае номер строки m′n′ и номер столбца mn разделяются запятой, и по очереди:

$${\displaystyle \left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}}$$

и аналогично для J ^{( n )} . ^{[примечание 1]} Три матрицы J ^{( m ) являются квадратными матрицами размером} (2 m + 1) × (2 m + 1) , а три матрицы J ^{( n )} являются квадратными матрицами размером (2 n + 1) × (2 n + 1) . Целые или полуцелые числа m и n нумеруют все неприводимые представления в эквивалентных обозначениях, используемых авторами: D ^{( m , n )} ≡ ( m , n ) ≡ D ^{( m )} ⊗ D ^{( n )} , которые являются квадратными матрицами размером [(2 m + 1)(2 n + 1)] × [(2 m + 1)(2 n + 1)] .

Применяем это к частицам со спином s ;

• Левосторонние (2 s + 1) -компонентные спиноры преобразуются под действием действительного нерепса D ^{( s , 0)} ,
• Правосторонние (2 s + 1) -компонентные спиноры преобразуются под действием действительного нерепса D ^{(0, s )} ,
• беря прямые суммы , обозначенные как ⊕ (см. прямую сумму матриц для более простой концепции матрицы), получаем представления, при которых 2(2 s + 1) -компонентные спиноры преобразуются: D ^{( m , n )} ⊕ D ^{( n , m )} , где m + n = s . Это также действительные нерепсы, но, как показано выше, они распадаются на комплексно сопряженные.

В этих случаях D относится к любому из D ( J ) , D ( K ) или полному преобразованию Лоренца D (Λ) .

В контексте уравнения Дирака и уравнения Вейля спиноры Вейля, удовлетворяющие уравнению Вейля, преобразуются по простейшим неприводимым спиновым представлениям группы Лоренца, поскольку спиновое квантовое число в этом случае является наименьшим разрешенным ненулевым числом: 1/2. 2-компонентный левосторонний спинор Вейля преобразуется по D ^{(1/2, 0)} , а 2-компонентный правосторонний спинор Вейля преобразуется по D ^{(0, 1/2)} . Спиноры Дирака, удовлетворяющие уравнению Дирака, преобразуются по представлению D ^{(1/2, 0)} ⊕ D ^{(0, 1/2)} , прямой сумме неприводимых спиноров для спиноров Вейля.

Пространственные трансляции , временные трансляции , вращения и усиления , все вместе взятые, составляют группу Пуанкаре . Элементами группы являются три матрицы вращения и три матрицы усиления (как в группе Лоренца), а также одна для временных трансляций и три для пространственных трансляций в пространстве-времени. Для каждой из них есть генератор. Следовательно, группа Пуанкаре является 10-мерной.

В специальной теории относительности пространство и время могут быть собраны в четырехпозиционный вектор X = ( ct , − r ) , и параллельно с этим могут быть собраны энергия и импульс, которые объединяются в четырехпозиционный вектор импульса P = ( E / c , − p ) . Имея в виду релятивистскую квантовую механику, параметры длительности времени и пространственного смещения (всего четыре, один для времени и три для пространства) объединяются в пространственно-временное смещение Δ X = ( c Δ t , −Δ r ) , а операторы энергии и импульса вставляются в четырехпозиционный вектор, чтобы получить четырехпозиционный оператор импульса,

$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\,,}$$

которые являются генераторами пространственно-временных трансляций (всего четыре, одна временная и три пространственных):

$${\displaystyle {\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat {\mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.}$$

Существуют коммутационные соотношения между компонентами 4-импульса P (генераторами пространственно-временных трансляций) и углового момента M (генераторами преобразований Лоренца), которые определяют алгебру Пуанкаре: ^{[10] [11]}

• ${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,}$

где η — метрический тензор Минковского . (Обычно не придают значения операторам четырех импульсов в коммутационных соотношениях). Эти уравнения являются выражением фундаментальных свойств пространства и времени, насколько они известны сегодня. У них есть классический аналог, в котором коммутаторы заменены скобками Пуассона .

Для описания спина в релятивистской квантовой механике используется псевдовектор Паули–Любанского

$${\displaystyle W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$$

оператор Казимира , представляет собой постоянный спиновый вклад в полный угловой момент, и существуют коммутационные соотношения между P и W и между M и W :

$${\displaystyle \left[P^{\mu },W^{\nu }\right]=0\,,}$$$${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\rho \mu }W^{\nu }\right)\,,}$$$${\displaystyle \left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\,.}$$